3.1《 对函数的再认识》课件2024-2025学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

3.1 对函数的再认识 函 数 一次函数:y=kx+b (k≠0) 我们学过哪些函数？ 反比例函数: 正比例函数： y=kx (k≠0) 函数表示方法有几种？ 列表法 解析法 图像法 复习引入 新知探索 设A,B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f:A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y=f(x)(x∈A,y∈B). 灵魂拷问：什么是f(x)？ 初中函数：y=x2+2x-5 高中函数：f(x)=x2+2x-5 函数就是由输入、运算法则、输出三个部分所构成的一个整体。 新知探索 函数的概念 设A,B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f:A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y=f(x)(x∈A,y∈B). 函数 x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域； 与x∈A对应的数y叫作函数值，记作f(x),所有函数值组成的集合{f(x)丨x∈A}叫作函数的值域. 值域是集合B的子集. 注意：函数运算中，一个x只能对应唯一的f(x)，但一个f(x)可以对应多个x. 定义域 值域 新课讲授 由函数的定义可知，函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定， 函数三要素 定义域 对应关系 值域 因此确定一个函数主要取决于两个要素：定义域和对应关系. （1）A，B两地之间的路程为900km，一辆汽车从A地到B地所需时间t（h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的关系式是t = _____. （2）如图，矩形ABCD的面积为18cm2，其中BC长为a cm， 则矩形ABCD的周长l（cm）与a（cm）之间的关系式是l = _______. （3）某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本的部分打八折. ① 购买该种书6本需付款 元； ② 购买该种书14本需付款_____元； ③ 付款金额 y(元)与购买该种书的本数x(本)之间的关系式是 . 在上面的三个例子中：（1）自变量分别是什么？自变量的取值范围是什么？ （2）对于自变量在取值范围内的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应？ 8x（0≤x≤10） y= 6.4x+16（x>10） 48 105.6 自主探究 例2、当x=3时，求下列各函数y的值. （1）y=3x+7 （2）y= -2x²-1 （3）y= （4）y= 合作交流 函数定义 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x,y.对于自变量x在某一范围内的每一个确定值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数.x是自变量,y是因变量. (1)有两个变量; (2)一个变量变化,另一个变量随之变化; (3)对于自变量x确定的每一个值,函数y有且仅有一个值与之对应; (4)函数不是数,它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系. 要点 精讲点拨 函数值的定义 对于自变量x在取值范围内的一个确定的值a,函数y有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当x=a时函数的值,简称函数值. 要点 （1）求函数值的步骤和前面求代数式的值的方法一样。 （2）求函数值时，必须取自变量x的范围内的的值代入解析式中求值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系． 函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 精讲点拨 1、下列式子：①y=3x-5;②y²=x;③y=|x|;④y= .其中y是x的函数的有( ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、下列各图象中表示y是x函数的是(　　) C A B D C B 针对练习 方法总结：过x轴上任意一点作x轴的垂线，若垂线与曲线交于两点或多点，说明x取一值，有两个或多个y值与其对应，则y不是x的函数． 针对练习〖课时作业〗 1.求下列函数中自变量x可以取值的范围: (1) y= (3) y= (4) y= (2) y= 解析式为整式，自变量的取值范围是全体实数. 解析式为分式，则分母不能为零. 解析式为二次根式，则被开方数为非负数. 解析式为混合式，则要使每一个式子有意义. x为任意实数 x≠1且x≠3 x≤3 自主探究 函数 一般的，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是因变量. 问题探究一：函数的意义 下列表达式是否为函数？ （1）y=±x （2）y=x2 （3）s=t3+2 （4）y=x+2 × √ √ √ 判 断 下列图象能表示y是x的函数是（ ） D C B A y y x x x x y y C 例1：如图，正方形ABCD的边长为2，点P为AD边上一点，设AP=x，四边形BCDP的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围。 例题解析 分析：S△APB+S四边形BCDP=S正方形ABCD S△APB如何用x来表示？ 解： S△APB+S四边形BCDP=S正方形ABCD S△APB=x S正方形ABCD=4 所以S四边形BCDP=4-x 即y=4-x 又因为P在AD边上，所以0<x<2 例2： 当x=3时, 求各函数y的对应值 : (1)y=3x+7; (2)y=-2x2-1 (3)y= ; (4)y= 问题探究二：理解函数值，会求函数值 解： 对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值α, 函数y有唯一确定的对应值 , 这个对应值叫做 . 如对于例 2(1) 中的函数y=3x+7,16就是当x =3 时的函数值 . 函数值 问题与思考 1、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与它的一边长x(m)之间的关系式，并求出x的取值范围. 解：S = x（30-x）= -x2+30x 自变量x的取值范围是：0＜x＜30 2、汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.写出表示y与x的函数关系的式子.并指出自变量x的取值范围. 解: y = 50-0.1x 自变量x的取值范围是：0 ≤x ≤500 3、已知一个等腰三角形的周长为30cm,腰长为x cm,底边长为y cm.请写出底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的函数关系式;并指出自变量x的取值范围. 自变量的取值，不仅要使解析式有意义，还要满足实际意义. 解: y = 30-2x 自变量x的取值范围是：5＜x＜16 合作交流 (2)分式： (3)二次根式： (1)整式： 自变量的取值范围的求法 (4)对于混合式： 取使每一个式子有意义的值 取全体实数 取使分母不为0的值 取使“被开方数≥0”的值 1.当函数关系用解析式表示时，要使解析式有意义. 2.对于反映实际问题的函数关系，要使实际问题有意义. 精讲点拨 (1) y＝ (2) (3) (5) (6) 求下列函数中自变量x的取值范围 解：（1）∵x+2≠0 ∴x≠-2 （2）∵x²≥0 ∴x²+3＞0 ∴不论x取值，x²+3≠0 ∴x取任意实数 ∴x≥3且x≠4 ｛ x-3≥0 x-4≠0 ∵ （5） （6）∵x²-2x-3≠0 ∴x≠3且x≠-1 (4) （4） ∴x≥3 ｛ x-3≥0 x+1≠0 ∵ 针对练习 （3）∵2x-1≥0 ∴x≥ 1、用总长为60米的篱笆围成一面靠墙的矩形场地，墙长30米。求矩形的面积S（m2）与它的靠墙的一边的长x(m)之间的关系式，并求出自变量x的取值范围. 拓展提升 2、 解：S=x(60-2x)=-2x2+60x ∵60-2x＞0，60-2x≤30 ∴15≤x＜30 解：（1）∵x+1＞0且x2+1≠0 ∴x＞-1 （2）∵x+2＞0且3-x＞0 ∴-2＜x＜3 3.函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法. 4.函数自变量的取值范围，应使函数表达式有意义. 1.函数的概念是什么？ 2.如何求函数值？ 当堂小结 5.对于实际问题，自变量的取值还必须使实际问题有意义. $$