精品解析：湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025年上学期娄底市部分普通高中期末考试 高一数学 命题人：梁克鸿 审题人：刘兵 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：A. 2. 已知，，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论. 【详解】因为，，则复数， 故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设圆台上、下底面半径分别为，且，利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为，且， 由题知，又圆台的母线长为7，侧面积为， 则，解得， 故答案为：D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，求得函数值. 【详解】. 故选：C. 5. 在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定与0和1的大小，即可； 【详解】因为，，，所以. 故选：C. 7. 有一组数据按从小到大排序如下：、、、、，则这组数据的分位数，分位数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为，， 所以，这组数据的分位数、分位数分别是、， 故选：C. 8. 在平行四边形中，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用表示，根据计算求解即可． 【详解】因为 ， 是线段的中点， 所以. 故选：D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项. 【详解】对于A选项，对任意的、，，即， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，当，时，由A选项可知， 则，故， 当且仅当时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C错； 对于D选项，因为，，则， 故，D对. 故选：ABD. 10. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ） A. 这10天的日均值的80%分位数为60 B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 这10天的日均值的中位数为41 D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案. 【详解】个数据为：， ，故80%分位数为，A选项错误. 5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，B选项正确. 中位数是，C选项错误. 根据折线图可知，前天数据波动性小于后天数据波动性，所以D选项正确. 故选：BD 11. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件“第一次向上的点数为”，“第二次向上的点数为”，“两次向上的点数之和为7”，则（　　） A. B. C. 与是互斥事件 D. 与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由古典概型计算，，判断A,B;运用互斥事件概念判断C；利用独立事件的定义，结合古典概型判断D. 【详解】抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种： ，，，，，， 表示第一次向上出现点，第二次向上任一点, ，则A正确. 表示第二次向上出现3点且两次向上点数之和不是7，则第一次向上出现不是4, 则等价于说第一次出现，第二次向上是3点. 满足题意的有，共5种，则概率为.故B错误． 表示点数组合，表示出现，不能同时发生，故与是互斥事件，故C正确． 由A知道，,表示两次点数之和是7，则包含结果数为，共6种 ,则概率． 表示第一次出现点，且两次和为7．满足题意的有.则. 故.则与相互独立.故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，故，解得. 故答案为：. 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出基本事件的个数和事件“”包含的基本事件的个数，再由古典概率公式，即可求解. 【详解】连续抛掷骰子次，基本事件的个数为， 由知，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，；当时，； 则事件“”包含的基本事件的个数为， 所以事件“”的概率为， 故答案为：. 14. 在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出BD长，再利用锥体的体积公式计算作答. 【详解】取的中点，连接，如图， 因为是的中点，则，于是是异面直线与所成的角或其补角， 令，而两两互相垂直，则，， 在等腰中，，，解得， 显然平面，所以四面体的体积为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到； （2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围； 方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以； 【小问2详解】 方法一：因为是锐角三角形，又， 所以，解得， ， 因为，∴，则， 从而. 方法二： 若为锐角三角形， 所以， 因为，，所以， 所以， 又因为， 所以. 16. 如图，正方体的棱长为1， （1）求证：平面； （2）求：与平面所成的角大小； （3）求钝二面角的大小. 【答案】（1）证明：正方体中，， 又平面，且平面 平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由得到平面 （2）连接，，证明与平面垂直，得到与平面所成的角为的余角，通过为等边三角形得出的大小，再得到所求角. （3）连接，证明平面，求出与所成角，进而得到钝二面角的大小 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 正方体中，平面， 且平面，， 又，且，， 又，且平面，平面 平面 与平面所成的角为的余角， 又为等边三角形，， 与平面所成的角为. 【小问3详解】 连接，平面，平面，， 又，且，， ，且平面， 平面， 平面 又由（2）知平面，且与所成角为， ∴钝二面角的大小为. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值. 【答案】（1），单调减区间为； （2），； （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由(1)得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解； （3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由(1)知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，. 【小问3详解】 由函数，可得， 因为， 所以. 18. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期娄底市部分普通高中期末考试 高一数学 命题人：梁克鸿 审题人：刘兵 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 4 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 有一组数据按从小到大排序如下：、、、、，则这组数据的分位数，分位数分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 8. 在平行四边形中，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在，空气质量为二级：PM2.5日均值超过为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ） A. 这10天的日均值的80%分位数为60 B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 这10天的日均值的中位数为41 D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 11. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件“第一次向上的点数为”，“第二次向上的点数为”，“两次向上的点数之和为7”，则（　　） A. B. C. 与是互斥事件 D. 与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为_______. 13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 14. 在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围 16. 如图，正方体的棱长为1， （1）求证：平面； （2）求：与平面所成的角大小； （3）求钝二面角的大小. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值. 18. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $