抛物线讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

全国新高考数学核心考点解读----抛物线 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，抛物线相关问题，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了6年，其中2023年全国Ⅰ卷考了压轴题，其他年份都是选择、填空题.说明抛物线在高中数学中的绝对主力的核心地位，未来必定在每年的高考试题中占有一席之地.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第13题 第14题 2021年 第14题 第3题 2022年 第11题 第10题 2023年 第22题 第10题 2024年 第10题 2025年 第10题 第6题 （二）．历年真题常考题型 题型一： 抛物线的定义和标准方程 题型二： 抛物线的焦点弦问题 题型三： 直线与抛物线的位置关系 题型四： 直线与抛物线的综合应用 （3） 备考建议 预计抛物线及相关关问题在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题或解答题，难度以中等难度为主，大家务必要深刻抛物线定义及其几何性质，特别是抛物线中的好多二级结论要掌握好.其中好多年份出现在多选题，多选题的好处是4个选项考查4个知识点，这样就可以尽可能多覆盖知识点，这应该是命题专家把抛物线放在多选题的命题意图. 二．真题再现 题型一： 抛物线的定义和标准方程 例1．（2021年全国新高考Ⅱ卷第3题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 例2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学第14题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 题型二： 抛物线的焦点弦问题 例3．（2025年全国新高考Ⅱ卷第6题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例4．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第13题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 例5．（多选）（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 例6．（多选）（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 题型三： 直线与抛物线的位置关系 例7．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷数学第11题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 例8．（多选）（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 例9．（多选）（2025年新高考全国Ⅰ卷数学第10题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A． B． C． D． 题型四：直线与抛物线的综合应用 例10.(2023年新高考全国Ⅰ卷第22题)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----抛物线 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，抛物线相关问题，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了6年，其中2023年全国Ⅰ卷考了压轴题，其他年份都是选择、填空题.说明抛物线在高中数学中的绝对主力的核心地位，未来必定在每年的高考试题中占有一席之地.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第13题 第14题 2021年 第14题 第3题 2022年 第11题 第10题 2023年 第22题 第10题 2024年 第10题 2025年 第10题 第6题 （二）．历年真题常考题型 题型一： 抛物线的定义和标准方程 题型二： 抛物线的焦点弦问题 题型三： 直线与抛物线的位置关系 题型四： 直线与抛物线的综合应用 （3） 备考建议 预计抛物线及相关关问题在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题或解答题，难度以中等难度为主，大家务必要深刻抛物线定义及其几何性质，特别是抛物线中的好多二级结论要掌握好.其中好多年份出现在多选题，多选题的好处是4个选项考查4个知识点，这样就可以尽可能多覆盖知识点，这应该是命题专家把抛物线放在多选题的命题意图. 二．真题再现 题型一： 抛物线的定义和标准方程 例1．（2021年全国新高考Ⅱ卷第3题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 例2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学第14题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【答案】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 题型二： 抛物线的焦点弦问题 例3．（2025年全国新高考Ⅱ卷第6题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 例4．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第13题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 故答案为： 例5．（多选）（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    例6．（多选）（2022年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 题型三： 直线与抛物线的位置关系 例7．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷数学第11题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 例8．（多选）（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第10题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 例9．（多选）（2025年新高考全国Ⅰ卷数学第10题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D． 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD． 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD． 题型四：直线与抛物线的综合应用 例10.(2023年新高考全国Ⅰ卷第22题)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【答案】(1) (2)见解析 解析：(1)设,则，两边同平方化简得， 故． (2)法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则．，易知则令, 令，解得，当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增，则， 故,即．当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证． 法二：不妨设在上，且， 依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0， 则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，则联立得， ，则 则，同理， 令，则，设， 则，令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则，， 但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故． 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线, 矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于． 设 , 根据对称性不妨设 ． 则 , 由于 , 则 ． 由于 且 介于 之间, 则 ． 令 , ,则,从而 故 ①当时, ②当 时,由于,从而,从而又,故,由此 ， 当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$