直线与圆的位置关系讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

全国新高考数学核心考点解读----直线与圆的位置关系 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，直线与圆的位置关系，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了5年，主要以考查点与圆、线与圆、圆与圆的位置关系为主.核心考查的还是直线圆的位置关系，尤其切线问题更多．有些年份把圆与椭圆、双曲线和抛物线综合起来考查，综合性较强．具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第9题 第10题 2021年 第11题 第11题和第20题 2022年 第14题 第15题 2023年 第6题 第15题 2024年 2025年 第7题和第18题第2小题 第11题 （二）．历年真题常考题型 题型一：圆的概念、判断点与圆、直线与圆的位置关系 题型二：求圆的切线方程 题型三：直线被圆截得弦长问题 题型四：圆得切线综合问题 题型五：直线和圆得位置关系的综合应用 （三）备考建议 预计直线与圆的位置关系问题在未来的全国卷中仍为核心考点，出现在选择题和填空题可能性更大些，如果出现在解答题中，圆的性质往往是解题的突破口，综合性会较强，大家务必要深刻理解圆的一些常用的平面几何性质，解析几何顾名思义是几何，无非是用方程来研究曲线的几何性质，圆的平面几何性质往往能起到事半功倍的效果. 二．真题再现 题型一：圆的概念、判断点与圆、直线与圆的位置关系 例1．（2020年新高考全国Ⅰ卷第9题）（多选）已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【解析】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 例2．（多选）（2021年全国新高考Ⅰ卷第11题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 例3．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷第11题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 例4．（2022年新高考全国Ⅱ卷第15题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 例5．（2025年新高考全国Ⅰ卷第7题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 题型二：求圆的切线方程 例6．（2022年新高考全国Ⅰ卷14题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 题型三：直线被圆截得弦长问题 例7．（2023年新高考全国Ⅱ卷第15题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 题型四：圆得切线综合问题 例8．（2023年新高考全国Ⅰ卷第6题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 题型五：直线和圆得位置关系的综合应用 例9．（2025年新高考全国Ⅱ卷第11题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C离心率为 D. 当时，四边形的面积为 【解析】 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 例10．（2025年新高考全国Ⅰ卷第18题第2小题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 例11．（2021年新高考全国Ⅱ卷第20题）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是． 【解析】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率，又， 所以，则， 故椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：先证明必要性， 若，，三点共线时，设直线的方程为， 则圆心到直线的距离为，解得， 联立方程组，可得， 即， 所以； 所以必要性成立； 下面证明充分性， 当时，设直线的方程为， 此时圆心到直线的距离，则， 联立方程组，可得， 则△， 因为， 所以，， 因为直线与曲线相切， 所以，则， 则直线的方程为恒过焦点， 故，，三点共线， 所以充分性得证． 综上所述，，，三点共线的充要条件是． 3． 专项训练 1．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 2．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 4．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 7．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 8．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 9．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 10．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----直线与圆的位置关系 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，直线与圆的位置关系，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了5年，主要以考查点与圆、线与圆、圆与圆的位置关系为主.核心考查的还是直线圆的位置关系，尤其切线问题更多．有些年份把圆与椭圆、双曲线和抛物线综合起来考查，综合性较强．具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第9题 第10题 2021年 第11题 第11题和第20题 2022年 第14题 第15题 2023年 第6题 第15题 2024年 2025年 第7题和第18题第2小题 第11题 （二）．历年真题常考题型 题型一：圆的概念、判断点与圆、直线与圆的位置关系 题型二：求圆的切线方程 题型三：直线被圆截得弦长问题 题型四：圆得切线综合问题 题型五：直线和圆得位置关系的综合应用 （三）备考建议 预计直线与圆的位置关系问题在未来的全国卷中仍为核心考点，出现在选择题和填空题可能性更大些，如果出现在解答题中，圆的性质往往是解题的突破口，综合性会较强，大家务必要深刻理解圆的一些常用的平面几何性质，解析几何顾名思义是几何，无非是用方程来研究曲线的几何性质，圆的平面几何性质往往能起到事半功倍的效果. 二．真题再现 题型一：圆的概念、判断点与圆、直线与圆的位置关系 例1．（2020年新高考全国Ⅰ卷第9题）（多选）已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 例2．（多选）（2021年全国新高考Ⅰ卷第11题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 例3．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷第11题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 例4．（2022年新高考全国Ⅱ卷第15题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 例5．（2025年新高考全国Ⅰ卷第7题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二：求圆的切线方程 例6．（2022年新高考全国Ⅰ卷14题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 题型三：直线被圆截得弦长问题 例7．（2023年新高考全国Ⅱ卷第15题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 题型四：圆得切线综合问题 例8．（2023年新高考全国Ⅰ卷第6题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 题型五：直线和圆得位置关系的综合应用 例9．（2025年新高考全国Ⅱ卷第11题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C离心率为 D. 当时，四边形的面积为 例10．（2025年新高考全国Ⅰ卷第18题第2小题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 例11．（2021年新高考全国Ⅱ卷第20题）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是． 3． 专项训练 1．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 2．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 3．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 4．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 7．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 8．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 9．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 10．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 学科网（北京）股份有限公司 $$