精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市富锦市铁路中学、锦山中学2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

2024—2025学年九年级下第三次月考 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 2. 一个转盘分为白色（圆心角）和红色（圆心角）区域，自由转动两次，一次白色一次红色的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后经过．则的值是（   ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图像过点，则图像必过点（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若一次函数与反比例函数的图像有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 无法确定 10. 如图，直线与双曲线交于A、B，绕A旋转后与双曲线第三象限交点C，若，则k值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 抛物线的顶点坐标是____． 12. 若相似三角形的周长比为，则面积比为__________． 13. 已知圆内接四边形中，，则__________． 14. 函数中，自变量的取值范围是_____． 15. 若点在反比例函数的图象上，则__________． 16. 如图，中，，，则__________． 17. 二次函数的最大值为__________． 18. 若，则______． 19. 某射击运动员10次射击成绩分别为8、9、7、10、9、8、9、8、7、10，则成绩的众数为__________． 20. 如图，正六边形的边长为2，则的长为________． 三、解答题（满分60分） 21. 解方程：． 22. 如图，在平行四边形中，为中点，连接交于点．求证：． 23. 某商场销售一种商品，成本为每件20元．经调研，当售价为x元时，销量y（件）满足．求： （1）售价为多少时，利润最大？ （2）若售价不低于25元，求最大利润． 24. 如图，中，，以为直径作圆O交于点D，过点D作切线交于点E． （1）求证：； （2）若，，求圆O的半径． 25. 已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． （1）求函数表达式； （2）若点在图像上，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年九年级下第三次月考 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵圆的半径为，点P到圆心的距离为， ∴，即， ∴点P与圆的位置关系是：P在圆内． 故选：C． 2. 一个转盘分为白色（圆心角）和红色（圆心角）区域，自由转动两次，一次白色一次红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．把红色区域等分成两部分，再利用树状图由概率公式求解即可． 【详解】解：如图，把红色区域等分成两部分， 让转盘自由转动2次，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域结果有4种， ∴指针一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率为． 故选：D． 3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后经过．则的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，解题关键是逆向思考，利用点先向右平移个单位，再向下平移个单位后所得对应点的坐标为，然后代入解析式即可得到的值． 【详解】解：把点先向右平移个单位，再向下平移个单位后所得对应点的坐标为， 把代入， 得：， 解得：． 故选：C． 4. 如图，，，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．由，根据相似三角形的判定方法得到，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 若二次函数的顶点为，且过点，则a的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，顶点坐标的运用，掌握二次函数图象顶点坐标的计算是解题的关键．根据题意，结合二次函数图象的顶点坐标可设顶点式为，再将点代入解析式求解即可． 【详解】解：已知二次函数顶点为， 可设顶点式为，将点代入顶点式： ， 解得：． 故选：C． 6. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 故选D． 7. 若反比例函数的图像过点，则图像必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像特点，属于基础题意，准确计算是关键．将代入反比例函数求出k的值，再验证各选项是否满足函数关系式． 【详解】解：将点代入反比例函数， 得：， ，，， 图像必过点． 故选：C． 8. 如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 9. 若一次函数与反比例函数的图像有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题运用了方程组的知识和一元二次方程根的判别式的有关内容，注意函数图像的交点问题和对应一元二次方程的根的关系．将一次函数与反比例函数联立，转化为一元二次方程，通过判别式分析实数解的条件，结合选项判断正确取值范围． 【详解】解：联立 ，得 ， 整理为一元二次方程 ， ∵一次函数与反比例函数的图像有交点， ∴，且， ∴且． 故选：C． 10. 如图，直线与双曲线交于A、B，绕A旋转后与双曲线第三象限交点C，若，则k值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确求出点坐标，及直线的解析式，并联立函数解析式求出交点坐标是解题的关键．设，过点作轴于，过点作，交于，过点作轴于，与轴交于，连接，根据反比例函数的性质可知，，由可得是等腰直角三角形，可知，利用可证明，可得，，即可用表示出点坐标，利用待定系数法可用表示出直线解析式，可表示出坐标，联立直线与反比例函数解析式可表示出点坐标，根据列方程求出的值即可得答案． 【详解】设，过点作轴于，过点作，交于，过点作轴于，与轴交于，连接， ∵直线与双曲线交于A、B两点， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，， 联立直线与反比例函数解析式得， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 抛物线的顶点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数的解析式转化为顶点式，根据顶点式写出抛物线的顶点坐标即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 若相似三角形的周长比为，则面积比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据两个相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的面积比为， 故答案为：． 13. 已知圆内接四边形中，，则__________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解∶∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， 故答案为∶． 14. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 15. 若点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．将点代入反比例函数，即可求出m的值． 【详解】解：将点代入反比例函数得：． 故答案为：2． 16. 如图，中，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 17. 二次函数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知，顶点纵坐标为最大值． 【详解】解：分析二次函数， 该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴顶点坐标为， 所以，最大值为5， 故答案为：5． 18. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题意画出图形，由，则，设，，求出，再通过余弦定义即可求解，掌握三角函数概念是解题的关键． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 某射击运动员10次射击成绩分别为8、9、7、10、9、8、9、8、7、10，则成绩的众数为__________． 【答案】8和9 【解析】 【分析】本题考查了众数．根据众数的定义分析即可，众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：成绩（单位：环）分别为：7、7、8、8、8、9、9、9、10、10， 数字8和9都出现了3次，出现次数最多， 这组数据的众数是8和9． 故答案为：8和9． 20. 如图，正六边形的边长为2，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点G，根据正六边形的边长为2，得到，继而得到，，结合解答即可． 本题考查了正多边形的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】过点C作于点G， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，本题运用了因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， 分解因式得：， ，， 解得：，． 22. 如图，在平行四边形中，为中点，连接交于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，则，，然后证明即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 23. 某商场销售一种商品，成本为每件20元．经调研，当售价为x元时，销量y（件）满足．求： （1）售价为多少时，利润最大？ （2）若售价不低于25元，求最大利润． 【答案】（1）40元 （2）800元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次二次函数的实际应用， （1）设利润为W，根据每件的利润乘以销量列出W关于x的二次函数，再化成顶点式即可得出答案． （2）利用二次函数的图像和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设利润为W， 根据题意可知： ， 则当时，W取的最大值． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，W取的最大值，最大值为800元． 24. 如图，中，，以为直径作圆O交于点D，过点D作切线交于点E． （1）求证：； （2）若，，求圆O的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的切线，为半径， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）连接，根据切线的性质得到，然后根据等边对等角得到，即可得到，证明结论即可； （2）连接，过O作于F，根据垂径的定理得出，根据直径所对的圆周角是直角以及三线合一的性质得出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过O作于F， ， 是直径，，， ，即， 又， ， ，， ， ，即， ， 即圆O的半径为． 25. 已知二次函数的图像经过点，，且顶点到轴距离为． （1）求函数表达式； （2）若点在图像上，且，求的取值范围． 【答案】（1）​或​ （2）当函数表达式为时，的取值范围是；当函数表达式为时，的取值范围是或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． （1）先由题意得出抛物线的顶点是或，再分别利用顶点设出函数表达式，将已知点代入即可得解； （2）分情况讨论：当函数表达式为时，当函数表达式为时． 【小问1详解】 解：依题得，该抛物线的顶点是或， 设该二次函数解析式为， ①当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； ②当顶点为时，解析式为， 图像经过点， ， 解得， 函数表达式为； 故函数表达式为​或．​ 【小问2详解】 解：①当函数表达式为时， 即， ， ， 解得； ②当函数表达式为时， 即， 解得或， 综上，当函数表达式为时，的取值范围是； 当函数表达式为时，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $