精品解析：吉林省农安县第十中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学期末考试试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. 从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ） A. 至少有个白球，都是白球 B. 至少有个白球，至少有个红球 C. 恰有个白球，恰有个白球 D. 至少有个白球，都是红球 4. 在正方形中，点在边上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某企业两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.7，0.9，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.07 C. 0.63 D. 0.97 6. 在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. ，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.4小时 D. 0.5小时 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定一组数1，3，3，4，6，7，8，8，则这组数据的（ ） A. 中位数为4 B. 方差为6 C. 平均数为5 D. 70%分位数为7 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定直角三角形 D. 若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 已知，复数，则___________. 14. 已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，的周长为，且. （1）求． （2）已知的面积为． ①求，； ②求外接圆的半径． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. （1）证明：. （2）求点到平面的距离. 18. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求该样本的第80百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在和内学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率. 19. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小?现已证明在中，若三个内角均小于120°，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点.请根据费马点性质解决下列问题. （1）已知在中，，，若点为的费马点，求的面积； （2）已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值； （3）已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为费马点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学期末考试试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法、复数的几何意义求解即可. 【详解】复数对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示可解. 【详解】，， 解得：. 故选：A. 3. 从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ） A. 至少有个白球，都是白球 B. 至少有个白球，至少有个红球 C. 恰有个白球，恰有个白球 D. 至少有个白球，都是红球 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 4. 在正方形中，点在边上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】在正方形中，，即， 则. 故选：A. 5. 某企业两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.7，0.9，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.07 C. 0.63 D. 0.97 【答案】D 【解析】 【分析】先根据独立事件的概率公式求出一天内这两台设备没有一台正常运行的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】这两台设备都没有正常运行的概率为， 则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为. 故选：D. 6. 在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义找到对应的平面角，应用余弦定理求其大小即可. 【详解】由题设且，即四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角或其补角， 设正方体棱长为2，则，故， 结合异面直线夹角的范围知，异面直线与所成角为. 故选：B 7. 已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥、圆柱的侧面积公式列方程求底面半径，再由圆锥的体积公式求体积. 【详解】设圆柱、圆锥的底面半径为，高为2，则， 所以，故圆锥的体积为. 故选：C 8. ，是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（ ） A. 0.2小时 B. 0.3小时 C. 0.4小时 D. 0.5小时 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，设，根据得到方程，求出，得到，进而在中，由余弦定理得到，求出答案. 【详解】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定一组数1，3，3，4，6，7，8，8，则这组数据的（ ） A. 中位数为4 B. 方差为6 C. 平均数为5 D. 70%分位数为7 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别根据中位数，方差，平均数，百分位数定义计算即可. 【详解】该组数据有个，所以中位数是，故A错误； 平均数为，故C正确； 方差为，故B正确； 因为，所以分位数为第个数，故D正确. 故选：BCD 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则一定为直角三角形 D. 若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据三角形的特点及正弦定理判断即可；对于B，举例判断即可；对于C，根据正弦定理及两角差的正弦公式化简判断即可；对于D，由正弦定理求解判断即可. 【详解】对于A，由，得，由正弦定理可得， 即，故A正确； 对于B，当时，，而，故B错误； 对于C，由，根据正弦定理可得， 则，所以或（舍去）， 则，又，所以，则为直角三角形，故C正确； 对于D，由正弦定理可得，则，所以， 因为该三角形有两解，所以，则，解得， 则的取值范围是，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D. 【详解】由题设，，则， 由平面，平面，则， 都平面内，则平面， 平面，则，A对； 由平面，即平面，又平面，， 所以平面，即与平面相交，B错； 由平面，则直线与平面所成角为， 又 所以，C对； 由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径， 由平面，，则三棱锥外接球半径， 所以外接球的表面积，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义求解即可. 【详解】已知向量，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知，复数，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 14. 已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】证明出，可得出，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的取值范围. 【详解】因为，，，故， 所以， 故， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，故， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【小问1详解】 由已知， ， ，， 又，所以； 【小问2详解】 ， 解得或． 16. 已知内角，，的对边分别为，，，的周长为，且. （1）求． （2）已知的面积为． ①求，； ②求外接圆的半径． 【答案】（1） （2）①，或，；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化为边后计算即可得； （2）①借助面积公式计算即可得；②借助余弦定理可得，则可得，再借助正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，所以， 得； 【小问2详解】 ①由题意得，则， 则有，解得或， 故，或，； ②由余弦定理得， 则， 设外接圆的半径为，由正弦定理得，得. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. （1）证明：. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质和判定可得证； （2）如图，取的中点为，连接，，根据等体积法可求得答案. 【小问1详解】 在正中，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且，平面，平面， 又平面，， 又，且，平面， 平面， 平面， ； 【小问2详解】 如图，取的中点为，连接，， 在正中，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 若，则， ， 由（1）知平面，， 平面， 平面，， 设点到平面的距离为， 而， 由可得，， ． 18. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求该样本的第80百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在和内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率. 【答案】（1）84分 （2）71分 （3） 【解析】 【分析】（1）应用百分位数的求法求样本的第80百分位数； （2）根据直方图平均数的求法求平均分； （3）应用分层抽样等比例性质确定各组抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率即可. 【小问1详解】 由图知， 则该样本的第80百分位数在区间内，设为， 所以，可得分； 【小问2详解】 由，可得， 所以样本平均分分； 【小问3详解】 由（2）及题设，6名同学分别来自和有2名、4名， 设的2名为，的4名为， 所以任意抽取2人的基本事件有，共15种， 其中两组各抽一名有，共8种， 所以所求概率为. 19. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小?现已证明在中，若三个内角均小于120°，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点.请根据费马点性质解决下列问题. （1）已知在中，，，若点为的费马点，求的面积； （2）已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值； （3）已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为的费马点，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，利用余弦定理推导出，然后在中利用余弦定理求，再结合三角形的面积公式即可得解； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，记点可得，结合“费马点”的定义求解即可； （3）利用正弦定理、余弦定理求出及的长，求出，进而可得出，利用三角形的面积公式结合平面向量数量积的定义可求得结果. 【小问1详解】 设， 由，所以， 由，所以， 两式作差，得，而，则， 在中，则， 所以； 【小问2详解】 在中，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，设点，则，，， 所以， 所以表示到点的距离之和，如下图， 由题意，为的费马点时为最小值， 由，，设， 由余弦定理得，即， 同理得，，联立可得，， 所以最小； 【小问3详解】 如下图， 在中， 由正弦定理得，则， 由，则为锐角，所以， 由，则，故， 在中，可得， 所以， 故， 又， 所以， 由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$