14.2 三角形全等的判定 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.2 三角形全等的判定(四) 基础过关 1.如图,已知AB=AC,AD=AE,AF⊥BC于点F,则图中全等三角形共有 ( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 2.如图,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A,B,BD=AC.根据这些条件不能推出的结论是( ) A. AD∥BC B. AD=BC C. AC平分∠DAB D.∠C=∠D 3.如图,已知∠A=∠D=90°,要用“HL”证明△ABC≌△DCB,应添加条件: ;要用“AAS”证明△ABC≌△DCB,应添加条件: . 4.如图,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC,这个条件可以是 .(写出一个即可) 5.如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF.求证:AE=DF. 能力提升 6.如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则∠EDF= °. 7.如图,在△ABC中,∠A=90°,D为BC上一点,AB=BD,过点D作ED⊥BC,交AC于点E,若AC=8,CD=4,则△CDE的周长是 . 8.有下列结论：①一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；②一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的是 .(填序号) 9.如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从点C出发以2cm/s的速度沿射线CQ运动，点 N在射线BM上，随着点 P的运动而运动，满足 PN=AB,当点 P运动 s时,△BCA与以点P,N,B为顶点的三角形全等. 10.如图,∠C=∠D=90°,BC与AD 交于点E, 求证： 11.如图,AB=AC,DE=DF,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.求证:(1)AE=AF;(2)DB=DC. 12.如图,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若BD=CD,BE=CF. (1)求证:△ADE≌△ADF; (2)已知AC=18,AB=12,求 BE的长. 拓展延伸 13.观察与类比： (1)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,延长DE交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:DF=BC+CF; (2)如图②,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长 BC交DE 于点F,写出DF,BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论. 1. D 2. C 3. AB=DC(或AC=DB) ∠ACB=∠DBC(或∠ABC=∠DCB) 4. AB=AD(答案不唯一) 5.证明:∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠DFC=∠AEB=90°,又∵CE=BF,∴CE-EF=BF--EF,即CF=BE.在Rt△DFC和Rt△AEB中, ∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL),∴AE=DF. 6.55 7.12 8.①②④ 9.0或2或4或6 10.证明:连接AB. 在Rt△ABC和Rt△BAD中, ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴AC=BD. 11.证明:(1)如答图,连接AD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEA=∠DFA=90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中, ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴AE=AF. (2)∵AB=AC,AE=AF,∴BE=CF. 在△BDE和△CDF中, ∴DB=DC. 12.(1)证明:∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴∠E=∠DFC=∠DFA=90°. 在 Rt△EBD与 Rt△FCD中, ∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴DE=DF. 在 Rt△AED 与 Rt△AFD中, . Rt△AED≌Rt△AFD(HL). (2)解:∵Rt△AED≌Rt△AFD,∴AE=AF, ∴AF=AB+BE=12+BE. ∵AC=AF+FC,∴AC=AB+BE+FC, ∴18=12+BE+CF. ∵BE=CF,∴18=12+2BE,∴BE=3. 13.(1)证明:∵DE⊥AB,∠ACB=90°, ∴∠AED=∠AEF=∠ACB=90°. 在Rt△ACF与Rt△AEF中 ∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL),∴CF=EF. 在Rt△ADE与Rt△ABC中, ∴Rt△ADE≌Rt△ABC(HL),∴DE=BC, ∵DF=DE+EF,∴DF=BC+CF. (2)解:BC=CF+DF.证明如下: 如答图，连接AF. 在Rt△ABC与Rt△ADE中, ∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL),∴BC=DE. ∵∠ACB=90°,∴∠ACF=90°=∠AED. 在Rt△ACF与Rt△AEF中, ∴Rt△ACF≌△AEF(HL),∴CF=EF. ∵DE=EF+DF,∴BC=CF+DF. 学科网（北京）股份有限公司 $$14.2 三角形全等的判定 (二) 基础过关 1.如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是( ) A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C. AB=DC D. AF=DE 2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC上一点,连接AD.过点 B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD 的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 。 3.如图,D,E两点分别在AB,AC上,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,只需添加一个条件,这个条件可以是 . 4.(2024·鼓楼区模拟)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,在BD上取两点E,F,使DF=BE,连接AE,CF.若AE∥CF,试说明△ABE≌△CDF. 5.如图，已知AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD 的垂线，垂足分别为F，E，请完成以下问题. (1)求证:CF=BE; (2)若△ACF的面积为28,△CFD的面积为12,求△ABE的面积. 能力提升 6.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(—6,3),则点 B 的坐标为 . 7.如图①,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE 于点O. (1)已知 ,求证:AD平分CF. 请在下列三个条件中，选择一个补充到上面的横线上，并完成解答. 你选择的条件是 .(填序号)①AB=DE;②AC=DF;③BF=EC. (2)若将△DEF的边EF沿BE 方向移动,使BF=EC,如图②,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 拓展延伸 8.(1)如图①,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,∠B=∠FDE=∠C,BE=DC.求证:DE=DF; (2)如图②,在△ABC中,BA=BC,∠B=45°.点 D,F分别是边BC,AB上的动点,且AF=2BD.以DF 为腰向右侧作等腰△DEF,使得 DE=DF,∠EDF=45°.连接CE.探究线段DC，BD，BF之间的数量关系，并直接写出∠ECD的度数. 模型积累 【模型1】一线三直角 【条件】 【结论】 图①中， 图②中， 【结论】 【模型2】一线三等角 【条件】 【条件】 【结论】△ABD≌△BCF. 学科网（北京）股份有限公司 1. D 2.3 3.∠B=∠C(答案不唯一) 4.证明:∵AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF. ∵AE∥CF,∴∠AEB=∠CFD. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(ASA). 5.(1)证明:∵CF⊥AD,BE⊥AD,∴∠CFD=∠BED=90°. ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD. 在△CFD和△BED中, ∴△CFD≌△BED(AAS),∴CF=BE. (2)解:∵S△AcF=28,S△cFD=12, ∵BD=CD,∴S△ABD=S△ACD=40. 由(1)得:△CFD≌△BED,∴S△CFD=S△BED=12, 6.(1,4) 7.解:(1)选择①:∵AB∥ED,AC∥FD, ∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE. ∵AB=DE,∴△ACB≌△DFE(AAS),∴AC=DF. ∵AC∥DF,∴∠OAC=∠ODF,∠OFD=∠OCA, ∴△OAC≌△ODF(ASA),∴OF=OC,即AD平分CF. 选择②:∵AC∥FD, ∴∠OAC=∠ODF,∠OCA=∠OFD. ∵AC=DF,∴△OAC≌△ODF(ASA), ∴OF=OC,即AD平分CF. 选择③:∵AB∥ED,AC∥FD, ∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE. ∵BF=EC,∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF, ∴△ACB≌△DFE(ASA),∴AC=DF. ∵AC∥DF,∴∠OAC=∠ODF,∠OFD=∠OCA, ∴△OAC≌△ODF(ASA),∴OF=OC,即AD平分CF. (2)(1)中的结论仍然成立.证明如下： ∵AB∥ED,AC∥FD,∴∠B=∠E,∠ACF=∠DFC, ∴180°-∠ACF=180°-∠DFC,即∠ACB=∠DFE. ∵BF=EC,∴BF--CF=EC--CF,即BC=EF, ∴△ACB≌△DFE(ASA),∴AC=DF. ∵AC∥DF,∴∠OAC=∠ODF,∠OFD=∠OCA, ∴△OAC≌△ODF(ASA),∴OC=OF,即AD平分CF. 8.(1)证明:∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED,∠EDF=∠B,∴∠FDC=∠BED. 在△EBD和△DCF 中 ∴△EBD≌△DCF(ASA),∴DE=DF. (2)解:∵AB=BC,∴AF+BF=BD+DC. ∵AF=2BD,∴2BD+BF=BD+DC, ∴BD+BF=DC. 在CD上截取DM=BF,连接EM. ∵∠B=45°,∠EDF=45°, 同(1)可得:∠BFD=∠EDM. ∵DF=DE,∴△BDF≌△MED(SAS), ∴BD=ME,MD=BF,∠B=∠DME=45°. ∵CD=BD+BF=DM+CM,∴CM=BD, ∴EM=CM,∴∠MCE=∠MEC. ∵∠EMD=45°,∴∠ECD=∠MEC=22.5°. $$ 14.2 三角形全等的判定 (一) 基础过关 1.数学课上老师布置了“测量酸奶瓶内部底面的直径”的探究任务，小熙想到了以下方案：如图，用图钉将两根吸管AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道直径AB的长度.此方案依据的数学定理或基本事实是 ( ) A.边边边 B.全等三角形的对应角相等 C.边角边 D.三角形的稳定性 2.如图,AC和BD 相交于O点,若OA=OD,用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需 ( ) A. AB=DC B. OB=OC C.∠A=∠D D.∠AOB=∠DOC 3.如图,线段AC,BD相交于点O,且AO=OC,BO=OD,DE=BF,CE=9 cm,则AF的长为 cm. 4.如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D,使AD=AC.在边AC上截取AF=AB,连接DF.求证:DF=CB. 能力提升 5.如图,AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,则∠CAE为 ( ) A.20° B.30° C.40° D.50° 6.如图,点A,B,C,D在同一条直线上, (1)求证:△AEC≌△DFB; (2)若S△AEC=6,求四边形BECF 的面积. 7.如图，已知 都是等腰直角三角形，连接BD，CE. (1)求证: (2)若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE 的位置关系，并说明理由. 拓展延伸 8.如图,在△ABC中, ，D为AB 的延长线上一点，点 E 在BC 边上，且 ,连接AE,DE,DC. (1)求证: (2)若 ,求∠EDC的度数. 模型积累 【模型】手拉手型或旋转型 【条件】 【结论】 1. C 2. B 3.9 4.证明:在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°, ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. ∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°, ∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°,∴∠DAF=∠CAB.在△DAF和△CAB中, ∴DF=CB. 5. A 6.(1)证明:∵AE∥DF,∴∠A=∠D. ∵AB=CD,∴AC=DB. 在△AEC和△DFB中, (2)解:如答图,在△AEC中,以AC为底作高EH, 又 ∵△AEC≌△DFB,∴∠ACE=∠DBF,EC=FB. 在△BEC和△CFB中, ∴S△BEC=S△CFB,∴S四边形BECF=2S△BEC =9. 7.(1)证明:∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, (2)解:BF⊥CE.理由如下:如答图. ∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE, ∴∠DBC+∠BCF=∠DBC+∠ACB+∠ABD=45°+45°=90°,∴∠BFC=90°,∴BF⊥CE. 8.(1)证明:∵∠ABC=90°,D为AB的延长线上一点,∴∠ABE=∠CBD=90°. 在△ABE和△CBD中, (2)解:∵AB=CB,∠ABC=90°,∴∠CAB=45°,又∵∠CAE=30°,∴∠BAE=15°. 由(1)知△ABE≌△CBD,∴∠BCD=∠BAE=15°, 又∵BE=BD,∠DBE=90°,∴∠BDE=45°, 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 三角形全等的判定 (三) 基础过关 1.(2024·玉环三模)如图,AB=BD,BC=BE,要使△ABE≌△DBC,需添加条件 ( ) A. AE=DC B. DC=AC C.∠D=∠E D. AB=BE 2.如图,AB,CD,EF相交于点O,且被点O平分,DF=CE,BF=AE,则图中全等三角形的对数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,AB=AC,BD=DC,则下列结论不正确的是 ( ) A.∠B=∠C B.∠ADB=90° C.∠B=2∠BAD D. AD平分∠BAC 4.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,只需添加一个条件,则这个条件可以是 . 5.如图,在△ABC和△DEF中,点B,C,E,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,∠A=85°,∠DEF=25°,则∠F 的度数为 . 6.(2024·杭州期末)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AC=EF,AD=BE,BC=DF.求证:∠ABC=∠EDF. 能力提升 7. 如图，已知∠ABC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点 P，D；作一条射线 FE，以点 F为圆心，BD长为半径作弧l，交EF于点H；以点H为圆心，PD长为半径作弧，交弧l于点Q；作射线 FQ.这样可得 ，其依据是 . 8.如图,已知AD=CB,AB=CD.求证:∠A=∠C. 9.如图,AB=CD,DE=BF,AE=CF. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)判断AE与CF 的位置关系，并说明理由 10.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,若CE=BF,AE=EF+BF,试判断直线AC与BC的位置关系,并说明理由. 11.小春在做数学作业时，遇到这样一个问题：如图，AB=CD，BC=AD，请说明∠A=∠C.小春动手测量了一下，发现∠A 确实等于∠C，但她不能说明其中的道理，你能帮助她吗? 拓展延伸 12.如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE,BD分别与CE,AC相交于点O,F.求证:∠CAB=∠EAD=∠BOC. 1. A 2. C 3. C 4. AF=CE(答案不唯一). 5.70° 6.证明:∵AD=BE,∴AB=DE. 在△ACB和△EFD中 ∴△ACB≌△EFD(SSS),∴∠ABC=∠EDF. 7. SSS 8.证明:连接BD. 在△ABD与△CDB中. ∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠A=∠C. 9.(1)证明:∵DE=BF, ∴DE--EF=BF-EF,即DF=BE. 在△ABE 和△CDF中 ∴△ABE≌△CDF(SSS). (2)解:AE∥CF. 理由:∵△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠DFC. ∵∠AEB+∠AEF=∠DFC+∠EFC=180°, ∴∠AEF=∠EFC,∴AE∥CF. 10.解:AC⊥BC.理由如下: ∵AE=EF+BF,CE=BF,∴AE=EF+CE=CF. 在△ACE和△CBF中, ∴△ACE≌△CBF,∴∠BCF=∠CAE. ∵AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠CAE+∠ACE=90°, ∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°, ∴AC⊥BC. 11.解:能.连接BD. ∵在△ABD 和△CDB中,AB=CD,AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠A=∠C. 12.证明:∵AB=AC,AD=AE,BD=CE, ∴△ABD≌△ACE(SSS),∴∠BAD=∠CAE,∠C=∠B. ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD, 即∠CAB=∠EAD, ∵∠BOC=180°-∠C-∠OFC=180°-∠B-∠AFB=∠CAB,∴∠CAB=∠EAD=∠BOC. 学科网（北京）股份有限公司 $$