精品解析：2025年河南省南阳市唐河县中考三模数学试题

2025年中考模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 某公司设计的麒麟9006C芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（　　） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 检测遥感43号02组卫星的零部件质量采用普查的方式 B. 样本中个体的数目称为样本容量 C. “三角形的内角和是”是必然事件 D. 甲、乙两人10次测试的平均分都是93分，且方差，则发挥稳定的是甲 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 10. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的倍少人，若使用超市塑料袋的为人，则使用自带环保袋的人数为______．（用含的代数式表示） 12. 某市革命纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有3000名学生，随机调查了200名学生，其中有90名学生去过该革命纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过该革命纪念馆的概率约是______． 13. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，，，点为的中点，点是射线上一动点，连接，，作关于直线的对称图形，点的对应点为．当与的重叠部分的面积恰好为面积的一半时，的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，过点作轴于点． （1）求的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形． 19. 如图，在距某信号塔（垂直地面）的底部点B的右侧30米处有一个斜坡，斜坡的坡度i为，斜坡上4米处有一竖直广告牌（即米，），已知当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的顶端影子重合于点E（即点A，C，E在同一条直线上），经测量长度为9米，求信号塔的高度．（结果保留整数）（参考数据：） 20. “安阳是一生必去的城市，有文化，必安阳！”越来越多的游客慕名来到安阳旅游，与甲骨文有关的文旅产品受到游客的普遍欢迎.某商店销售以甲骨文为主题的A，B两款文化衫，每件A款文化衫的利润比每件B款文化衫的利润多8元，销售A款文化衫获利元和销售B款文化衫获利元时的销售数量相同． （1）求每件A款文化衫和B款文化衫的利润． （2）若该商店计划购进A、B两款文化衫共件进行销售，且A款文化衫数量不超过B款文化衫数量的倍，商店购进A、B两款文化衫各多少件，才能使销售完这件文化衫获得最大利润?最大利润是多少? 21. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 22. 图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． （1）求门拱所在的抛物线表达式； （2）如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 23. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟试卷（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，去掉正负号，直接比较数值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是； 故选B． 2. 某公司设计的麒麟9006C芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数． 根据，把换成单位为“”的量，根据科学记数法的表示，，其中，即可得到答案． 【详解】解：， ． 故选：． 3. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（　　） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体．由主视图和左视图，可以确定是柱体，再结合俯视图即可得到正确答案． 【详解】解：由主视图和左视图可以确定是柱体，又因为俯视图是三角形，可以确定该柱体是三棱柱． 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及单项式乘以多项式，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 检测遥感43号02组卫星的零部件质量采用普查的方式 B. 样本中个体的数目称为样本容量 C. “三角形的内角和是”是必然事件 D. 甲、乙两人10次测试的平均分都是93分，且方差，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计调查方式、样本容量定义、必然事件判断及方差的意义，根据以上知识点逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、卫星零部件质量检测必须全面，故采用普查，原说法正确，不符合题意； B、样本容量即样本中个体数目，原说法正确，不符合题意； C、三角形内角和恒为，是必然事件，原说法正确，不符合题意； D、方差越小越稳定，乙方差更小，故发挥稳定的是乙，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式得； 解不等式得 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为， 故选： C． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 故选A． 9. 抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两个根是，；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y的值随x增大而增大； ∴当时，y的值随x增大而增大； 故③正确， 综上可知，正确的有①②③． 故选:A． 10. 如图，菱形的边长是4厘米，，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记的面积为S厘米，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 应根据和两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解． 【详解】解：作于点E， 当时， ， ， ； 当时，作于N，作于M， ， ， ， ； 只有选项D的图形符合． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的倍少人，若使用超市塑料袋的为人，则使用自带环保袋的人数为______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列代数式，解题关键是理解题意． 先根据题意得出自带环保袋的人数和使用超市塑料袋人数的数量关系，再根据使用超市塑料袋的人数，即可用代数式表示自带环保袋的人数． 【详解】解：根据题意得：使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的倍少人， 即使用自带环保袋的人数使用超市塑料袋人数， 若使用超市塑料袋的为人， 则使用自带环保袋的人数． 故答案为：． 12. 某市革命纪念馆，是全国中小学生研学实践教育基地．某校有3000名学生，随机调查了200名学生，其中有90名学生去过该革命纪念馆．在该校随机调查一名学生，他去过该革命纪念馆的概率约是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，根据随机调查了名学生，其中有名学生去过该革命纪念馆即可得到答案．读懂题意，理解由频率估计概率的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵随机调查了名学生，其中有90名学生去过该革命纪念馆 ∴在该校随机调查一名学生，他去过该革命纪念馆的概率约是． 故答案为：． 13. 在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：4． 14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、求半圆的面积、三角形的面积，作于，延长交于，由题意可得：，从而得出，，进而得出，结合图形求出，最后根据，进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，延长交于， ， 由题意可得：， ，， ， 相似比为， ， 由图可得：， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，，，点为的中点，点是射线上一动点，连接，，作关于直线的对称图形，点的对应点为．当与的重叠部分的面积恰好为面积的一半时，的长为_____． 【答案】2或##或2 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形中线求面积，勾股定理，角直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分两种情况讨论：①若与交于点F，连接，易得，即可得到．从而可得四边形是平行四边形，即可得到，从而可求出；②若与交于点G，连接，交与H，如图，同理可得，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，从而可求出． 【详解】解：①若与为交于点F，连接，如图． ∵点D是的中点， ∴． 由折叠可得， 由题可得， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴； ②若与交于点G，连接，交与H，如图． 同理可得， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点C， ∵， ∴， ∴点P与点C重合， ∴． 故答案为：2或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，求特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 当时，原式． 17. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）84，80，； （2） 甲班成绩较好，理由如下： ①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班优秀率高于乙班，所以甲班成绩比乙班好； ②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的成绩比较好答案不唯一； （3）550人 【解析】 【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）根据中位数的定义可求出m，根据众数的定义可求出n，根据折线的波动幅度可判断方差的大小； （2）选择两个特征数分析即可； （3）用800乘以80分及以上的学生人数占的比例即可． 【小问1详解】 解：乙班成绩从小到大排列：56，75，79，83，85，90，90，100， ， 甲班成绩出现次数最多的数据为，故， 由“抽取学生的竞赛成绩折线统计图”可知：甲班学生的成绩更集中， ， 故答案为：84，80，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人， 答：估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有550人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，过点作轴于点． （1）求的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）18 （2）如图，直线即为所求： （3） 证明：设垂直平分线与交于点E， 由作图知： ， 轴于点， ∴， ， ， 又∵ ， ， ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）由作图知：，证明得到，从而证出结论． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，菱形的判定，尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 如图，在距某信号塔（垂直地面）的底部点B的右侧30米处有一个斜坡，斜坡的坡度i为，斜坡上4米处有一竖直广告牌（即米，），已知当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的顶端影子重合于点E（即点A，C，E在同一条直线上），经测量长度为9米，求信号塔的高度．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】信号塔的高度约为26米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是对坡度坡角的理解掌握情况．过点E分别作的垂线，垂足为G，F，设，则，则在中，（米），由勾股定理得，再列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E分别作的垂线，垂足为G，F， 则得四边形为矩形， ∴， ∵的坡度i为， ∴设，则， 在中，（米）， 由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍去）， ∴米，米， 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）， 答：信号塔的高度约为26米． 20. “安阳是一生必去的城市，有文化，必安阳！”越来越多的游客慕名来到安阳旅游，与甲骨文有关的文旅产品受到游客的普遍欢迎.某商店销售以甲骨文为主题的A，B两款文化衫，每件A款文化衫的利润比每件B款文化衫的利润多8元，销售A款文化衫获利元和销售B款文化衫获利元时的销售数量相同． （1）求每件A款文化衫和B款文化衫的利润． （2）若该商店计划购进A、B两款文化衫共件进行销售，且A款文化衫数量不超过B款文化衫数量的倍，商店购进A、B两款文化衫各多少件，才能使销售完这件文化衫获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】（1）A 款文化衫每件利润元，B 款文化衫每件利润 元； （2）购进 A 款文化衫 件，B 款文化衫 件，获得最大利润 元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一次函数、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键. （1）设每件 A 款文化衫利润是 x 元，则每件 B 款文化衫利润是元，依题意得：，据此即可求解； （2）设购进 A 款文化衫 m 件，则购进 B 款文化衫件，销售总利润是 w 元， 依题意，，据此即可求解 【小问1详解】 解：设每件 A 款文化衫利润是 x 元，则每件 B 款文化衫利润是元， 依题意得： 解得. 经检验， 是原分式方程的解． ∴ 答：A 款文化衫每件利润元，B 款文化衫每件利润 元； 【小问2详解】 解：设购进 A 款文化衫 m 件，则购进 B 款文化衫件，销售总利润是 w 元， 依题意 解得 ∵． 且，所以 w 随 m 的增大而增大， ∴当 时，w 取得最大值 元． 此时，． 答：购进 A 款文化衫 件，B 款文化衫 件，获得最大利润 元． 21. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． （1）求门拱所在的抛物线表达式； （2）如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 【答案】（1）抛物线的表达式为 y =+5 （2）悬挂标语框时脚手架的高度最低为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出悬挂位置处的点的横坐标． （1）先求出点B和点D的坐标，设抛物线解析式为：，把点B和点D的坐标代入可得a和h的值； （2）根据点A，B关于y轴对称，，求出点A的坐标，设点 E 右侧处为点I，从而得到I的坐标，求出时的高度，减去即可． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， ， 且 ， ， 设抛物线的表达式为， 将 分别代入得 ， ， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 由题意可知，点A，B关于y轴对称，， ， 设点 E 右侧处为点I， 则， 当时，， 米， 答：悬挂标语框时脚手架的高度最低为米． 23. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求， 90 （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $