专题21.2(1) 特殊一元二次方程的解法（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本初中数学讲义聚焦特殊一元二次方程的解法，系统梳理因式分解法（基于零乘积原理，含提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法）和直接开平方法（基于平方根意义），构建“原理-方法-易错-应用”的学习支架，衔接降次化归为一元一次方程的数学思想。 资料以“知识点+题型+练习”分层设计，通过典例解析与变式训练培养推理意识，易错点睛强化抽象能力，拓展应用（如换元法、实际问题）提升应用意识。课中辅助教师聚焦重难点教学，课后助力学生查漏补缺，深化对数学思想的理解与运用。

专题21.2（1） 特殊一元二次方程的解法 教学目标 1.理解因式分解法解方程的原理（零乘积原理），熟练用提公因式、平方差、完全平方分解方程左侧，快速解一元二次方程； 2.掌握直接开平方法解型方程； 3.理解一元二次方程解法中的化归数学思想，通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程。 教学重难点 1.重点 一元二次方程因式分解法和直接开平方法。 2.难点 理解一元二次方程解法中的数学思想，并灵活加以运用。 知识点01 因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法的解题依据——零乘积性质 零乘积性质：若。 把一元二次方程化成两个一次因式乘积等于 0 的形式，实现降次目的，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求得方程的根。 2. 三种常见分解类型 （1）提公因式法： （2）公式法 ① 平方差公式：=0. ② 完全平方公式： （3）十字相乘法： 【易错点睛】 ① 方程右边必须化为0； ② 不可随意两边约去含未知数的因式（容易丢根）； 例：，不能直接除以。 【即学即练】 1. 用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 2．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，． 知识点02 直接开平方法解一元二次方程 1. 直接开平方法解一元二次方程的依据——平方根的意义 2. 两种常见类型 ① 若，则=， ② 若，则=， 【即学即练】 1. 解下列方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：移项，得， 系数化为1，得， 开平方，得， ，． （2）解：移项，得， 系数化为1，得， 开平方，得， ，． 2. 解下列方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 题型01 用提公因式法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 【典例2】解方程：． 【答案】， 【分析】先因式分解得到，再解方程即可． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得，         即或，         解得，． 【变式1】．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．首先提取公因式，再用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：． 或 解得：，． 【变式2】解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 【变式3】解方程：． 【答案】 【分析】先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或 解得： 【变式4】用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】解： 即 解得， 题型02 公式法因式分解 【典例1】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【详解】解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 【变式1】解方程： 【详解】解：根据平方差公式，得， 解得； 【变式2】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【变式3】（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【变式4】解方程． 【详解】解：， ， 根据平方差公式，得， ， 或， ． 题型03 十字相乘法 【典例1】解方程，我们可以按下面的方法解答： 分解因式： ①竖分二次项与常数项： x        x        ②交叉相乘，验证中项： ． ③横向写出两因式： 根据等式的性质可以这样求解： 方程左边因式分解得 ， 所以或． 得． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 方程左边因式分解得． 所以或．得； （2）解：， 方程左边因式分解，得． 所以或． 得． 【变式1】解方程：(1)；（2）． 【答案】（1）（2） 【分析】因式分解法解方程即可. 【详解】（1）解：， ， 或， 解得. （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴ 【变式2】解方程：（1） （2）． 【答案】 ，/ 【详解】(1)解： ，或， 解得：， ． (2)， 因式分解得：， 或， 方程的解为：． 【变式3】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程左边用十字相乘法因式分解，然后解方程即可． （2）先把二次项系数化为，再用十字相乘法因式分解，解方程即可． 【详解】（1）解：. 等号左边因式分解得：， 或， 解得． （2）解： 整理得：． 等号左边因式分解得：， 或， 解得． 【变式4】解一元二次方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键． （1）用因式分解法计算即可． （2）用因式分解法计算即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵ ∴， ∴， 解得． 题型04 因式分解法的辨析 【典例1】如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【详解】解：正确步骤如下： ， ， ， 或， 解得或． ∴第三步的提取公因式出错． 【变式1】某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 【答案】B 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， 因此完全正确的是乙同学． 【变式2】用因式分解法解下列方程，正确的是（ ） A．，则或 B．，则或 C．，则或 D．，则 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤逐一判断即可． 【详解】解：A中，，右边不是0，无法得出或，此选项错误，不符合题意； B中，，则或，此选项正确，符合题意； C中，，不一定是或，此选项错误，不符合题意； D中，，则或，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，根据因式分解的步骤解方程后再判断即可． 【详解】， ， ∴或， ∴或； 故小李解方程的过程错误，A选项不符合题意； 【变式4】已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 也是该方程的一个解，B选项符合题意； 小李解方程的方法不是配方法，是因式分解法，C选项错误； 解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误，D选项错误． 故选：B． 题型05 直接开平方法 【典例1】解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握对于缺少一次项的一元二次方程，先移项系数化为1，再开平方求解，开平方要考虑正负两种情况是解题的关键． （1）（2）对于缺少一次项的一元二次方程，通过移项，系数化为 1，再开平方求解． 【详解】（1）解：移项，得， 系数化为1，得， 开平方，得， ，． （2）解：移项，得， 系数化为1，得， 开平方，得， ，． 【变式1】(1)一元二次方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，移项后用直接开平方法求解即可． 【详解】解；∵ ∴ ∴ 故答案为： (2)方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 【变式2】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，是解题的关键： （1）移项，系数化1，再开方即可； （2）移项，合并，系数化1，再开方即可． 【详解】（1）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤是解此题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得， 即，； （2） 解得 即，； （3） 解得 即，． 题型06 直接开平方法 【典例1】解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【典例2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 【变式1】求下列各式中的的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解； （2）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得， 解得． （2）解：， 化简得， 开方得， 解得． 【变式2】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【变式4】用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 题型07 一元二次方程解法的拓展和应用 【典例1】为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 【典例2】学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 【变式1】已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 【变式2】已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 【变式3】解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 【详解】解：设，则原方程可化为：， ， 解得：，， 当时，即：，解得：， 当时，即：，解得：， 综上所述，原方程的解为：，． 【变式4】松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 1．方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 2．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 4．下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解法解题即可． 【详解】解：A：， ， ∴，；故该选项符合题意； B：， ， ∴，；故该选项不合题意； C：， ∴，；故该选项不合题意； D：， ， ∴；故该选项不合题意． 5．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 6.（1）方程的根是_______． 【答案】， 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． （2）方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． （3）方程 的解是______． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得． （4）已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 7．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 8．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 变形得：，即， 开方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：，． （2）解： ， ∴或， 解得：， 10．用恰当的方法求解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ∴ ∴或 解得：， （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或， 解得：， （3）解： ∴ ∴或 解得：， （4）解： ∴ ∴ 解得：， 11．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【详解】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 12．逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了斤（）， (1)在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含的代数式表示）； (2)若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤． 【答案】(1) (2)该顾客共购书10斤或20斤 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，先求出这位顾客的购书单价，再由等量关系列一元二次方程求解即可得到答案，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意直接列代数式即可得到答案； （2）由（1）知这位顾客的购书单价为，根据题意列一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设某位顾客买了斤（）， 已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元，则在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为， 故答案为：； （2）解：由（1）知这位顾客的购书单价为元， 则，即 ，          解得，， 经检验两个解均满足大于5 故该顾客共购书10斤或20斤． 1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 2．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 3．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 4．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 5．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况讨论是否构成等腰三角形,然后求出周长即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 【详解】（1）解： ， ． 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，因，不满足两边之和大于第三边,此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）解：由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则 ， ②若2，4分别是的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 综上，的面积为4或． 7．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】根据正比例函数是（k为常数，），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得：． 8．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 【答案】 【分析】根据新定义先化简方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 9．解方程： (1)； 【答案】(1)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； (2) 【答案】(2) 【详解】（2）解： 配方法： ． 10．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． (3) (4) 【答案】(3)，； (4)，； 【详解】（3）解： ， ， 即或， 解得，； （4）解：， ， 或， ∴，； 11．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 12．数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； (2)再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据题干的图形，分别计算5层总数即可； （2）由题意可设智算组共用去棋子的数量为，再令，两式相加即可求出，同理可求出数形组的棋子数量； （3）设智算组共摆了层，根据题意列出一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知，若两组都摆放5层， 智算组共用去棋子的数量为枚， 数形组共用去棋子的数量为枚． （2）解：由题意可知，若摆放层， 可设智算组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加可得，， 智算组共用去棋子的数量为枚； 可设数形组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加， 数形组共用去棋子的数量为枚． （3）解：设智算组共摆了层， 由题意可得，， 整理化简可得，， 因式分解可得，，解得或（舍）， 一盒棋子的数量为枚 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2（1） 特殊一元二次方程的解法 教学目标 1.理解因式分解法解方程的原理（零乘积原理），熟练用提公因式、平方差、完全平方分解方程左侧，快速解一元二次方程； 2.掌握直接开平方法解型方程； 3.理解一元二次方程解法中的化归数学思想，通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程。 教学重难点 1.重点 一元二次方程因式分解法和直接开平方法。 2.难点 理解一元二次方程解法中的数学思想，并灵活加以运用。 知识点01 因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法的解题依据——零乘积性质 零乘积性质：若。 把一元二次方程化成两个一次因式乘积等于 0 的形式，实现降次目的，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求得方程的根。 2. 三种常见分解类型 （1）提公因式法： （2）公式法 ① 平方差公式：=0. ② 完全平方公式： （3）十字相乘法： 【易错点睛】 ① 方程右边必须化为0； ② 不可随意两边约去含未知数的因式（容易丢根）； 例：，不能直接除以。 【即学即练】 1. 用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 2．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 知识点02 直接开平方法解一元二次方程 1. 直接开平方法解一元二次方程的依据——平方根的意义 2. 两种常见类型 ① 若，则=， ② 若，则=， 【即学即练】 1. 解下列方程： (1)． (2)． 2. 解下列方程： (1)． (2)． 题型01 用提公因式法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【典例2】解方程：． 【变式1】．解方程：． 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程：． 【变式4】用因式分解法解方程：． 题型02 公式法因式分解 【典例1】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【变式1】解方程： 【变式2】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【变式3】（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【变式4】解方程． 题型03 十字相乘法 【典例1】解方程，我们可以按下面的方法解答： 分解因式： ①竖分二次项与常数项： x        x        ②交叉相乘，验证中项： ． ③横向写出两因式： 根据等式的性质可以这样求解： 方程左边因式分解得 ， 所以或． 得． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程：(1)；（2）． 【变式2】解方程：（1） （2）． 【变式3】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【变式4】解一元二次方程： (1) (2)． 题型04 因式分解法的辨析 【典例1】如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【变式1】某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 因此完全正确的是乙同学． 【变式2】用因式分解法解下列方程，正确的是（ ） A．，则或 B．，则或 C．，则或 D．，则 【变式3】小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 【变式4】已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 题型05 直接开平方法 【典例1】解下列方程： (1)． (2)． 【变式1】(1)一元二次方程的根是______． (2)方程的解是______． 【变式2】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型06 直接开平方法 【典例1】解下列方程： (1)． (2)． 【典例2】解方程：． 【变式1】求下列各式中的的值： (1)； (2) 【变式2】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【变式3】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式4】用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 题型07 一元二次方程解法的拓展和应用 【典例1】为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【典例2】学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【变式1】已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【变式2】已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【变式3】解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 【变式4】松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 1．方程的根为（    ） A． B． C． D． 2．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 5．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 6.（1）方程的根是_______． （2）方程解为_________． （3）方程 的解是______． （4）已知，则的值为________． 7．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 8．解下列方程： (1)； (2)． 9．解方程： (1)； (2)． 10．用恰当的方法求解方程． (1) (2) (3) (4) 11．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 12．逛商场时经常会遇到“图书按斤卖”活动．已知某商场“图书按斤卖”活动销售单价为25元/斤，为庆祝商场周年庆，决定采取“多买多降”活动，即当顾客购买质量超过5斤时，每多买1斤，购书单价则下降1元．设某位顾客买了斤（）， (1)在该周年庆活动下，这位顾客的购书单价为__________元（用含的代数式表示）； (2)若该顾客以活动价购书花了200元，那么该顾客共购书多少斤． 1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 2．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 3．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 4．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 5．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 6．已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 7．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 8．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 9．解方程： (1)； (2) 10．解一元二次方程： (1)； (2)． (3) (4) 11．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 12．数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． (1)先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； (2)再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； (3)若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $