精品解析：2025年内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗九年级中考三模数学试题

2025年伊金霍洛旗初中学业水平调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项．请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ） 微信红包——来自李某某 某平台商户 扫二维码付给某店 A. 收入4元 B. 支出2元 C. 支出6元 D. 支出9元 4. 把一副三角板如图摆放，含的角的顶点O在斜边AN上，且使得两边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离（单位：）与他所用的时间（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线.分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（ ） A. ①⑤ B. ①②⑤ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 10. 如图，已知为反比例函数的图象上一点，过作轴，垂足为，若的面积为，则的值为_________． 11. 阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线：②西宁市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦．以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为______千米（参考数据：，，，）． 12. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分． 13. （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 14. 2025年是“十四五”规划收官之年，鄂尔多斯市某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，如图，整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： __________， __________；请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 15. 银杏树适生于温带、暖热带和亚热带气候，在年平均气温的地区，都可以栽培生长．某地气候属于亚热带气候，一位植物学家去当地一座高山考查，在山底测得温度为，海拔为500米．已知海拔每升高100米，气温下降，设温度为，海拔高度为x（米）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该植物学家想要在这座山上找到银杏树，试判断他能在海拔多少米的范围内找到银杏树？ 16. 如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． （1）求证：是的切线； （2）用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； （3）在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 17. 已知正方形，为对角线上一点． （1）如图1，连接，．求证：； （2）如图2，是延长线上一点，，交于点．若为的中点，且，求的长． （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：． 18. 如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求证：； （3）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年伊金霍洛旗初中学业水平调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项．请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】解：它的主视图是， 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、去括号法则、完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式的运算法则，是解题的关键．根据同底数幂的乘法即可判断A，根据积的乘方即可判断B，根据去括号法则即可判断C，根据完全平方公式即可判断D，从而得到答案． 【详解】解：A.，选项计算错误，故此选项不符合题意； B.，选项计算正确，故此选项符合题意； C.，选项计算错误，故此选项不符合题意； D.，选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ） 微信红包——来自李某某 某平台商户 扫二维码付给某店 A. 收入4元 B. 支出2元 C. 支出6元 D. 支出9元 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．根据图片，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：（元）， 即王老师当天微信收支的最终结果是收入4元． 故选：A． 4. 把一副三角板如图摆放，含的角的顶点O在斜边AN上，且使得两边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据，得到，根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：由题意和图可知：， ∵， ∴， ∴； 故选A． 5. 某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平均数，方差作决策，理解表格信息，熟练掌握方差的意义是关键．根据平均数的大小，方差的含义进行判定即可． 【详解】解：∵平均数：， ∴先从平均数角度出发，选择甲或丁； ∵方差：， ∴从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是丁， 故选：D． 6. 周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离（单位：）与他所用的时间（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象易得小辉家离图书馆的距离为1500m，从小辉家到图书馆所用的时间为20min，从图书馆到小辉家的所用的时间为15min，进而问题可求解． 【详解】解：由题意及图象可得：小辉家离图书馆的距离为1500m，从小辉家到图书馆所用的时间为20min，从图书馆到小辉家的所用的时间为70-55=15min， ∴小辉从家去图书馆的速度为1500÷20=75m/min； 从图书馆回家的速度为1500÷15=100m/min； 故选C． 【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是由函数图象得到解题的相关信息． 7. 如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为，得，，运用圆周角定理得，，则，，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则， 故选：D． 8. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线.分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（ ） A. ①⑤ B. ①②⑤ C. ③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】直接由，可判断结论①；把A点坐标代入抛物线求出a值，可判断结论②；由求得、的值并作差后即可判断结论③；结合抛物线的交点，再根据图像的位置得出自变量取值范围，判断④即可；由二次函数的对称性求出B、C的坐标，进一步验证，即可判断结论⑤． 【详解】解：∵， ∴无论x取何值，的值总是正数，所以①正确； ∵抛物线过点， 则有， 解得， 所以②不正确； ∵，， 当时，，， ∴，所以③不正确； 观察图像可知当时，； 时，； 时，． 所以④不正确； ∵抛物线，其对称轴为直线， 抛物线，其对称轴为直线， 又∵两抛物线交于点， ∴结合抛物线对称性，可求得，， 则，，所以，所以⑤正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了了二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质等，利用数形结合思想分析问题是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图像上点的坐标特征． 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，已知为反比例函数的图象上一点，过作轴，垂足为，若的面积为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的比例系数k的几何意义，根据题意，，再根据函数图象，即可求出k的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 又函数图象过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线：②西宁市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦．以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为______千米（参考数据：，，，）． 【答案】30720 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形、平行线的性质等知识点，熟练掌握三角函数的含义与解直角三角形的方法是解题的关键． 如图：作于D，则，根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可． 【详解】解：如图：作于D， ∴， ∵，， ∴， 在中，千米，， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴以为直径的圆的周长为：（千米）． ∴北纬纬线的长度约为30720千米． 故答案为：30720． 12. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题．设Q是的中点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设Q是的中点，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵，M为中点，Q是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点N在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分． 13. （1）计算：． （2）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、零次幂、特殊角的三角函数值、分式的加减乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则和运算方法成为解题的关键． （1）根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再将代值计算即可求解． 【详解】解： ． （2） ． 当时，原式． 14. 2025年是“十四五”规划收官之年，鄂尔多斯市某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，如图，整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： __________， __________；请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】（1）8，7，700 （2）解：七年级学生的党史掌握较好，理由如下： 通过数据对比发现，平均数和中位数两个年级相同， 方法一：因为七年级的众数8大于八年级的众数7，所以七年级学生党史知识掌握较好； 方法二：从优秀率来看，七年级的优秀率占，八年级的优秀率占，所以七年级学生的党史掌握较好； （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识． （1）由众数和中位数的定义求解即可；由七、八年级的总人数乘以两个年级优秀人数所占的百分比，即可求解； （2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级学生有6人得8分，出现人数最多， ∴； 八年级学生的测试成绩位于第8位的是8， ∴； 人， 即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人； 故答案为：8，7，700； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由统计图表可知：七年级获得10分的有1人，八年级获得10分的有3人，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种可能， ∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为． 15. 银杏树适生于温带、暖热带和亚热带气候，在年平均气温的地区，都可以栽培生长．某地气候属于亚热带气候，一位植物学家去当地一座高山考查，在山底测得温度为，海拔为500米．已知海拔每升高100米，气温下降，设温度为，海拔高度为x（米）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该植物学家想要在这座山上找到银杏树，试判断他能在海拔多少米的范围内找到银杏树？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为 （2）植物学家能在海拔2000米到4000米的范围内找到银杏树 【解析】 【分析】（1）根据题意列出y与x之间的函数关系式； （2）分别把和代入解析式求x的值，即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得； 当时，， 解得， ∴植物学家能在海拔2000米到4000米的范围内找到银杏树． 16. 如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． （1）求证：是的切线； （2）用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； （3）在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆半径， ∴是的切线； （2） 如图所示为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角得到，结合，推出，证明，由，得到，即可证明； （2）作直径的垂直平分线交所对弧于点F即可； （3）连接，利用圆周角定理证明是等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． 17. 已知正方形，为对角线上一点． （1）如图1，连接，．求证：； （2）如图2，是延长线上一点，，交于点．若为的中点，且，求的长． （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：． 【答案】（1） 证明：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3） ∵， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， 由（2）知，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）根据正方形的性质证明即可得到结论； （2）由正方形的性质以及平行线的性质可得；再根据全等三角形的性质可得，进而说明是等腰三角形；如图：过点F作于H，先说明，再根据正切的定义可得，最后运用勾股定理求解即可； （3）易得在中，，即；由（1）（2）可知、，再运用等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 如图：过点F作于H， ∵四边形为正方形，点G为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【小问3详解】 略 18. 如图，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求证：； （3）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：∵直线轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵在函数中，令，则， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴交轴于点，得到对称轴为，根据对称性求得，再由待定系数法即可求解； （2）由直线轴，，得到，根据同角的余角相等得到．令，则，得到，从而，进而有，即可证明结论； （3）由，得到，根据相似三角形的性质可求得，从而，根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴，交直线于点，设（），则，，从而，，进而得到，代入后求出m的值，即可解答． 【小问1详解】 解：解法一：∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴点与点B关于对称轴对称， ∴， 设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； 解法二：∵抛物线的对称轴交轴于点， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴交于点和点， ∴点与点B关于对称轴对称， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点P作轴，交直线于点，设（）， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 经检验，，都是方程的解，但不合题意，舍去， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $