精品解析：黑龙江哈尔滨市第七十三中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈73中（哈田中）2025-2026学年度下学期 高一学年期末考试 数 学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只交试卷答题页． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解. 【详解】 因为有8个数，且，所以分位数是第三个数5． 故选：D 3. 已知，，，若，则等于（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算法则进行求解. 【详解】由题意可得，， 所以，， 所以，解得 故选：C. 4. 在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算公式进行计算即可. 【详解】双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有9种不同的组合， 其中只有双方都选白色或都选黑色时不符合要求， 故不符合要求的概率为，符合要求的概率为． 故选:D. 5. 设为两条直线，为两个平面，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确； 对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若且， 如图所示，取点，过点，作，则， 设，可得，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为与所成角的平面角，由，可得，即， 所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确； 对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确. 故选：C. 6. 如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与不可能互斥 【答案】B 【解析】 【分析】用图示法，集合表示事件，集合表示事件，选项A，由图知不是全集，可判断选项A错误，选项B，由图知，即可判断出选项B的正误，因为可能为空集，也可能不为空集，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】如图所示，集合表示事件，集合表示事件， 对于选项A，如图，因为不是全集，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，即是必然事件，所以选项B正确， 对于选项C，由图知不一定是空集，即与可以同时发生，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，若，则与互斥，所以选项D错误， 故选：B. 7. 在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由余弦定理可得，，故. 故选：A. 8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求解作答. 【详解】在中，，，，则， 设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为， 三棱锥外接球球心为，半径为，有平面， 由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形， 则球心到平面的距离， 因此，所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，复数的模，以及复数的乘法运算和复数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数，则，所以A正确； 由，所以B正确； 由，所以C正确； 由在复平面内对应的点为位于第二象限，所以D错误. 故选：ABC. 10. 某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C. 样本的中位数为520 D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的有关概念计算可得结果. 【详解】 由，得，故样本数据落在区间内的频率为，A错误； 样本数据低于600的频率为，B正确； 对应的频率为，对应的频率为，所以中位数在内，故中位数为，C错误； 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为，D正确． 故选：BD 11. 已知，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，，则，当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，由得，所以的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________.（为虚数单位） 【答案】 【解析】 【分析】利用的周期性及复数的加减运算法则即可求解. 【详解】由题意，的周期为4， 所以原式. 故答案为：. 13. 如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以线路为通路的概率为. 故答案为： 14. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出直线与平面所成的角，求出OD的长，解直角三角形即可求得答案. 【详解】连接， 因为是圆锥的高，故平面，平面， 故，又点C是底面直径所对弧的中点，则， 平面，故平面， 则即为直线与平面所成的角， 因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，故， ，则, 故, 在中，, 即直线与平面所成的角的正切值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围． （1）是纯虚数； （2）对应的点在复平面的第三象限． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可； （2）根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可. 【小问1详解】 因为是纯虚数， 所以； 【小问2详解】 因为对应的点在复平面的第三象限， 所以， 因此实数m的取值范围为. 16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； （3）估计这次考试的众数、平均分． 【答案】（1） （2）73 （3）众数是75，平均分71 【解析】 【分析】（1）根据频率和等于1，即可求解；（2）根据中位数平分直方图的面积，列出方程求解即可；（3）根据众数的定义及平均数的计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为各组的频率和等于1， 故第四组的频率： 直方图如图所示． 【小问2详解】 成绩在的频率为 成绩在的频率为：，中位数在内. 设中位数为， 中位数要平分直方图的面积 ， 解得即中位数为. 【小问3详解】 频率最大的是组，则众数是； 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 估计这次考试的平均分是分． 17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动. （1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； （2）求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率. 【答案】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为， 则样本空间，共10个样本点. （2） 【解析】 【分析】（1）写出所有可能发生的情况即可； （2）写出所有满足题意的情况数，根据古典概型即可计算概率. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设事件表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”, 则， 中包含9个样本点,所以. 18. 已知在中，，，． （1）求； （2）若为边上一点且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，然后依次求得和. （2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得的面积. 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得， 所以， 则为锐角，且. 【小问2详解】 由于，所以为锐角， 且， 所以 ， 在三角形中，由正弦定理得， 所以. 19. 已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点． （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明：取中点G，连结． ∵E，G分别是的中点， ∴且． ∵F是中点，， ∴且． ∴为平行四边形． ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点G，连结，先证明四边形为平行四边形，再利用直线平面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，利用勾股定理分别证明和，即分别求得和，进而利用等体积法即由可得点B到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵E是中点，平面 ∴点E到平面的距离为． ∵，，， ∴， 且,即． ∴． ∵为平行四边形， ∴． ∵， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴点B到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈73中（哈田中）2025-2026学年度下学期 高一学年期末考试 数 学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只交试卷答题页． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 3. 已知，，，若，则等于（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑3种颜色的球衣．若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设为两条直线，为两个平面，若，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与不可能互斥 7. 在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 10. 某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C. 样本的中位数为520 D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 11. 已知，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________.（为虚数单位） 13. 如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为______． 14. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围． （1）是纯虚数； （2）对应的点在复平面的第三象限． 16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； （3）估计这次考试的众数、平均分． 17. 2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动. （1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； （2）求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率. 18. 已知在中，，，． （1）求； （2）若为边上一点且，求的面积． 19. 已知四棱锥中，⊥平面，底面是平行四边形，且，，，，E为中点，F为中点． （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $