山东省菏泽市2025届高三二模数学试题

2025年高三二模考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C B A D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AB BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 解：（1）由题意得：， …………… …………………3分 因为在处的切线与直线平行， 所以，故. ………………………5分 （2）由（1）得：，定义域为， …………………6分 令，得，则，，的变化情况如下表： 0 极大值 故的极大值为，无极小值. ……… ……………………13分 16. （15分） （1）由及正弦定理得：① .…………1分 因为，所以. 故①式可变形为， 化简得：，因为，所以，故. ……………4分 因为，故. ………………………………6分 （2）设∆ABC外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 又，故得： .………………………9分 由（1）知，故，则. …………10分 由余弦定理得：，即， 则，当且仅当时等号成立 . …………13分 设AB边上高为，由三角形的面积公式得：，即. 故AB边上高的最大值为. ……………………15分 17. （15分） （1）证明：取AB的中点G，连DG交AF于H. 由于ABCD为正方形，F为BC的中点， 易证∆AHG与∆ABF相似，得到DG⊥AF. 因为AF⊥DE，DEDG=D，DE，DG平面DEG， 所以AF⊥平面DEG，又EG平面DEG，故AF⊥EG. ……………………3分 由于平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE平面ABCD=AB， BC⊥AB，故BC⊥平面ABE，又EG平面ABE，则BC⊥EG. 因为AF⊥EG，AFBC=F，AF，BC平面ABCD， 所以EG⊥平面ABCD，则EG⊥AB.又点G是AB的中点，故EA＝EB. ……………………6分 （2）由于圆O的半径为，则正方形ABCD的边长为2， 又，则EG＝. 以O为坐标原点，过点O作AB，BC平行的直线分别为x轴，y轴， 所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系. 则A(1,1,0)，D(1,1,0)，E(0,1,)，F(1,0,0)， M(a,b,)， ……………………8分 易求上底面圆的半径为1，故. 故(0,2,0)，(1,0,)，(a1,b,). 设平面ADE的法向量为(x,y,z)，由， 得 取x，z1，故(,1). ……………………11分 设FM与平面ADE所成角为，则，， ……………12分 令得，， 所以在上单调递增， 故. 所以FM与平面ADE所成角正弦值的最大值为． ……… ……………15分 18.（17分） （1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为： ……3分 （2）①设直线方程为，，， 由得：，则， ， ..…………5分 又 .……………………9分 所以，所以点到和的距离相等. .……………………10分 ②因为，所以， 故直线PA//FQ，所以， 由①知，所以PA=PF， ..……………………14分 所以点P在线段AF的中垂线上，所以点P. . …………………………17分 19.（17分） 解：（1）不妨设三个数是1，2，3，三个数的大小排列有6种情形：123，132，213，231，312，321. 当m=1时，取到最大的情形有：312，321. ； 当m=2时，取到最大的情形有：132，213，231，； 当m=3时，取到最大的情形有：123，213. . ----------------------------------------3分 （2）当最大数在第次出现时，均有可能获胜.设最大数在（）次出现，要想获胜，前个数中的最大值必出现在前次中，且第次取到最大值，所以 ----------------------------------7分 ， 同理 ， 因此，当时，最大. --------11分 （3） 首先证明对于，当最大时，. 否则若，则 .（未证明可不予扣分） ①， ②， ③， -----------------------------------------------------14分 ①②得 ，所以， ①③得 ，所以， 所以，. ---------------------------------------------------------------------------17分 高二数学试题参考答案 第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2025年高三二模考试 数学试题 2025.05 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则 A． B． C．3 D．5 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为 A．32 B．20 C．16 D．10 4．已知，，且，则的最大值为 A． B．1 C．4 D．16 5．已知为等比数列前n项和，若，则 A．5 B．3 C．-3 D．-5 6．已知直线与圆交于A、B两点，则的最小值为 A．5 B．10 C． D． 7．对于任意，，且，则 A．-1 B．1 C．2025 D．4049 8．已知函数在R上单调递增，则的最小值为 A．0 B．1 C． D．e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有 A．若随机变量，且，则 B．若随机变量，且，则 C．若数据2x1，2x2，…，2x16的方差为8，则数据x1，x2，…，x16的方差为4 D．若频率分布直方图呈现单峰不对称且左“拖尾”时，平均数大于中位数 10．已知函数，函数，则下列结论正确的有 A．与的图象有相同的对称轴 B．与有相同的最小正周期 C．将的图象向右平移个单位，可得到的图象 D．与的图象在上只有一个交点 11．如图，在n×n的方格表中，任意填入n2个互不相等的实数，取每行的最大数得到n个数，其中最小的一个是x，再取每列的最小数，又得到n个数，其中最大的一个是y，下列结论中可能成立的有 A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．xn＜yn 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若与垂直，则实数k的值为_________． 13．一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为___________． 14．已知M为双曲线右支上一点，F1、F2为左右焦点，直线MF1交y轴于点N，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知函数在处的切线与直线平行． （1）求a的值； （2）求的极值． 16.（15分）记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求C； （2）若，求AB边上高的最大值． 17.（15分）如图，圆台的下底面圆O的半径为，ABCD为圆O的内接正方形．E，M为上底面圆O1上两点，F为BC的中点，且平面ABE⊥平面ABCD，AF⊥DE． （1）求证：EA＝EB； （2）若，求FM与平面ADE所成角正弦值的最大值． 18.（17分）抛物线C:的焦点为F，且过点A(1,2)． （1）求C的方程； （2）过点B(-1,0)的一条直线与C交于P、Q两点（P在线段BQ之间），且与线段AF交于点M． ①证明：点M到PF和QF的距离相等； ②若∆PFM的面积等于∆AQM的面积，求点P的坐标． 19.（17分）某选数游戏规则：给定n个不同数（参与者不知道具体数值但知道n的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这n个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败． 小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的n，前个数均按N键跳过（表示直接选取第一次出现的数），从第m个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为Pm ． （1）当时，写出P1, P2, P3的值； （2）当时，求Pm，并证明当Pm最大时，m满足 （3）已知当时，（为欧拉常数）．在本次游戏中，如果，Pm最大时，求m的估计值． 高三数学试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$