2025届山东省菏泽市高考一模数学试题

2025年高三一模考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D A C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. （注：写对一个不得分） 14.，（注：第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）解：（1）零假设与性别无关. …………………1分 根据列联表中的数据得， …………5分 依据的独立性检验，可以推断不成立，对机器人表演节目的喜欢与性别有关联 …………………6分 （2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名观众， 其中男生人数为（人）；女生人数为（人） ……………7分 由题意可得，随机变量的所有可能取值为. ， ………………11分 随机变量的分布列如下 1 2 3 则 ………………13分 16.（15分） （1）证明：由，,，易求 …………1分 取的中点M，连结MF，F为的中点 所以,,所以, 所以四边形CDMF为平行四边形 . ………4分 所以，，又， 所以 …………6分 （2）由,，所以 所以，又平面⊥平面所以⊥平面…………8分 以E为原点，所在直线为轴，过与垂直的直线为轴，所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，,,,, …………10分 ,, 设平面的法向量为，则 ，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为 ………………………13分 设与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为 ……………………15分 17.（15分） （1）解： 当时， 恒成立，此时在R上单调递减 …………………2分 当时，令 ，则 ，，单调递减， ，，单调递增 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. ……………………6分 （2）因为存在，使得.只需或 ……………8分 因为，所以 …………………………10分 所以只需 由（1）知为与中的较大者 所以或解得或， …………13分 所以 综上所述，的取值范围为 ………………………15分 18.（17分）（1）解：若，则的所有取值情况为： 故数阵共99项，由知：， 所以. ………………4分 （2）证明： 由知，，故， 所以也是数阵中的项. ……………………………8分 （3）若知： 由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，需使与都是奇数， 即与必定一奇一偶， 当时，的取值情况有4种，故； 当时，的取值情况有8种，故； 当时，的取值情况有12种，故； …… 当且为奇数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； …………………14分 当且为偶数时，中有个奇数，个偶数， 故的取值情况有种，故； 综上所述，当且为奇数时，；当且为偶数时， …………17分 19.解：（1）由双曲线C的渐近线方程为知：，即. 把点带入双曲线C的方程得：，由解得：， 所以双曲线C的标准方程为. ………………………3分 (2) 解法1：①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为， 由圆的圆心到直线的距离， 所以…………① ………………………5分 把带入消得：， 由题意知.设，，， 那么由韦达定理知：，， ………………………7分 那么 ，那么 ……………………10分 所以，所以，同理可得， 所以三点共线，又由双曲线关于原点对称，所以两点关于原点对称.……………12分 ②是定值-2，证明如下： 连接，由①知：，，所以， 所以，所以为定值. ………………17分 解法2：证明：设，, ①当时， 若，则，； 若，则，满足条件 ……………4分 ②当时， 设， 因为与圆O相切，所以O到直线的距离为： 所以， 同理 所以时方程的两根 所以 （*） ………………………7分 联立化简得： 所以， 同理，（） 所以 所以，所以.所以，又因为在双曲线上，所以， 所以关于原点对称. ……………………12分 ②为定值-2，理由如下： 由①知 ， 又 . 由①得：，， 所以 因为，所以 所以， 所以 所以为定值. ……………………17分 （或： 设与圆O切于点N，连结OM，ON，OP,则, ,所以,又由①知O为的中点.所以 OP为的高。即OP⊥OQ，下同解法1） 高二数学试题参考答案 第1页(共6页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2025年高三一模考试 数学试题 2025.02 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知∆ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则= A． B． C． D． 4．已知数列，则“”是“数列为等差数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，，则 A． B． C． D． 6．曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为 A．-1 B．0 C．1 D．e 7．已知∆ABC的三个顶点都在抛物线上，三边AB、BC、CA所在直线的斜率分别为，，，若=1，则点A的坐标为 A．(1,-2) B．(1, 2) C．(2, -1) D．(2, 1) 8．已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为 A．若的周期为1，则满足性质 B．若，则不满足性质 C．若（）满足性质，则 D．若偶函数满足性质，则图象关于直线对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量a＝，b＝，则下列说法正确的有 A．向量a，b不可能垂直 B．向量a，b不可能共线 C．不可能为3 D．若，则a在b上的投影向量为b 10．若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有 A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．这四点能构成三棱锥的个数为58 C．若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线AB与CD所成的角不可以为30° 11．已知曲线C的方程为，下列说法正确的有 A．曲线C关于直线y＝x对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则展开式中的系数为__________． 13．已知函数在闭区间上的最大值记为，若实数满足，则__________． 14．如图，在∆ABC中，，，E是的中点，D是边上靠近的四等分点，将∆ADE沿DE翻折，使A到点P处（P点在平面ABC上方），得到四棱锥．则 ①PC的中点M运动轨迹长度为___________； ②四棱锥外接球表面积的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件A＝“选到的观众是男性”，事件B＝“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义. 附：. 16.（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若平面⊥平面，求与平面所成角的正弦值． 17.（15分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，存在，使得，求的取值范围． 18.（17分）定义正方形数阵满足，其中． （1）若，求数阵所有项的和； （2）若，求证：也是数阵中的项； （3）若，且，求的值为奇数的概率． 19.（17分）已知双曲线（）的渐近线方程为，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆O:的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线PQ与圆O切于点M． ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围． 高三数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$