精品解析：青海省西宁市大通县2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024～2025学年度第二学期大通县期末联考 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 4i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数减法及复数的有关概念求解. 【详解】依题意，，其虚部为. 故选：A 2. 在下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B. 调查一个县各村的粮食播种面积 C. 调查一批炮弹的杀伤半径 D. 调查一批玉米种子的发芽率 【答案】B 【解析】 【分析】根据全面调查的定义可得出合适的选项. 【详解】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式， A. 查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.，调查数目较多，不适合全面调查； B. 调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查； C.调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，可以使用抽样调查； D. 调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查. 故选：B. 3. 在中，下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确； 对于B：根据向量加法的三角形法则有，故B正确； 对于C：根据向量的减法有，故C错误， 对于D：，故D正确； 故选：C. 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C. 事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D. 事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，二者能同时发生，不是互斥事件，如(3,4),故A错误； 对于B，二者不能同时发生，也不能同时不发生，点数都是偶数，故B正确； 对于C，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误； 对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如(2,4)，故D错误. 故选:B 5. 如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】还原直观图，结合三角形面积公式计算即可求解. 【详解】由直观图可得如图平面图形，其中，，所以. 故选：B. 6. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系得出向量夹角，再结合向量的投影向量公式计算即得. 【详解】因为，所以O是的中点，所以,可得 因为，所以. 故选：D. 7. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，则可估计该校高一年级全体学生的身高方差为（ ） A. 51.4862 B. 51.9862 C. 52.4862 D. 52.9862 【答案】A 【解析】 【分析】由方方差的定义，总样本方差为，根据，及抽取比例求出，代入求解即可. 【详解】解：把男生样本记为，，，，其平均数记为，方差记为； 把女生样本记，，，，其平均数记为，方差记为； 把总样本数据的平均数记为，方差记为， 根据方差的定义，总样本方差为， ①由，， 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为， 把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①， 可得. 故选：A. 8. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，不共线，可以作基底； 对于B，方向相反，共线，不能作为基底； 对于C，，共线，不能作为基底； 对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底. 故选：BCD 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算复数的模长即可判断选项A；由共轭复数的概念与减法运算即可判断选项B；由复数的除法运算结合几何意义即可判断选项C；由复数的乘法运算求解即可判断选项D. 【详解】对于A，复数，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，其在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为棱的中点时，平面 B. 与不垂直 C. 四面体的体积为 D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到四边形是平行四边形，，从而得到线面平行；B选项，作出辅助线，证明⊥平面，要想与垂直，需满足与平面上某一条直线平行，显然这是不可能的，故与不垂直，B正确；C选项，当不为中点时，此时，C错误；D选项，证明⊥平面，若平面，则，显然与不平行，故D错误. 【详解】A选项，如图，取的中点，连接， 因为是棱的中点，所以且， 又为棱的中点，所以， 又，所以且， 故四边形是平行四边形， ， ∵平面，平面， 平面，A正确； B选项，连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥，又⊥，，平面， 所以⊥平面， 要想与垂直，在点棱上运动时， 需满足与平面上某一条直线平行， 显然这是不可能的，因为与平面始终相交， 故与不垂直，B正确； C选项，当为中点时，， 故， 若不为中点，此时，此时，C错误； D选项，因为⊥平面，平面， 所以⊥，又⊥，，平面， 所以⊥平面，又平面，所以⊥， 同理可得⊥， 又，平面，所以⊥平面， 若平面，则，显然与不平行，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆台的体积公式直接代入求得结果. 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为， 则圆台的体积. 故答案为：. 13. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______. 【答案】2或5 【解析】 【分析】根据向量的数量积的定义和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况， 可得两两夹角为或两两夹角为， 当两两夹角为时，可得， 则； 当两两夹角为时，可得， 则． 故答案为：2或5. 14. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出三个事件，再根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程，从而求出对应三个事件的概率，再根据公式即可求出甲命中乙也命中的概率． 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意， 整理得，解得或(舍去)， 所以，，． 故甲命中乙也命中的概率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据向量模的坐标公式即可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解； （3）根据数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 ,. 16. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）对给定式子合理变形，结合余弦定理求解角度即可. （2）利用三角形面积公式求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，求解边长即可. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，则， 由余弦定理得. 又，解得. 【小问2详解】 由的面积为，得， 即，解得， 由余弦定理得， 因为，，所以， 即，而，解得. 17. 如图，在正方体中，点G，E，F分别为棱的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面DBFE． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明，可证D，B，F，E四点共面； （2）连接分别交DE，DB于点H，O，连接HO，通过证明可证. 【小问1详解】 连接，如图所示，因为点E，F分别为棱的中点， 所以， 又在正方体中，， 所以，所以D，B，F，E四点共面． 【小问2详解】 连接分别交DE，DB于点H，O，连接HO，如图所示． 在正方体中，， 所以，所以， 同理可得， 在中，，所以， 又平面不在平面DBFE内，所以平面DBFE． 18. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质求 ，再根据平均数运算求解； （2）分位数表示频率分布直方图中从第一组开始往后累加的矩形面积之和为0.4, 运算即可求解. （3）先根据分层抽样求参赛成绩在的人数，再结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 所以，解得， 所以参赛歌手的平均成绩为分. 【小问2详解】 由，， 得参赛歌手成绩的分位数为分. 【小问3详解】 由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，； 在的人数为人，分别记为，. 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）通过（三线合一），证明平面 （2）取，的中点分别为，，连接，，，通过证明底面，得到，再得到平面，得到，从而确定为所求二面角的平面角，最后解三角形得到答案. （3），点到平面的距离就是三棱锥的高，利用等体积法可求 【小问1详解】 证明：因为在正方形中，， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，则， 又，，平面，所以平面. 【小问2详解】 解：取，的中点分别为，，连接，，， 则，因为，所以， 因为是正三角形，所以， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 因为，底面，所以，， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角. 因为正方形的边长为2，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 【小问3详解】 解：因为在正方形中，， 又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，， ， 设到平面的距离为，则， 解得，即到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期大通县期末联考 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 4i 2. 在下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B. 调查一个县各村的粮食播种面积 C. 调查一批炮弹的杀伤半径 D. 调查一批玉米种子的发芽率 3. 在中，下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B. 事件“点数之和奇数”与事件“点数之积为奇数” C. 事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D. 事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 5. 如图，是水平放置的的直观图，其中，，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 15 6. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，则可估计该校高一年级全体学生的身高方差为（ ） A. 51.4862 B. 51.9862 C. 52.4862 D. 52.9862 8. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 11. 已知正方体棱长为，是棱上一点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为棱的中点时，平面 B. 与不垂直 C. 四面体的体积为 D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台上、下底面直径分别为和，高为，则此圆台的体积为______. 13. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______. 14. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 16. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 17. 如图，在正方体中，点G，E，F分别为棱的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面DBFE． 18. 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$