2.2.3 第2课时 两条直线的垂直-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.3　两条直线的位置关系 第2课时　两条直线的垂直 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　两条直线的垂直 1．已知直线l1经过A(－3，4)，B(－8，－1)两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 2．若直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 解析：设l1与l2的斜率分别为k1，k2，则由根与系数的关系知k1k2＝－1，所以l1与l2互相垂直．故选D. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 3．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 4．已知直线l1经过(－1，－2)，(－1，4)两点，直线l2经过(2，1)，(6，y)两点，且l1⊥l2，则y＝(　　) A．－2 B．1 C．2 D．4 解析：因为l1⊥l2，且直线l1的斜率不存在，所以直线l2的斜率k＝0，所以y＝1. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 5．已知直线l1：mx＋3y－1＝0，l2：x＋(m－4)y＋2＝0，若l1⊥l2，则m＝________． 解析：直线l1：mx＋3y－1＝0，l2：x＋(m－4)y＋2＝0，若l1⊥l2，则m×1＋3×(m－4)＝0，解得m＝3. 3 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 6．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 8．已知点A(2，3)关于直线l的对称点为B(－2，7)，求直线l的方程． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1．给出下列四个命题： ①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； ②若两直线平行，则它们的斜率相等； ③若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直； ④若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1. 其中真命题是(　　) A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①③④ 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 解析：当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③为真命题；当两条不重合的直线都与x轴垂直时，它们平行，其斜率不存在，故②为假命题；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，故④为假命题．故选B. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 3．直线2mx＋y－2＝0与直线x＋(3－m2)y＋2＝0互相垂直，且两直线的交点位于第三象限，则实数m的值为(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 4．若点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角为(　　) A．135° B．45° C．30° D．60° 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 5．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以点A为直角顶点的直角三角形 D．以点B为直角顶点的直角三角形 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 7．已知直线l1：xcosθ＋ysinθ＝1，直线l2：xcosθ－ysinθ＝1，直线l3：xsinθ＋ycosθ＝1，直线l4：xsinθ－ycosθ＝1，则下列说法正确的是(　　) A．对任意的θ∈R，l2⊥l3恒成立 B．对任意的θ∈R，l1∥l4恒成立 C．存在θ∈R，使得l1⊥l3成立 D．存在θ∈R，使得l2∥l4成立 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 三、填空题 8．已知A(7，－4)，B(－5，6)，则直线AB的一般式方程是________________，过AB中点且垂直于AB的直线方程的一般式是________________． 5x＋6y－11＝0 6x－5y－1＝0 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 9．直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程为______________． 解析：解法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 解法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，则可设l的方程为3x－y＋C＝0(C≠－4)．在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上，所以3×4－2＋C＝0，C＝－10.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 3x－y－10＝0 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 10．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________． －2 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 12．求直线y＝2x＋1关于直线x＋y＋1＝0对称的直线l的方程． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 13．在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝1，P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC的重心G，则线段AP的长度是________，直线PQ的斜率为________． 2 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 14．已知△ABC的顶点A(5，1)，重心G(3，3)． (1)求线段BC的中点坐标； (2)记△ABC的垂心为H，若B，H都在直线y＝－x上，求点H的坐标． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：由题意，得kl1＝eq \f(－1－4,－8－（－3）)＝1，kl2＝tan135°＝－1，所以kl1·kl2＝－1，所以l1⊥l2. 解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为eq \f(2,3)，由题设知，直线l的斜率为－eq \f(3,2).由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－2＝－eq \f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 解：(1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，)) 则两条直线的交点为P(－2，2)． ∵直线x－2y－1＝0的斜率为k′＝eq \f(1,2)， 直线l垂直于直线x－2y－1＝0， ∴直线l的斜率k＝－eq \f(1,\f(1,2))＝－2， ∴直线l的方程为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0. (2)对于方程2x＋y＋2＝0，令y＝0，则x＝－1，则直线与x轴的交点为A(－1，0)，令x＝0，则y＝－2，则直线与y轴的交点为B(0，－2)，直线l与两坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB(O为原点)， ∴S＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)×1×2＝1. 知识点二　对称问题 7．一条光线从点A(－1，3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3，1)，则点P的坐标为(　　) A．(0，0) B．(1，0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)) D．(2，0) 解析：如图，由题可得B(3，1)关于x轴的对称点为B′(3，－1)，则直线AB′的方程为eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－（－1）,3－（－1）)，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，则点P的坐标为(2，0)． 解：由题意可知，直线l为线段AB的垂直平分线，易求线段AB的中点坐标为(0，5)， 又kAB＝eq \f(7－3,－2－2)＝－1，∴线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－eq \f(1,kAB)＝1. 又直线l过点(0，5)，∴直线l的方程为y－5＝x－0，即x－y＋5＝0. 2．直线eq \r(3)x＋y＝0绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的斜率为(　　) A．－eq \r(3) B．eq \r(3) C．－eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(3),3) 解析：由eq \r(3)x＋y＝0，得y＝－eq \r(3)x，则斜率k＝－eq \r(3)，因为绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线与原直线垂直，所以所求直线的斜率为eq \f(－1,k)＝eq \f(－1,－\r(3))＝eq \f(\r(3),3). 解析：因为直线2mx＋y－2＝0与直线x＋(3－m2)y＋2＝0互相垂直，所以2m＋3－m2＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝3时，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋y－2＝0，,x－6y＋2＝0，))解得交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,37)，\f(14,37)))，不符合题意；当m＝－1时，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋y－2＝0，,x＋2y＋2＝0，))解得交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(2,5)))，符合题意．综上，m＝－1.故选C. 解析：易知直线PQ的斜率kPQ＝eq \f(b－a－1,a－b＋1)＝－1.由题意，可知直线PQ与直线l垂直，所以直线l的斜率为1，故直线l的倾斜角为45°. 解析：kAB＝eq \f(－1－1,2－（－1）)＝－eq \f(2,3)，kBC＝eq \f(4－（－1）,1－2)＝－5，kAC＝eq \f(4－1,1－（－1）)＝eq \f(3,2)，因为kAB·kAC＝－1，所以三角形是以点A为直角顶点的直角三角形． 二、多项选择题 6．已知直线l1：nx＋y－2＝0，l2：(m＋2)x－3y＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则m，n的值可能为(　　) A．2，1 B．2，eq \f(3,4) C．－1，3 D．4，eq \f(1,2) 解析：由题意得两条直线互相垂直，所以－n×eq \f(m＋2,3)＝－1，即n(m＋2)＝3.故选BCD. 解析：对于A，∵l2：xcosθ－ysinθ＝1，l3：xsinθ＋ycosθ＝1，又cosθsinθ＋(－sinθcosθ)＝0，θ∈R，故l2⊥l3恒成立，A正确；对于B，∵l1：xcosθ＋ysinθ＝1，l4：xsinθ－ycosθ＝1，又cosθ(－cosθ)－sinθsinθ＝－1≠0，故θ∈R，l1∥l4不成立，B错误；对于C，∵l1：xcosθ＋ysinθ＝1，l3：xsinθ＋ycosθ＝1，又当θ＝eq \f(π,2)时，cosθsinθ＋sinθcosθ＝0，故l1⊥l3成立，C正确；对于D，∵l2：xcosθ－ysinθ＝1，l4：xsinθ－ycosθ＝1，又当θ＝eq \f(3π,4)时，cosθ(－cosθ)－sinθ(－sinθ)＝sin2θ－cos2θ＝0，且－1×(－sinθ)－(－cosθ)×(－1)＝eq \r(2)≠0，故l2∥l4成立，D正确．故选ACD. 解析：∵直线AB过A，B两点，∴直线AB的方程为y＋4＝eq \f(6＋4,－5－7)(x－7)，整理，得5x＋6y－11＝0.∵所求直线垂直于AB，∴设其方程为6x－5y＋m＝0，又此直线过AB的中点(1，1)，代入得m＝－1，∴所求直线方程为6x－5y－1＝0. 解析：依题意，知直线l的斜率k＝tan135°＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有eq \f(2＋1,3－a)＝1，所以a＝0.又直线l2与l1平行，所以1＝－eq \f(2,b)，即b＝－2，所以a＋b＝－2. 四、解答题 11．已知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(a＋1,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,3)))，C(2－2a，1)，D(－a，0)四点．当a为何值时，直线AB与直线CD： (1)平行？ (2)垂直？ 解：kAB＝eq \f(－\f(1,3)＋\f(a＋1,3),0－1)＝－eq \f(a,3)， 当a≠2时，kCD＝eq \f(0－1,－a－2＋2a)＝eq \f(1,2－a). (1)由kAB＝kCD，得－eq \f(a,3)＝eq \f(1,2－a)，即a2－2a－3＝0. ∴a＝3或a＝－1. 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝eq \f(0＋\f(1,3),－3)＝－eq \f(1,9)≠kAB. ∴直线AB与直线CD平行． 当a＝－1时，kAB＝eq \f(1,3)，kBC＝eq \f(1＋\f(1,3),4)＝eq \f(1,3)＝kAB， ∴直线AB与直线CD重合． 当a＝2时，kAB＝－eq \f(2,3)，直线CD的斜率不存在， ∴直线AB与直线CD不平行． 综上，当a＝3时，直线AB与直线CD平行． (2)由－eq \f(a,3)·eq \f(1,2－a)＝－1，解得a＝eq \f(3,2). 当a＝2时，kAB＝－eq \f(2,3)，直线CD的斜率不存在， ∴直线AB与直线CD不垂直． 综上，当a＝eq \f(3,2)时，直线AB与直线CD垂直． 解：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＋y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(1,3)，))∴两直线的交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,3))). 在y＝2x＋1上取一点M(0，1)，设M关于直线x＋y＋1＝0的对称点为M′(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a)·（－1）＝－1，,\f(a,2)＋\f(b＋1,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))∴M′(－2，－1)． ∴直线l过M′(－2，－1)及Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,3)))， 由两点式得eq \f(y＋1,－\f(1,3)＋1)＝eq \f(x＋2,－\f(2,3)＋2)，化为一般式，可得所求直线l的方程为x－2y＝0. eq \f(1,3) 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，可得B(1，0)，C(0，1)，所以直线BC的方程为x＋y－1＝0，△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，设点P(a，0)(a>0)，M，N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点，连接NR，QM，所以N(－a，0)，设M(x0，y0)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－0,x0－a)·（－1）＝－1，,\f(a＋x0,2)＋\f(0＋y0,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝1－a，))所以M(1，1－a)，由光的反射原理可知，M，N，Q，R四点共线，所以kMN＝kGN， 即eq \f(1－a,1＋a)＝eq \f(\f(1,3),\f(1,3)＋a)，解得a＝eq \f(1,3)，所以|AP|＝eq \f(1,3)，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))，直线MN的方程为3x－6y＋1＝0，联立直线MN的方程与BC的方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－6y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,9)，,y＝\f(4,9)，))即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)，\f(4,9)))，所以直线PQ的斜率为kPQ＝eq \f(\f(4,9)－0,\f(5,9)－\f(1,3))＝2. 解：(1)设线段BC的中点为M(x0，y0)， 因为G为△ABC的重心，且A(5，1)，G(3，3)， 所以eq \o(AG,\s\up16(→))＝2eq \o(GM,\s\up16(→))，即(－2，2)＝2(x0－3，y0－3)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－3＝－1，,y0－3＝1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝4，)) 所以线段BC的中点M的坐标为(2，4)． (2)因为直线BH的方程为y＝－x，且H为△ABC的垂心， 所以kBH·kAC＝－1，即－1·kAC＝－1， 所以kAC＝1， 所以直线AC的方程为y－1＝x－5， 即y＝x－4， 所以设点C(xC，xC－4)， 又因为BC的中点M(2，4)，设B(xB，yB)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xB＋xC＝2×2＝4，,yB＋xC－4＝2×4＝8，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xB＝4－xC，,yB＝12－xC，)) 又因为点B在直线y＝－x上， 即12－xC＝－(4－xC)， 所以xC＝8， 所以C(8，4)，所以kBC＝kMC＝eq \f(4－4,8－2)＝0，则BC边上的高所在的直线AH的方程为x＝5，而点H也在直线y＝－x上，所以点H的坐标为(5，－5)． $$