2.2.2 第2课时 直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.2　直线的方程 第2课时　直线的两点式方程、截距式 方程与一般式方程 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 3．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．183 B．182 C．181 D．180 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 6．如果AC<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7．已知△ABC的三个顶点分别为A(3，－1)，B(－5，2)，C(7，4)，则BC边上的中线所在直线的方程为(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．2x－y－7＝0 D．x－2y－5＝0 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 40分钟综合练 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 解析：直线方程可变形为y－1＝m(x＋2)，所以直线恒过定点(－2，1)． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 5．直线l：ax＋(1－a)y＋1＝0经过第一象限的充要条件是(　　) A．0<a<1 B．a<0或a>1 C．a>0 D．a<1 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 二、多项选择题 6．直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是(　　) A．x－y－1＝0 B．3x－y－5＝0 C．x＋y－3＝0 D．x＋3y－5＝0 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 三、填空题 8．已知直线方程为5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 4 5 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 9．过点(－1，2)，且以直线2x－3y－7＝0的一个法向量为方向向量的直线的一般式方程为________________． 3x＋2y－1＝0 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 10．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为_____________． 解析：由平面几何知识知，若直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过平行四边形对角线的交点，即过BD的中点(3，2)，又直线l过原点，由两点式，得直线l的方程为2x－3y＝0. 2x－3y＝0 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 四、解答题 11．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 12．已知直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　直线的两点式方程、截距式方程 1．经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线在x轴上的截距是(　　) A．－10 B．10 C．eq \f(20,7) D．－eq \f(20,7) 解析：由A(－3，2)，B(4，4)，得直线的两点式方程为eq \f(y－4,2－4)＝eq \f(x－4,－3－4)，整理，得y－4＝eq \f(2（x－4）,7)，再令y＝0，解得x＝－10. 2．已知直线l的两点式方程为eq \f(y＋3,2＋3)＝eq \f(x－0,－3－0)，则直线l的斜率为(　　) A．－eq \f(5,3) B．－eq \f(1,3) C．－3 D．3 解析：解法一：将原方程整理，得y＝－eq \f(5,3)x－3，所以直线l的斜率为－eq \f(5,3). 解法二：由题意知，直线l过点(－3，2)，(0，－3)，所以直线l的斜率为eq \f(2－（－3）,－3－0)＝－eq \f(5,3). 解析：因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为eq \f(y－（－1）,5－（－1）)＝eq \f(x－（－1）,2－（－1）)，即y＝2x＋1.由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1＝183.故选A. 4．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是(　　) A．eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1 B．eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1或y＝eq \f(2,5)x C．x－eq \f(y,2)＝1 D．x－eq \f(y,2)＝1或y＝eq \f(2,5)x 解析：当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝eq \f(2,5)x；当直线不过原点时，可设其截距式方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2a)＝1，由该直线过点(5，2)，解得a＝6，故直线方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1.综上，直线方程为y＝eq \f(2,5)x或eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1.故选B. 5．直线l：x＋eq \r(3)y＋2026＝0的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：因为直线l：x＋eq \r(3)y＋2026＝0，所以直线l的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝－eq \f(\r(3),3)，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 解析：∵直线的斜率k＝－eq \f(A,B)<0，截距b＝－eq \f(C,B)>0，∴直线不经过第三象限． 解析：BC中点的坐标为(1，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为eq \f(y－3,－1－3)＝eq \f(x－1,3－1)，整理，得2x＋y－5＝0. 8．根据下列条件写出直线的方程，并化为一般式． (1)斜率是－eq \f(1,2)，经过点(2，0)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点． 解：(1)由点斜式方程，可知所求直线的方程为y－0＝－eq \f(1,2)(x－2)，化为一般式方程为x＋2y－2＝0. (2)由两点式方程，可知所求直线的方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x＋1,2＋1)，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. 一、单项选择题 1．过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A．eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1) B．eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1) C．eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－3,5－3) D．eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,2－3) 解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以直线方程为eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1).故选B. 2．若直线eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1经过第一、二、三象限，则实数a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a<0，b>0 C．a<0，b<0 D．a>0，b<0 解析：将直线eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1化为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，又直线经过第一、二、三象限，所以它在x轴上的截距为负，在y轴上的截距为正，所以a<0，－b>0，所以a<0，b<0.故选C. 3．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) B．(－2，1) C．(2，－1) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) 4．已知线段BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2))).若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则BC所在直线的方程为(　　) A．eq \f(2x,9)＋eq \f(2y,9)＝1 B．eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1 C．eq \f(2x,9)＋eq \f(2y,9)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1 D．eq \f(9x,2)＋eq \f(9y,2)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1 解析：由已知得直线BC的斜率存在且不为0.设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线BC的截距式方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.由题意，得a＋b＝9　①，又点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))在直线BC上，∴eq \f(3,a)＋eq \f(3,2b)＝1，∴6b＋3a＝2ab　②，由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝eq \f(9,2)或a＝6.∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)，,b＝\f(9,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝3.))故BC所在直线的方程为eq \f(2x,9)＋eq \f(2y,9)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1. 解析：ax＋(1－a)y＋1＝0即a(x－y)＋y＋1＝0，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))故ax＋(1－a)y＋1＝0过定点(－1，－1)，故若直线l经过第一象限，则直线l的斜率大于0，即－eq \f(a,1－a)>0，即a(a－1)>0，解得a<0或a>1.故选B. 解析：将点(2，1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝3时，直线l的方程为x－3y＋1＝0，即y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)，斜率为eq \f(1,3)，故所求直线的斜率k＝－eq \f(1,3)，方程为y－1＝－eq \f(1,3)(x－2)，即x＋3y－5＝0.当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，斜率为－1，故所求直线的斜率为k＝1，方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0.故选AD. 7．下列说法错误的是(　　) A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 解析：当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得x＝－b，因此直线在x轴上的截距为－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．故选ABD. 解析：将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为eq \f(x,4)＋eq \f(y,5)＝1，所以此直线在x轴、y轴上的截距分别为4，5. 解析：由题意可得所求直线的一个方向向量为(2，－3)，所以所求直线的斜率为－eq \f(3,2)，所以所求直线的方程为y－2＝－eq \f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝eq \f(1,2). 所以若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． (2)由(1)，易知当m＝eq \f(1,2)时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝eq \f(4,3). (3)依题意，得eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3， 解得m＝－eq \f(5,3). (4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，解得m＝eq \f(4,3). 解：由题意，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－5,a)＋\f(－4,b)＝1，,\f(1,2)|ab|＝5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5b－4a＝ab，,ab＝10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5b－4a＝ab，,ab＝－10，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,2)，,b＝4.)) ∴直线l的方程为eq \f(x,5)－eq \f(y,2)＝1或－eq \f(2x,5)＋eq \f(y,4)＝1， 即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0. 13．设a<c<b，如果把函数y＝f(x)的图象被两条直线x＝a，x＝b所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系中，f(c)的最佳近似表示式是(　　) A．f(c)＝eq \f(1,2)[f(a)＋f(b)] B．f(c)＝eq \r(f（a）·f（b）) C．f(c)＝f(a)＋eq \f(c－a,b－a)[f(b)－f(a)] D．f(c)＝f(a)－eq \f(c－a,b－a)[f(b)－f(a)] 解析：依题意，经过点(a，f(a))，(b，f(b))的直线方程为y－f(a)＝eq \f(f（b）－f（a）,b－a)(x－a)，而点(c，f(c))在以点(a，f(a))，(b，f(b))为端点的线段上，因此f(c)－f(a)＝eq \f(f（b）－f（a）,b－a)·(c－a)，所以f(c)＝f(a)＋eq \f(c－a,b－a)[f(b)－f(a)]，C符合题意，D不符合题意；当且仅当(c，f(c))是线段的中点时，f(c)＝eq \f(1,2)[f(a)＋f(b)]，A不符合题意；显然f(a)，f(b)可能异号，此时B项无意义，B不符合题意．故选C. 14．在平面直角坐标系中，过点P(3，1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PB,\s\up16(→))，求直线l的一般式方程； (2)求当eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))取得最小值时，直线l的方程． 解：设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PB,\s\up16(→))，∴(3－a，1)＝eq \f(1,2)(－3，b－1)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a＝－\f(3,2)，,1＝\f(b－1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)，,b＝3，)) ∴直线l的方程为eq \f(x,\f(9,2))＋eq \f(y,3)＝1， 即2x＋3y－9＝0. (2)∵A，P，B三点共线，∴kPA＝kPB， 即eq \f(1,3－a)＝eq \f(1－b,3)，整理得eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)＝1， ∴eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝(3－a，1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))－10＝eq \f(3b,a)＋eq \f(3a,b)≥2eq \r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝6， 当且仅当eq \f(3b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝b＝4时，等号成立， ∴当eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))取得最小值时，直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,4)＝1，即x＋y－4＝0. $$