2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．给出下列命题： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④按照直线的倾斜角概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系； ⑤若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)． 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 解析：利用直线的倾斜角概念可知倾斜角α满足0°≤α<180°，则sinα∈[0，1]，因此命题②⑤为假命题．又每一条直线有唯一倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条，因此命题①为真命题，命题③④为假命题．故选A. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 2．过点A(3，－2)和点B(2，5)的直线的斜率为(　　) A．7 B．－7 C．－3 D．3 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为____________________． (2，0)或(0，－8) 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 150° 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 12 40分钟综合练 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 3．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 解析：由题图知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1<0.又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，∴0<k3<k2，∴k1<k3<k2. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 二、多项选择题 6．已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，则下列说法正确的是(　　) A．当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角 B．当m∈(－5，1)时，直线MN的倾斜角为钝角 C．当m＝1时，直线MN的倾斜角为直角 D．当m＝－5时，直线MN的倾斜角为零 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 7．若直线经过(－n，2m)，(2n，－3m)两点，且m，n∈[0，1]，则下列各项可能为直线的法向量的是(　　) A．(－3，0) B．(5，3) C．(－10，3) D．(5，－6) 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 三、填空题 8．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为___________，斜率为___________． 30°或150° 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 9．若已知直线l的一个法向量为a＝(2，3)，则直线l的斜率为________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 －5 10．若(0，1)，(m，－1)，(2，n)三点在斜率为－3的直线上，则m＝________，n＝________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 四、解答题 11．如图所示，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的斜率． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 12．已知直线l经过点P(1，1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)． (1)求直线PM与PN的斜率； (2)求直线l的斜率k的取值范围． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：由题意，直线的斜率k＝eq \f(－2－5,3－2)＝－7. 3．已知直线l的斜率为k，且－eq \r(3)≤k≤eq \f(\r(3),3)，那么直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) 解析：由题意可得－eq \r(3)≤tanα≤eq \f(\r(3),3)，且0≤α<π，解得α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)). 4．已知直线PQ的斜率为－eq \r(3)，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的斜率是(　　) A．0 B．eq \f(\r(3),3) C．eq \r(3) D．－eq \r(3) 解析：由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以所得直线的斜率是eq \r(3). 5．若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线的倾斜角为135°，则m＝(　　) A．－4 B．－2 C．eq \f(4,3) D．2 解析：由题意，斜率k＝eq \f(2m－1－2,1－m)＝－1，解得m＝2. 解析：设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝eq \f(4,3－x)或kAB＝eq \f(4－y,3)，∴eq \f(4,3－x)＝4或eq \f(4－y,3)＝4，∴x＝2或y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)． 7．已知M(eq \r(3)，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(3)))，A(a，eq \r(2a))三点共线，求实数a的值． 解：易知直线MB的斜率kMB存在，又A，B，M三点共线，所以直线MA的斜率kMA存在，且kMA＝kMB，即eq \f(0－\r(2a),\r(3)－a)＝eq \f(0＋\r(3),\r(3)－\f(3,2))，eq \f(\r(2a),a－\r(3))＝eq \f(2,2－\r(3))，所以a＝2. (eq \r(3)，3)(答案不唯一) 知识点二　直线的方向向量与法向量 8．若直线l的一个方向向量为v＝(3，－eq \r(3))，则直线l的斜率为________，倾斜角为________；直线l的一个法向量为_____________________． 解析：设直线l的倾斜角为θ，k＝tanθ＝－eq \f(\r(3),3)，则θ＝150°.法向量与方向向量垂直，故直线l的一个法向量为(eq \r(3)，3)(答案不唯一)． －eq \f(\r(3),3) 一、单项选择题 1．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D．[0，π) 解析：因为直线经过第二、四象限，则直线斜率为负，因此倾斜角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). 2．下列各项中，三点共线的是(　　) A．P(－2，3)，Q(3，－2)，Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．P(－2，3)，Q(3，－3)，Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2))) C．P(0，0)，Q(1，1)，R(1，－1) D．P(1，1)，Q(2，－1)，R(3，2) 解析：对于A，kPQ＝eq \f(－2－3,3－（－2）)＝－1，kQR＝eq \f(\f(1,2)－（－2）,\f(1,2)－3)＝－1，故三点共线；对于B，kPQ＝eq \f(－3－3,3－（－2）)＝－eq \f(6,5)，kQR＝eq \f(－\f(1,2)－（－3）,\f(1,2)－3)＝－1，故三点不共线；对于C，kPQ＝1，直线QR的斜率不存在，故三点不共线；对于D，kPQ＝eq \f(－1－1,2－1)＝－2，kQR＝eq \f(2－（－1）,3－2)＝3，故三点不共线． 4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为(　　) A．－2eq \r(3) B．0 C．eq \r(3) D．2eq \r(3) 解析：由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，如图，可得AB，AC所在直线的斜率分别为eq \r(3)，－eq \r(3)，∴AC，AB所在直线的斜率之和为eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0.故选B. 5．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则直线l的斜率是(　　) A．－eq \f(3,2) B．eq \f(3,2) C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3) 解析：设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a＋2，b－3)，则直线l的斜率k＝kAA′＝eq \f(b－3－b,a＋2－a)＝－eq \f(3,2). 解析：当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝eq \f(m－1,m＋5)>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝eq \f(m－1,m＋5)<0，则－5<m<1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为零时，两点纵坐标相等，即m＝1.故选AB. 解析：由题意知直线的一个方向向量为(3n，－5m)，故该直线的一个法向量为(5m，3n)，则对于任意的实数λ≠0，(5λm，3λn)是直线的一个法向量，当λ＝－1，n＝0，m＝eq \f(3,5)时，直线的一个法向量为(－3，0)，故A可能为直线的法向量；当λ＝1，n＝m＝1时，直线的一个法向量为(5，3)，故B可能为直线的法向量；因为5λm·3λn＝15λ2mn≥0，而－10×3<0，5×(－6)<0，故C，D不可能为直线的法向量．故选AB. 解析：如图，直线AB的倾斜角为30°或150°，其斜率为eq \f(\r(3),3)或－eq \f(\r(3),3). eq \f(\r(3),3)或－eq \f(\r(3),3) 解析：因为直线l的一个法向量为a＝(2，3)，所以直线l的一个方向向量为(－3，2)，所以直线l的斜率k＝－eq \f(2,3). －eq \f(2,3) 解析：已知三点(0，1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，根据斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)知，－3＝eq \f(1－（－1）,0－m)，－3＝eq \f(1－n,0－2)，解得m＝eq \f(2,3)，n＝－5. eq \f(2,3) 解：如图，过B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E， 则有|OE|＝|ED|＝|DA|＝1， |CE|＝|BD|＝1， ∴C(1，1)，B(2，1)，A(3，0)， ∴kOC＝eq \f(1,1)＝1，kAB＝eq \f(1－0,2－3)＝－1，kOA＝kBC＝0. 解：(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为kPM＝eq \f(－3－1,2－1)＝－4，kPN＝eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4). (2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过点P且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°， 又kPN＝eq \f(3,4)，∴k≥eq \f(3,4). 当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°， 又kPM＝－4，∴k≤－4. 综上所述，k的取值范围为(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)). 13．[多选]若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为2，则斜边所在直线的斜率为(　　) A．－3 B．eq \f(1,3) C．－4 D．eq \f(3,4) 解析：如图，设Rt△ABC的直角边AC所在直线的斜率为2，其倾斜角为α，则tanα＝2，以AC为等腰直角三角形的直角边，∠C为直角可作Rt△AB1C和Rt△AB2C(以∠A为直角可得对应直角三角形的斜边所在直线的斜率相等)，则易得斜边AB1所在直线的倾斜角α1＝α＋45°，此时kAB1＝tanα1＝tan(α＋45°)＝eq \f(tanα＋1,1－tanα)＝－3，斜边AB2所在直线的倾斜角α1＝α－45°，此时kAB2＝tanα2＝tan(α－45°)＝eq \f(tanα－1,1＋tanα)＝eq \f(1,3). 14．已知A(2，4)，B(3，2)，P(x，y)是线段AB上的点，试求eq \f(y,x)的最值． 解：eq \f(y,x)＝eq \f(y－0,x－0)表示点P(x，y)与原点O连线的斜率，当点P在线段AB上运动时，直线OP的斜率k＝eq \f(y,x)也随之变化， 由图可知，当点P在点B时斜率最小，当点P在点A时斜率最大，因为kOB＝eq \f(2,3)，kOA＝eq \f(4,2)＝2，所以eq \f(2,3)≤eq \f(y,x)≤2，因此eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3). $$