2.1 坐标法-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.1　坐标法 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　平面直角坐标系中的基本公式 1．下列各组点中，点C位于点D右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 解析：对于A，点C在点D右侧，符合题意；对于B，点C在点D左侧，不符合题意；对于C，点C在点D左侧，不符合题意；对于D，点C在点D左侧，不符合题意．故选A. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 2．在平面直角坐标系中，已知A(1，－4)，B(3，2)，那么线段AB中点的坐标为(　　) A．(2，－1) B．(2，1) C．(4，－2) D．(－1，2) 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 4．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．4 B．－4或2 C．－2 D．－2或4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 6．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________． 解析：由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5.点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为(0，5)． (0，5) 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识点二　坐标法 8．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 12 40分钟综合练 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 5．已知A，B的坐标分别为(1，1)，(4，3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．20 B．12 C．5 D．4 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 二、多项选择题 6．如果一条平行于x轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点可以是(　　) A．(7，1) B．(2，7) C．(－3，1) D．(2，－3) 解析：由线段平行于x轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x，1)，则|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即另一个端点坐标是(7，1)或(－3，1)．故选AC. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 7．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各项中可以作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 三、填空题 8．已知数轴上的点P到A(－9)的距离是它到B(－3)的距离的2倍，则点P的坐标是________． 解析：由题意，设点P(x)，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，即(x＋9)2＝4(x＋3)2，即x2＋2x－15＝(x＋5)(x－3)＝0，解得x＝－5或3，故点P的坐标是－5或3. －5或3 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 9．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A，B等距离的点有_____个． 2 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 10．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a＝________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 四、解答题 11．用坐标法证明▱ABCD的对角线相交且互相平分． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 12．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 －4或0或6或10 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 14．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：因为A(1，－4)，B(3，2)，所以线段AB中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋3,2)，\f(－4＋2,2)))，即(2，－1)． 3．[多选]有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，对于eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 解析：由题意，可得eq \r(x2＋2x＋5)＝eq \r(（x＋1）2＋4)＝eq \r(（x＋1）2＋（0±2）2)＝eq \r(（x＋1）2＋（－1－1）2)，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离．故选BCD. 解析：∵|AB|＝5，∴eq \r(（a－1）2＋（6－2）2)＝5，∴a＝4或a＝－2.故选D. 5．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长为(　　) A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3) C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10) 解析：由题意知|AB|＝eq \r(（－1－2）2＋（0－3）2)＝3eq \r(2)，|AC|＝eq \r(（2－2）2＋（0－3）2)＝3，|BC|＝eq \r([2－（－1）]2＋（0－0）2)＝3，故△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3eq \r(2).故选C. 7．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)． (1)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标相等时，求x； (2)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(PB,\s\up16(→))的坐标相等时，求x； (3)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))的坐标大于向量2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标时，求x的取值范围． 解：由题意，可知向量eq \o(AP,\s\up16(→))的坐标为3－x，向量eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标为1. (1)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标相等时，有3－x＝2，解得x＝1. (2)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))与2eq \o(PB,\s\up16(→))的坐标相等时，有3－x＝2×(－1)，解得x＝5. (3)当向量eq \o(AP,\s\up16(→))的坐标大于向量2eq \o(BP,\s\up16(→))的坐标时，有3－x＞2，解得x＜1， 所以x的取值范围为(－∞，1)． 证明：如图所示，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC的中点，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，设B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|， 又由中点坐标公式，可得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))， 所以|DE|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq \f(1,2)|c|， 所以|DE|＝eq \f(1,2)|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 一、单项选择题 1．已知线段AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则点B的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2))) B．(－3，2) C．(3，2) D．(3，10) 解析：设点B(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝\f(3＋x,2)，,3＝\f(4＋y,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝2，))故点B的坐标为(－3，2)． 2．点A(2，－3)关于点B(－1，0)的对称点A′的坐标为(　　) A．(5，－6) B．(－4，3) C．(3，－3) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2))) 解析：设点A′(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝\f(2＋x,2)，,0＝\f(－3＋y,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))则点A′的坐标为(－4，3)．故选B. 3．直线l经过点P(－4，6)，与x轴、y轴分别交于点A，B，当P为AB的中点时，|AB|＝(　　) A．4eq \r(13) B．8 C．10 D．12 解析：设A(a，0)，B(0，b)，因为P为AB的中点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4＝\f(a＋0,2)，,6＝\f(0＋b,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝12，))所以A(－8，0)，B(0，12)，所以|AB|＝eq \r(OA2＋OB2)＝4eq \r(13). 4．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且eq \r(a2＋b2)－eq \r(c2＋d2)＝0，则(　　) A．原点一定是线段AB的中点 B．A，B一定都与原点重合 C．原点一定在线段AB上，但不是中点 D．以上结论都不正确 解析：由eq \r(a2＋b2)－eq \r(c2＋d2)＝0，得eq \r(a2＋b2)＝eq \r(c2＋d2)，即A，B两点到原点的距离相等，所以原点在线段AB的垂直平分线上．故选D. 解析：如图，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝eq \r(（1－4）2＋（－1－3）2)＝eq \r(9＋16)＝5. 解析：设第四个顶点为C(x，y)．当OA是对角线时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1,2)＝\f(3＋x,2)，,\f(0＋1,2)＝\f(0＋y,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以C(－2，1)；当OB是对角线时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋3,2)＝\f(1＋x,2)，,\f(0＋0,2)＝\f(1＋y,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))所以C(2，－1)；当OC是对角线时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋x,2)＝\f(1＋3,2)，,\f(0＋y,2)＝\f(1＋0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1，))所以C(4，1)．故选BCD. 解析：设所求点为P.若点P在x轴上，设P(x，0)，则有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝eq \f(3,8)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，0))；若点P在y轴上，设P(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－eq \f(3,14)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,14))).∴在坐标轴上与A，B等距离的点有2个． 解析：|AB|2＝(a＋1－5)2＋(a－4－2a＋1)2＝2a2－2a＋25＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(49,2)，所以当a＝eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值． eq \f(1,2) 证明：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy(如图)． 设点A，B，C的坐标分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，(b，c)，由平行四边形的性质知点D的坐标为(－2a＋b，c)．再设AC，BD的中点分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由中点坐标公式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(－a＋b,2)，,y1＝\f(0＋c,2)，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(a－2a＋b,2)，,y2＝\f(0＋c,2)，)) 即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋b,2)，\f(c,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋b,2)，\f(c,2))). ∴点E与点F重合，∴▱ABCD的对角线相交且互相平分． 解：设点C(x，y)，边AC的中点为D，BC的中点为E， 则DE綊eq \f(1,2)AB. 线段AC的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋x,2)，\f(7＋y,2)))， 线段BC的中点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2＋x,2)，\f(5＋y,2))). 由直线AB与x轴不平行可知，若点D在y轴上，则eq \f(3＋x,2)＝0，所以x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x轴上，所以eq \f(5＋y,2)＝0， 所以y＝－5，即C(－3，－5)． 若点D在x轴上，则eq \f(7＋y,2)＝0， 所以y＝－7，此时点E只能在y轴上， 即eq \f(－2＋x,2)＝0， 所以x＝2，此时C(2，－7)． 如图所示． 综上可知，符合题意的点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)． 13．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝5，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2，则点C的坐标为_______________． 解析：由题意，设A，C的坐标分别为xA，xC，则|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|3－xA|＝5，∴xA＝－2或xA＝8，∴|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|xC－xA|＝|xC－(－2)|＝2或|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|xC－xA|＝|xC－8|＝2，解得xC＝－4或xC＝0或xC＝6或xC＝10.故点C的坐标为－4或0或6或10. 解：以AB所在直线为x轴，AB边中线所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图． 则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a)). 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－x)) eq \s\up12(2)＋(－y)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－x)) eq \s\up12(2)＋(－y)2＋(－x)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a－y)) eq \s\up12(2)＝3x2＋3y2－eq \r(3)ay＋eq \f(5,4)a2＝3x2＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),6)a)) eq \s\up12(2)＋a2， ∴当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2. $$