1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第一章　空间向量与 立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 解析：共线的单位向量是相等的向量或相反向量．故选D. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等的向量 D．零向量只有一个方向，单位向量的方向不一定相同 解析：零向量的方向是任意的，且长度为0.两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 解析：B中向量的和应该是零向量，而不是数0.故选B. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 解析：根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．故选D. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．所有的单位向量都是相等的向量 B．两个向量相等的充要条件是它们的模相等 C．若两个非零向量的模不相等，则它们可能是相反向量 D．空间向量的模的取值范围是[0，＋∞) 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 解析：因为所有的单位向量的模都是1，但是方向不一定相同，所以A错误；两个向量相等的充要条件是它们的模相等且方向相同，所以B错误；因为两个相反向量的模相等，所以若两个非零向量的模不相等，则这两个向量一定不是相反向量，所以C错误；因为所有的空间向量的模都不小于零，所以D正确． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 三、填空题 8．给出下列四个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若空间向量a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 其中真命题的序号为________． ④ 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①为假命题；对于②，向量是不能比较大小的，故②为假命题；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③为假命题；对于④，当向量a，b不共线时，由向量加法法则并根据三角形两边之和大于第三边知|a＋b|＜|a|＋|b|成立，当向量a，b共线时，若a与b同向或其中一个为零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a与b反向，则|a＋b|<|a|＋|b|，故④为真命题． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 －8 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 4 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列命题中为假命题的是(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))是平行向量 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 知识点二　空间向量的加减运算 3．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝0 C．eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→)) D．eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \o(BA,\s\up16(→)) 4．在空间四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝c，则eq \o(CD,\s\up16(→))＝(　　) A．a＋b＋c B．c－a－b C．a－b－c D．b－a＋c 解析：如图所示，eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝－b－a＋c.故选B. 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为eq \o(AC1,\s\up16(→))的共有(　　) ①(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))；②(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→)))＋eq \o(D1C1,\s\up16(→))；③(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))；④(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1B1,\s\up16(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→)). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点三　空间向量的线性运算 6．如图所示，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，则eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))的化简结果为(　　) A．eq \o(AF,\s\up16(→)) B．eq \o(AH,\s\up16(→)) C．eq \o(AE,\s\up16(→)) D．eq \o(CF,\s\up16(→)) 解析：∵点G为△BCD的重心，∴eq \o(GE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))，又eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))，∴eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \o(GE,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→)).故选A. 7．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA1,\s\up16(→))； (2)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))； (3)eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(B1B,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)). 解：(1)eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA1,\s\up16(→))＝eq \o(CA1,\s\up16(→)). (2)因为M是BB1的中点，所以eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BB1,\s\up16(→)). 又eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(AM,\s\up16(→)). (3)eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(B1B,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→)))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝eq \o(CA1,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(BA1,\s\up16(→)). 向量eq \o(CA1,\s\up16(→))，eq \o(AM,\s\up16(→))，eq \o(BA1,\s\up16(→))如图所示． 8．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))是否共线？ 解：设AC的中点为G，连接EG，GF， 则eq \o(GF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EG,\s\up16(→))＋eq \o(GF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))共线． 2．在四边形ABCD中，O为空间任意一点，且eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 解析：∵eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，∴AB∥DC且AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故选A. 3．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则eq \o(MG,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝(　　) A．3eq \o(DB,\s\up16(→)) B．3eq \o(MG,\s\up16(→)) C．3eq \o(GM,\s\up16(→)) D．2eq \o(MG,\s\up16(→)) 解析：连接BD，eq \o(MG,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(MG,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(MG,\s\up16(→))＋2eq \o(MG,\s\up16(→))＝3eq \o(MG,\s\up16(→)).故选B. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BB1的中点，则下列向量中与向量eq \o(EF,\s\up16(→))平行的是(　　) A．eq \o(A1B,\s\up16(→)) B．eq \o(DC1,\s\up16(→)) C．eq \o(AC1,\s\up16(→)) D．eq \o(D1C,\s\up16(→)) 解析：由长方体ABCD－A1B1C1D1，可得AD∥BC∥B1C1，AD＝BC＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥DC1，同理可得A1B∥D1C，又E，F分别为AB，BB1的中点，所以AB1∥EF，所以EF∥DC1，所以eq \o(EF,\s\up16(→))∥eq \o(DC1,\s\up16(→))，因为直线A1B与直线EF相交，又A1B∥D1C，所以向量eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(A1B,\s\up16(→))，eq \o(D1C,\s\up16(→))不平行，又直线AC1与AB1相交，所以向量eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(AC1,\s\up16(→))不平行．故选B. 5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1C1的中点，F是AE的一个三等分点，且AF＝eq \f(1,2)EF，则eq \o(AF,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→)) B．eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→)) C．eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up16(→)) D．eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up16(→)) 解析：如图所示，因为AF＝eq \f(1,2)EF，所以eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1E,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(A1C1,\s\up16(→))))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up16(→))＋\f(1,2)（\o(A1B1,\s\up16(→))＋\o(A1D1,\s\up16(→))）))＝eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up16(→))＋\f(1,2)（\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))）))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up16(→)).故选D. 二、多项选择题 6．在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且eq \f(BE,EC)＝eq \f(BF,FD)＝2，则eq \o(EF,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \f(4,3) eq \o(EF,\s\up16(→)) B．eq \f(5,2) eq \o(EF,\s\up16(→)) C．eq \f(8,9) eq \o(CD,\s\up16(→)) D．eq \f(5,3) eq \o(CD,\s\up16(→)) 解析：在△BCD中，因为eq \f(BE,EC)＝eq \f(BF,FD)＝2，所以EF∥CD，故eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))，即eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(EF,\s\up16(→))，所以eq \o(EF,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(EF,\s\up16(→))＋(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \f(5,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \f(5,3)×eq \f(3,2) eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(5,2) eq \o(EF,\s\up16(→)).故选BD. 7．如图，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则(　　) A．eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→)) B．eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)) C．eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→)) D．eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \o(ED,\s\up16(→)) 解析：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线的性质，可知eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))，故A正确；若eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))，可得eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(FC,\s\up16(→))，由题图，可知eq \o(AE,\s\up16(→))，eq \o(FC,\s\up16(→))不共线，矛盾，故B错误；eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))，故C正确；eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,2)×2eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \o(ED,\s\up16(→))，故D正确．故选ACD. 9．化简eq \f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________________． 解析：eq \f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝eq \f(1,2)a＋b－eq \f(3,2)c＋eq \f(10,3)a－eq \f(5,2)b＋eq \f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c. eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c 10．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋ke2，eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________． 解析：因为eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，所以eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1－4e2，又eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋ke2，A，B，D三点共线，所以存在λ∈R，使得eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(BD,\s\up16(→))，即2e1＋ke2＝λe1－4λe2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,－4λ＝k，))解得k＝－8. 四、解答题 11．如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，CF＝2FD，连接EF，CE，AF，BF，BD，AC.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))； (2)eq \o(AF,\s\up16(→))－eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))； (3)eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→)). 解：(1)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))，如图． (2)eq \o(AF,\s\up16(→))－eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))，如图． (3)因为E是线段AB的中点，CF＝2FD，所以eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))，eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CF,\s\up16(→))， 所以eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \o(EC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \o(EF,\s\up16(→))，如图． 12．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up16(→))＝c，E，F分别是AD′，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示eq \o(D′B,\s\up16(→))，eq \o(EF,\s\up16(→))； (2)化简eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB′,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(C′D′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→)). 解：(1)eq \o(D′B,\s\up16(→))＝eq \o(D′A′,\s\up16(→))＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))＋eq \o(B′B,\s\up16(→))＝－b＋a－c. eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(D′A,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(－b－c)＋a＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)c. (2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB′,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(C′D′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→))＝eq \o(AB′,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＋eq \o(C′D′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→))＝eq \o(AD′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→))＝eq \o(AD′,\s\up16(→))＋eq \o(D′A,\s\up16(→))＝0. 13．[多选]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间中一点，且满足eq \o(BP,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＋μeq \o(BB1,\s\up16(→))，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，点P在棱BB1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 解析：对于A，当λ＝1时，eq \o(BP,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋μeq \o(BB1,\s\up16(→))，所以eq \o(CP,\s\up16(→))＝ μeq \o(BB1,\s\up16(→))，则eq \o(CP,\s\up16(→))∥eq \o(BB1,\s\up16(→))，即点P在棱CC1上，故A错误；对于B， 当μ＝1时，eq \o(BP,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))，所以eq \o(B1P,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))，则eq \o(B1P,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))， 故点P在棱B1C1上，故B正确；对于C，当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以eq \o(BP,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＋(1－λ)eq \o(BB1,\s\up16(→))，即eq \o(B1P,\s\up16(→))＝λeq \o(B1C,\s\up16(→))，所以点P在线段B1C上，故C正确；对于D，当λ＝μ时，eq \o(BP,\s\up16(→))＝λ(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→)))＝λeq \o(BC1,\s\up16(→))，所以点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD. 14．已知三棱柱ABC－A1B1C1及空间中一点P，且eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))(m>0，且m为常数)，若三棱柱ABC－A1B1C1的体积为24，则三棱锥A1－ABP的体积为________． 解析：取AC的中点O，∵eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))，∴2eq \o(PO,\s\up16(→))＝ meq \o(AB,\s\up16(→))⇒PO∥AB，∴P是△ABC所在平面内一点，C到直 线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，则三棱锥A1－ABP的体积为eq \f(1,3)S△ABP×h＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)S△ABC×h＝eq \f(1,6)S△ABC×h＝eq \f(1,6)VABC－A1B1C1＝eq \f(1,6)×24＝4. $$