第11讲 勾股定理的应用（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第11讲 勾股定理的应用（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求梯子滑落高度 典型例题二 求旗杆高度 典型例题三 求小鸟飞行距离 典型例题四 求大树折断前的高度 典型例题五 解决水杯中筷子问题 典型例题六 解决航海问题 典型例题七 求河宽 典型例题八 求台阶上地毯长度 典型例题九 判断是否受台风影响 典型例题十 选址使到两地距离相等 典型例题十一 求最短路径 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为，间距为， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m． 【答案】 【分析】由勾股定理即可完成． 【详解】在Rt△ABC    中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得： (m) 即A、B两点间的距离为m． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理． 【即时训练】 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速． 【详解】解：根据题意：∠ACB= 90° 由勾股定理可得： BC=米 40米= 0.04千米， 2秒=小时； 0.04÷= 72千米/时> 70千米/时； 所以超速了． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可． 【典型例题一 求梯子滑落高度】 【例1】（24-25八年级上·广西玉林·期中）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．5米 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5 米，梯子长为13米， ∴（米）． ∴梯子可以到达建筑物的高度为12米. 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【例2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了（    ）米 A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】B 【分析】根据云梯长与梯子底端C离墙7米，由勾股定理得到AB的长，根据下滑的长度得到BD的长，由勾股定理即可得到BE的长度，进而的到答案． 【详解】由题知： 梯子的顶端A下滑了4米 故梯子底端C在水平方向滑动了15-7=8（米） 故答案选：B 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，能从题中得到相应的线段长度是关键． 【例3】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24米，则小巷的宽度为 米． 【答案】22 【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：在中，，米，米， 米． ∴米 在中，，米，米， 米， 米， ∴小巷的宽度为22米． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【例4】（24-25九年级·北京西城·阶段练习）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题： “今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺） 设木杆长尺，依题意，列方程是 ． 【答案】． 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，设木杆AB长为尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有尺， 在Rt中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 1．（2024八年级上·浙江杭州·专题练习）如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．梯子的底端外移到点，当梯子顶端沿墙下滑到点时，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在利用勾股定理 求出，再在利用勾股定理 求出，则． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上即可； （2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑4m到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部在水平方向滑动到的距离是多少？ (2)在演练中，高约为24m的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的楼房窗口去救援被困人员？ 【答案】(1) (2)云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用， （1）在中， 利用勾股定理， 可求出的长， 结合， 可求出 的长度，在中，利用勾股定理，可求出的长，再结合， 即可求出结论； （2）利用勾股定理，可求出云梯底端离墙的距离等于云梯长度的时云梯的顶端离底面的高度，再将其与比较后，即可得出结论. 【详解】（1）解：在中， ， ， ∴. 在中， ， ， ∴. 答：它的底部在水平方向滑动到的距离是； （2）解：根据题意得： ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员． 【典型例题二 求旗杆高度】 【例1】（24-25八年级上·山西朔州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的竖直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得：． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（    ） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【分析】根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米，在 中，由勾股定理可得CD=0.6米，从而得到CH=2.9米，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：OD=0.8米，OC=OB=1米，DH=2.3米， 在 中，由勾股定理得： 米， ∴ 米， ∴卡车的外形高必须低于2.9米． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例3】（2024八年级上·浙江杭州·专题练习）如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 【答案】15 【分析】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．设，根据题意得到，，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，， 设， ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 即：这棵树的高度为． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答． 【详解】 如图，过点作，垂足为点， 由题意可知，米，米， 则米， 即学生头顶离感应器的距离为米． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 【答案】小树的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∴， 解得：， 所以， 即小树的高度为． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1)秋千的长度是 (2)此时踏板离地的垂直高度为 【分析】（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得：或（舍去）， 即此时踏板离地的垂直高度为． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度的长； (2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 【答案】(1)米 (2)12米 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求出米，然后得到米，进而求解即可； （2）首先得到米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）∵米，米， ∴米 ∵米 ∴米 ∴米； （2）∵风筝线又放出了8米， ∴米， ∴米， ∴米． 【典型例题三 求小鸟飞行距离】 【例1】（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为， 小树高为， 过点作于，则是矩形， 连接， ，，， 在中，， 故小鸟至少飞行， 故选C． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【例3】（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 【例4】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ． 【答案】/米 【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过D点作，垂足为E， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴ ∴（负值舍去）， ∴小鸟飞行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出图形作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 【答案】 【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可． 【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米， 设BD＝x，则AD＝15－x， ∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2， 即， 解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米）， 答：树高为7.5米． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示.输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B.求终止点B与原出发点A的距离AB. 【答案】终止点与原出发点的距离AB=100（米） 【分析】根据小明在操场上只向南和向东行走，而且两个方向垂直，分别求出其实际向南所走路程和实际向东所走路程，利用勾股定理求得其终止点与原出发点之间的距离即可． 【详解】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C， 则在Rt△ABC中，AC＝40＋40＝80米，BC＝70－20＋10＝60米， ∴终止点与原出发点的距离AB＝＝100（米）． 答：小明到达的终止点与原出发点的距离为100米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的求出实际向南和向东所走的路程，构造出直角三角形利用勾股定理求解． 【典型例题四 求大树折断前的高度】 【例1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）高18米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（    ）    A．12米 B．14米 C．3米 D．5米 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米 ∴， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点B离地面的高度的值为5米， 故选：D． 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解： ，，， 设，则，则 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 ． 【答案】18米 【分析】先利用勾股定理可得，再根据大树没折断前的高度等于即可得． 【详解】解：在中，米，米， 则米， 所以大树没折断前的高度为（米）， 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【例4】（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 【答案】x2＋32＝(10−x)2 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10−x）尺， 根据勾股定理得：x2＋32＝(10−x)2， 故答案为：x2＋32＝(10−x)2． 【点睛】本考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 1．（24-25八年级上·重庆合川·期中）如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶端落在离树杆底部处．求这棵树折断之前的高度． 【答案】这棵树折断之前的高度是． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边． 【详解】解：，，， 折断的部分长为， 折断前高度为． 答：这棵树折断之前的高度是． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 3．（24-25八年级·浙江杭州·单元测试）如图所示，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？ 【答案】这个点将绳子分成的两段分别是30cm、40cm或、. 【分析】设，则，分以为斜边，为斜边，为斜边三种情况讨论，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x的值. 【详解】如图所示： 设，则， 若为斜边，则，解得：， 若为斜边，则，解得： 若为斜边，则，解得： 综上所述，这个点将绳子分成的两段分别是30cm、40cm或、. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键． 【典型例题五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．当桶内所能容下的木棒最长时，即为木棒为斜边，桶的底面直径及桶高构成一个直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， 故选：D． 【例2】．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图是一个长、宽、高分别是acm，bcm，ccm的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为7cm，且．通过计算发现，不能放入此木棒的无盖盒子的规格是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键． 连接，先根据勾股定理分别求出各个选项中的的值，再利用勾股定理求出的值和作对比即可得出答案． 【详解】解：连接 由题意得， 对于A选项： 在中，当，时， 在中，， A选项符合题意； 对于B选项： 在中，当，时， 在中，， B选项不符合题意； 对于C选项： 在中，当，时， 在中，， C选项不符合题意； 对于D选项： 在中，当，时， 在中，， D选项不符合题意； 故选A． 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）一根离河岸边远的芦苇，芦苇高出水面，将芦苇拉向河岸边，芦苇顶端与水面刚好齐平，则芦苇处河水的深度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是掌握河水的深、芦苇的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在直角中，． 设河深，则米． 根据勾股定理得出：， ， 解得：， 故答案为：2． 【例4】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺    【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，可知的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形，    设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺． 故答案为：24． 1．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【答案】至少需要制作长的吸管 【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长． 【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径， 内部底面圆半径为， ， 在中， ， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：至少需要制作长的吸管． 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？（丈、尺是长度单位，1丈尺，）．    【答案】水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺 【分析】如图所示，根据题意可得，设，则，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    由题意可知， 设，则， 由勾股定理可得，即， ，解得， 答：水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺． 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺； 故答案为：5，1； （2）设芦苇长EG=AG=x尺， 则水深FG=（x-1）尺， 在Rt△AGF中， 52+（x-1）2=x2， 解得：x=13， ∴芦苇长13尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 【典型例题六 解决航海问题】 【例1】（23-24八年级上·山东威海·期中）周末，小明骑车从家A出发向北偏东方向骑行了4000米到达体育公园B，然后又从体育公园出发向南偏东方向骑行了3000米到达新华书店C．则小明家到新华书店的距离为（    ）    A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出两次骑行的路程和A、C的距离构成的直角三角形，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：连接，    由题意，知，，， ∴， 即小明家到新华书店的距离为5000米． 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， 走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·江西抚州·期中）一轮船以海里时的速度从港向东北方向航行，另一艘船同时以海里时的速度从港向西北方向航行，经过小时后，它们相距 海里． 【答案】30 【分析】根据题意画出图形，根据题目中、的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答． 【详解】如图，由题意可知 ， 在中 故它们相距30海里． 故答案为：30 【点睛】本题考查的是勾股定理，正确的掌握方位角的概念，从题意中得出为直角三角形是关键． 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是 海里． 【答案】100 【分析】由题意可得∠MAN=90°，AN=80海里，AM=60海里，再根据勾股定理即可求得． 【详解】解：由题意可得，(海里)，(海里)， (海里)． 此时两艘轮船之间的距离是海里． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−方向角问题、勾股定理，熟练掌握方向角问题是解答本题的关键． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置，问此时船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    【答案】船向岸边移动了米 【分析】开始时，米，米，即可求得的值，12秒后根据，长度即可求得的值，即可解题． 【详解】解：在中，，米，米, 米， 此人以的速度收绳，秒后船移动到点的位置， 米， 米， 米， 答：船向岸边移动了米． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求12秒后的值是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，上午，一轮船在点处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区．    (1)若轮船继续向东航行小时至，此时台风中心位于，用含的代数式表示______； (2)若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻． 【答案】(1) (2)轮船开始受台风影响的时刻为 【分析】（1）建立坐标系，得到相应点的坐标，再利用勾股定理列式即可得到结果； （2）令，得到方程，解之，根据开始受台风影响进行取值即可． 【详解】（1）解：建立坐标系如下：    由题意可得：，， 小时后，，， ∴； （2）令， 解得，，（舍去）． 则， ∴轮船开始受台风影响的时刻为． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形，一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，读懂开始受台风影响的意义． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离． (1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ (2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由； (3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ (4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)相距，它此时不受到台风影响 (2)会，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程的应用、解题的关键是理解题意，学会于转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）直接利用勾股定理得出的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解； （2）如图易知，，当时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：，整理得到：，解得，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （3）利用（2）中结论即可解决问题； （4）利用（2）中的数据即可解决问题． 【详解】（1），， ， 如图1， 设经过10小时，轮船到达点，且航行了，台风中心到达，且， ，， ， ， 轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响； （2）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；理由如下： 如图2， 设经过小时进行台风区域，则，， 当时，将受到台风影响， 根据勾股定理可得：， 整理得到：， 解得， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区． （3）由（1）可知经过就会进入台风影响区； （4）由（1）可知受到台风影响的时间为（小时）． 【典型例题七 求河宽】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·课后作业）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为（   ） A．480 m B．380 m C．580 m D．500 m 【答案】A 【分析】根据题意发现：他的入水点和实际到达的点和应到的点三个点组成了一个直角三角形．根据勾股定理进行计算． 【详解】在直角三角形ABC中，由已知得BC=200m，AB=520m， 根据勾股定理，得 AC=（m） 故选A. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出几何图形，正确理解题意中涉及的数据，熟练运用勾股定理计算是解答本题的关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据勾股定理求得AB的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解． 【详解】解：如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km， 由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）． ∵点M是AB的中点， ∴MC＝AB＝1km． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需 天才能把隧道凿通． 【答案】10 【分析】先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间． 【详解】解：根据题意， ∵∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km， 则由勾股定理，得， ∴所需的时间为：（天）； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出BC的长度． 【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【答案】1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，池塘边有两点、，点是与成直角的方向上的一点，测得的长为米，的长为米．求、两点间的距离，结果保留小数点后一位)．    【答案】米 【分析】根据勾股定理可得，，代入数据，即可求解． 【详解】解：在中，，由勾股定理，得， ∴(米)． 答：、两点间的距离约为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质化简，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．    【答案】8 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，比较即可得到结果． 【详解】解：， 米， 答：标牌的■处应填8． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识． 3．（2025·四川成都·模拟预测）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 【答案】长约为． 【分析】如图，先利用直角三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】如图，过点作于点， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 答：长约为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【典型例题八 求台阶上地毯长度】 【例1】（2024八年级上·浙江杭州·专题练习）如图所示的是一个三级台阶，它每一级的长、宽和高分别为9，3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点．点A有一只蚂蚁，想到点B去吃食物，则这只妈蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．6 B．8 C．9 D．15 【答案】D 【解析】略 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【分析】先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 【例3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于 ． 【答案】195cm/195厘米 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长． 【详解】解：如图，由题意得：cm， cm， 故cm． 故答案为：195 cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 【例4】（24-25八年级上·吉林·期中）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要 平方厘米． 【答案】3+ 【分析】据含30°的直角三角形求出BC，得出AC＋BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【详解】在Rt△ABC中，θ=30° ∴AB=2BC，AB2=BC2+AC2，即4BC2= BC2+（）2 解得BC=3，（负值舍去） ∴AC＋BC＝＋3（米）， ∴地毯的面积至少需要1×（＋3）＝＋3（平方米）； 故答案为：＋3． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，根据含30°的直角三角形求出BC是解决问题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度． 【答案】铅笔盒的宽的长度为． 【分析】设铅笔盒的宽的长度为，则笔长，然后根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：设铅笔盒的宽的长度为，则笔长， 由题意得， 解得． 答：铅笔盒的宽的长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意、根据勾股定理列出方程是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：） (1)直接写出的值； (2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？ (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式． 【答案】(1)5 (2)900 (3) 【分析】（1）根据点在抛物线上易求得c； （2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱； （3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，可得到点E，G的坐标，即可求解． 【详解】（1）解∶∵抛物线的解析式为且过顶点， ∴； （2）解∶由（1）得：OC=5，抛物线解析式为， 令y=0，则， 解得：， ∴地毯的总长度为：， ∴元， 答：购买地毯需900元； （3）解∶设点G的坐标为，其中a＞0， 根据题意得：， ∵矩形EFGH的周长为27.5m， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入， ∴点G的坐标为（5，3.75），点E的坐标为（-5，0）， 设直线EG的解析式为， 把（-5，0），（5，3.75）代入得： ， 解得：， ∴斜面EG在这个坐标系中的解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【典型例题九 判断是否受台风影响】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 【答案】18 【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失． 【详解】 如图，过点A作AC⊥ON于N， ∵∠MON＝30°，OA＝80米， ∴AC＝40米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米， 由勾股定理得：（米）， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， 所以CD＝30米， 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． 所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒． 故答案为：18． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 【答案】需要封锁 【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解． 【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理． 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 【答案】台风中心经过小时从点移到点． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 【详解】在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 时，， 答：台风中心经过小时从点移到点． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，小明家位于笔直的公路一侧的点A处，且到公路的距离为，现有一广播车在公路上以的速度沿方向行驶，已知广播车周围以内都能听到广播宣传，则小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出小明家共能听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由． 【答案】小明家能听到广播宣传，小明家共能听到广播宣传的时间为． 【分析】根据垂线段最短可得小明家能听到广播宣传．假设当广播车行驶到点P时，小明家开始听到广播，当广播车行驶到点Q时，小明家不再听到广播，则，再由勾股定理可得，然后根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：小明家能听到广播宣传． ∵小明家到公路的距离为，， ∴小明家能听到广播宣传． 如图，假设当广播车行驶到点P时，小明家开始听到广播，当广播车行驶到点Q时，小明家不再听到广播，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∵， ∴． ∴小明家共能听到广播宣传的时间为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 【答案】(1)6小时 (2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得， （小时）； 答：台风中心经过6小时从B点移到D点； （2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 【典型例题十 选址使到两地距离相等】 【例1】 （23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 【例2】（24-25八年级·重庆·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 【答案】B 【分析】拉线AC=x，根据30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=x，再根据勾股定理列出方程求得x的值，由此即可求解. 【详解】在Rt△ACD中，∠CAD=60°， ∴∠ACD=30°， 设拉线AC=x，则AD=x，由勾股定理求得， x2=（x）2+52， 解得x=≈5.77m，AC=x=-（不合题意舍去）， ∴拉线AC最好选用L2． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际问题的应用，利用30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=AC是解决问题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·课后作业）小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要 分钟. 【答案】2.05 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图：AC=40米，BC=9米， 根据勾股定理得：AB= =41(米)， 41÷20=2.05. 故答案为2.05； 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形. 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则 m． 【答案】10 【分析】连接OA，OB，OM，即为圆弧的半径，则根据勾股定理和已知条件，可得，圆弧的半径是，则有，即可得出半径为13，利用，即可求出MH，则可求出MN. 【详解】解：如图示：连接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN与G、H两点， 根据对称性，有 ，， ∴， 设圆弧的半径是，即：， ∴， 由勾股定理可得：，即：， 解之得：， ∴, 由勾股定理可得：，即：， 解之得：， ∴ 故答案为：10. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键. 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定和，然后把中点沿与垂直方向向上拉升至点，求橡皮筋被拉长了多少？ 【答案】2cm． 【分析】根据勾股定理分别计算AD、BD的长，再求AD、BD的和，最后减去AB的长即可． 【详解】是AB的中点， ， 橡皮筋被拉长了：26-24=2cm 答：橡皮筋被拉长了2cm． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）站应建在距站多少千米处？ （2）和垂直吗？说明理由． 【答案】（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析 【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km； （2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明． 【详解】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等． ∴DE=CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A=∠B=90°， ∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2， ∴AE2+AD2=BE2+BC2， 设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x）， ∵DA=8km，CB=6km， ∴x2+82=（14-x）2+62， 解得：x=6， ∴AE=6km． 答：E站应建在距A站6千米处； （2）DE和EC垂直，理由如下： 在△DAE与△EBC中， ， ∴△DAE≌△EBC（SAS）， ∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB， ∵∠DEA+∠D=90°， ∴∠DEA+∠CEB=90°， ∴∠DEC=90°， 即DE⊥EC． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲? 【答案】（1）；（2）；（3）昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲 【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可． 【详解】（1）最长的为斜对角线：=； （2）这根细线的长为：=； （3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中， ∵x>0，解得： 答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键． 【典型例题十一 求最短路径】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理；要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了学生对问题简单处理的能力；直接求是求不出的，所以要将半圆展开，利用已学的知识来解决这个问题．滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离． 【详解】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，米， 即滑行的最短距离为米， 故选∶B． 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一个直三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，在三棱柱的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈彩带，则这圈彩带的长度至少为 cm． 【答案】15 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图， ，，， ∴， 故答案为：15． 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   【答案】蚂蚁爬行的最短路线长为． 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理．将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线． 【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长，    此时，， ∴ ， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 2．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （2）解：根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【答案】(1)A (2)20 (3)2368 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可得：所得的圆柱侧面展开图为A． 故选A． （2）解：∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴金属丝的长为． （3）解：根据勾股定理可得：． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为、，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出，然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为（米，间距为15米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺， 由题意得，， 解得， ∴水深为8尺， 故选：C． 4．（2025·广东云浮·模拟预测）如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是勾股定理的应用，解题的关键是理解题意．先根据圆柱底面积求出半径，进而得到底面圆的直径，再求出圆桶内最长对角线的长，即可求解． 【详解】解：圆柱底面积为， 该笔筒的底面半径为：， 该笔筒的直径为：， 圆桶内最长对角线的长为：， 则桶内能容下的最长的铅笔为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是（   ）．（鱼缸厚度忽略不计） A．130 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆总长为24米，则旗杆顶部落在离旗杆底部 米处． 【答案】 【分析】如图所示，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴在中由勾股定理得， ∴旗杆顶部落在离旗杆底部12米处， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意利用勾股定理求解是解题的关键． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    【答案】1020 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形， 则长为：（米），宽为5米， 地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米）， 购买这种地毯至少需要（元）． 故答案为：1020．    【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 8．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齐.引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙高一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺(1丈=10尺). 【答案】14.5 【分析】如图，若设木棒AB长为x尺，则BC的长是（x－4）尺，而AC=1丈=10尺，然后根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长是（x－4）尺， 在直角△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，尺，尺，则的高为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到关于的方程，求出的长． 【详解】解：尺，尺， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高，底面圆的周长为，则需要金色铁丝的长度最少为 ． 【答案】40 【分析】将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ∴， 在中，， ∴， ∴需要金色铁丝的长度最少为． 故答案为：40． 11．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面处折断倒下，树顶落在离树根处，求大树在折断之前的高度．    【答案】 【分析】首先根据勾股定理可得，然后再代入数计算，可得到的长，再用即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴这棵大树折断前高度估计为：． 答：大树在折断之前的高度为． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）“相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（米）靠在宣传海报（）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（米）．测量得米．求宣传海报（）的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】先根据勾股定理算出的长度，即可得的长度，再根据勾股定理得出的长度，即可得． 【详解】解：由题意可得：米，米，米 在中，（米） 则（米） 在中，（米） 故米． 答：宣传海报（）的高度为米． 13．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）在O处的某海防哨所发现在它的北偏东方向相距的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，求： (1)此时快艇航行了多少千米（即的长）？ (2)距离哨所多少千米（即的长）？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）利用（1）中结论，根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，，， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 答：此时快艇航行了． （2）解：由（1）知，， ． 答：此时快艇距离哨所． 【点睛】本题考查方位角、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是将实际问题转化为解直角三角形问题． 14．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； （2）解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 勾股定理的应用（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求梯子滑落高度 典型例题二 求旗杆高度 典型例题三 求小鸟飞行距离 典型例题四 求大树折断前的高度 典型例题五 解决水杯中筷子问题 典型例题六 解决航海问题 典型例题七 求河宽 典型例题八 求台阶上地毯长度 典型例题九 判断是否受台风影响 典型例题十 选址使到两地距离相等 典型例题十一 求最短路径 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理的作用 1、已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2、用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m． 【即时训练】 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【典型例题一 求梯子滑落高度】 【例1】（24-25八年级上·广西玉林·期中）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．5米 【例2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了（    ）米 A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【例3】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24米，则小巷的宽度为 米． 【例4】（24-25九年级·北京西城·阶段练习）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题： “今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺） 设木杆长尺，依题意，列方程是 ． 1．（2024八年级上·浙江杭州·专题练习）如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．梯子的底端外移到点，当梯子顶端沿墙下滑到点时，求的长． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑4m到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部在水平方向滑动到的距离是多少？ (2)在演练中，高约为24m的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的楼房窗口去救援被困人员？ 【典型例题二 求旗杆高度】 【例1】（24-25八年级上·山西朔州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的竖直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所视的隧道，则卡车的外形高必须低于（    ） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【例3】（2024八年级上·浙江杭州·专题练习）如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 【例4】（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地高度米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开；一个身高米的学生正对门，走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，此时，学生头顶离感应器的距离为 米． 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 3．（24-25八年级上·重庆万州·期末）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度的长； (2)若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 【典型例题三 求小鸟飞行距离】 【例1】（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆云阳·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．14米 【例3】（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【例4】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 2．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示.输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B.求终止点B与原出发点A的距离AB. 【典型例题四 求大树折断前的高度】 【例1】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）高18米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（    ）    A．12米 B．14米 C．3米 D．5米 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是 ． 【例4】（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ． 1．（24-25八年级上·重庆合川·期中）如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶端落在离树杆底部处．求这棵树折断之前的高度． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 3．（24-25八年级·浙江杭州·单元测试）如图所示，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？ 【典型例题五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图是一个长、宽、高分别是acm，bcm，ccm的长方体无盖盒子，已知一根木棒长为7cm，且．通过计算发现，不能放入此木棒的无盖盒子的规格是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）一根离河岸边远的芦苇，芦苇高出水面，将芦苇拉向河岸边，芦苇顶端与水面刚好齐平，则芦苇处河水的深度为 ． 【例4】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺    1．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？（丈、尺是长度单位，1丈尺，）．    3．（24-25八年级上·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【典型例题六 解决航海问题】 【例1】（23-24八年级上·山东威海·期中）周末，小明骑车从家A出发向北偏东方向骑行了4000米到达体育公园B，然后又从体育公园出发向南偏东方向骑行了3000米到达新华书店C．则小明家到新华书店的距离为（    ）    A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米 【例2】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【例3】（24-25八年级上·江西抚州·期中）一轮船以海里时的速度从港向东北方向航行，另一艘船同时以海里时的速度从港向西北方向航行，经过小时后，它们相距 海里． 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是 海里． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置，问此时船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，上午，一轮船在点处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区．    (1)若轮船继续向东航行小时至，此时台风中心位于，用含的代数式表示______； (2)若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离． (1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ (2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由； (3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ (4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 【典型例题七 求河宽】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·课后作业）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为（   ） A．480 m B．380 m C．580 m D．500 m 【例2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，为修铁路需凿通隧道BC，测得∠C＝90°，AB＝5km，AC＝4km，若每天凿隧道0.3km，则需 天才能把隧道凿通． 【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 1．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，池塘边有两点、，点是与成直角的方向上的一点，测得的长为米，的长为米．求、两点间的距离，结果保留小数点后一位)．    2．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．    3．（2025·四川成都·模拟预测）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位） 【典型例题八 求台阶上地毯长度】 【例1】（2024八年级上·浙江杭州·专题练习）如图所示的是一个三级台阶，它每一级的长、宽和高分别为9，3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点．点A有一只蚂蚁，想到点B去吃食物，则这只妈蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．6 B．8 C．9 D．15 【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【例3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于 ． 【例4】（24-25八年级上·吉林·期中）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要 平方厘米． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，小明准备把一支笔放入铅笔盒，竖放时笔的顶端E比铅笔盒的宽还要长，斜着放入时笔的顶端F与铅笔盒的边缘距离为，求铅笔盒的宽的长度． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：） (1)直接写出的值； (2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？ (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式． 【典型例题九 判断是否受台风影响】 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 【例4】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 1．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，某沿海城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？ 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，小明家位于笔直的公路一侧的点A处，且到公路的距离为，现有一广播车在公路上以的速度沿方向行驶，已知广播车周围以内都能听到广播宣传，则小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出小明家共能听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由． 3．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 【典型例题十 选址使到两地距离相等】 【例1】 （23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【例2】（24-25八年级·重庆·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·课后作业）小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要 分钟. 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则 m． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定和，然后把中点沿与垂直方向向上拉升至点，求橡皮筋被拉长了多少？ 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）站应建在距站多少千米处？ （2）和垂直吗？说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲? 【典型例题十一 求最短路径】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，一个直三棱柱盒子底面三边长分别为，，，盒子高为，在三棱柱的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈彩带，则这圈彩带的长度至少为 cm． 【例4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 1．（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   2．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（   ）米． A．17 B．15 C．10 D．8 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 4．（2025·广东云浮·模拟预测）如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是（   ）．（鱼缸厚度忽略不计） A．130 B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆总长为24米，则旗杆顶部落在离旗杆底部 米处． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．    8．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齐.引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙高一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺(1丈=10尺). 9．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，尺，尺，则的高为 尺． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高，底面圆的周长为，则需要金色铁丝的长度最少为 ． 11．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面处折断倒下，树顶落在离树根处，求大树在折断之前的高度．    12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）“相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（米）靠在宣传海报（）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（米）．测量得米．求宣传海报（）的高度（结果保留根号）． 13．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）在O处的某海防哨所发现在它的北偏东方向相距的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，求： (1)此时快艇航行了多少千米（即的长）？ (2)距离哨所多少千米（即的长）？ 14．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 学科网（北京）股份有限公司 $$