第10讲 探索勾股定理（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第10讲 探索勾股定理（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 勾股树（数）问题 典型例题二 勾股定理与无理数 典型例题三 用勾股定理解三角形 典型例题四 勾股定理与网格问题 典型例题五 勾股定理与折叠问题 典型例题六 以直角三角形三边为边长的图形面积 典型例题七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 典型例题八 利用勾股定理证明线段平方关系 典型例题九 勾股定理的证明方法 典型例题十 以弦图为背景的计算题 典型例题十一 用勾股定理构造图形解决问题 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及勾股数，熟知勾股定理及勾股数的定义是正确解答此题的关键． 根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是整数，故，，不是勾股数，不符合题意； D、，且都是整数，故是勾股数，符合题意， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中于点尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题目要求列出方程即可． 【详解】 故答案为：． 【典型例题一 勾股树（数）问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．9，12，15 D．1，2，5 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，解答此题要用勾股数的定义，如果是正整数，且，那么叫做一组勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解；A.，不是勾股数，不符合题意； B.，不是勾股数，不符合题意； C.，是勾股数，符合题意； D. ，不是勾股数，不符合题意； 故选择：C． 【例2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了半圆的面积计算公式，正确的根据勾股定理是解题的关键． 【详解】设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 则， ， ， 故选择：C 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）写一组你喜欢的勾股数 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数． 【详解】解：∵，且12，16，20都是正整数， ∴一组勾股数可以是． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可． 【详解】∵∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2， ∴S3=S2−S1=10−3=7， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）探索勾股数的规律，观察下列各组数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…．请写出第6组数： ． 【答案】13，84，85 【解析】略 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：______； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为____和____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 【答案】(1)11，60，61 (2)，，理由见解析 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61，进而得出答案； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】（1）解：、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；， ，，，，…，， ，60，61； 故答案为：11，60，61； （2）后两个数表示为和， ， ， ， 又，且为奇数， 由，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 【典型例题二 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长，然后再确定点所对应的数． 【详解】解：点，对应在数分别是，， ， 以为边在数轴上方作正方形， ， ， ， 点对应的数是， 在数轴上对应在数为， 故选：B． 【例2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，的两个顶点A，C均在数轴上，且 若点 A 表示的数是，点 C表示的数是2，那么以点A 为圆心，的长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，两点间的距离求出的长，勾股定理求出的长，再利用两点间的距离求出点D 表示的数即可． 【详解】解：∵点 A 表示的数是，点 C表示的数是2， ∴， ∵ ∴，， 由作图可知：， ∴点 D 表示的数是； 故选A． 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示，根据勾股定理求出，根据题意即可求解，熟练掌握知识点得应用是解题的关键． 【详解】在中，，， 由勾股定理得：， 则这个点表示的实数是， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出，结合尺规作图得到，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问题的关键． 【详解】解：在的正方形网格，， 以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ，即点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，点，都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了与数轴，根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示即可解答，利用勾股定理求出的值为解题的关键． 【详解】由勾股定理得，， ∴，     ∵点表示的数是， ∴点表示的数是， 故选：． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理依次求出、、的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 同理，，， 由题意知，， 点表示的数是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 【答案】(1)见解析 (2)> (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理数大小是本题解题关键． （1）以为斜边的直角三角形的直角边为1和2，以为斜边的直角三角形的直角边为1和3，以此为已知尺规作图即可； （2）由（1）中数轴可直观比较； （3）求出的小数部分和整数部分，再代入计算即可． 【详解】（1）如图，点A为，点B为， （2）∵数轴上右边的点大于左边的点， ∴由图得，为， 故答案为：； （3）∵， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴ ． 【典型例题三 用勾股定理解三角形】 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，与成中心对称，点A是它们的对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质．由中心对称的性质得，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的利用割补法求解阴影部分的面积，勾股定理的应用，理解阴影部分的面积等于直角三角形的面积是解题的关键． 根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半圆的面积加上的面积减去大半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解： 等腰，， ， ； ． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得，即可求解． 【详解】：连接，    ∵，，，， ∴， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）《算学宝鉴》是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究了一元高次方程的数值解法，内容翔实可贵，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过．则门的高度是 尺． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的几何应用、勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．设竹竿的高度为x尺，则门宽为尺，门高尺，然后根据勾股定理列出方程，解此方程求出x即可得出答案． 【详解】解：设竹竿的高度为x尺，则门宽为尺，门高尺． 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，． 答：门高是8尺． 故答案为：8． 1．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，矩形的性质，解题关键是由勾股定理列出关于的方程． 连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由由折叠的性质得到，，设，由勾股定理得到，求出，得到，由勾股定理求出，判定是等腰三角形，由等腰三角形的性质得到． 【详解】连接，交于点， ∵四边形是矩形， ， ， 根据折叠的性质得，和关于对称，， ， ∴垂直平分， ， 设， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选∶A． 2．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图1，这是利用四边形不稳定性所设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．在手柄转动的过程中，，之间的距离随的长度的变化规律如图2所示，则图2中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键，根据菱形的性质可得，且，，当时，，利用勾股定理求得，当当时，，再利用勾股定理可求得，从而可得的长． 【详解】解：连接，与交于点，如图： ∵四边形为菱形， ∴，且，， 由图2可知，时，， ∴，， 由勾股定理可得：， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，是中点，连接交于点，点在延长线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质，可得，即可证明，进而证明，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据题意可得，由（1）知四边形是平行四边形，得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ． ． 是中点 ． ． 四边形是平行四边形． （2）由（1）知四边形是平行四边形 ． ∵ ． 四边形是平行四边形 ． 在中，由勾股定理得： ． 【典型例题四 勾股定理与网格问题】 【例1】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据勾股定理，可得、的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理，得，，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 【例3】（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，每个小正方形的这长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的值等于 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，连接，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出及的长，利用勾股定理的逆定理得出为等腰直角三角形，可得出，利用特殊角的三角函数值即可求出的值． 【详解】解：连接，设小正方形的边长为1，    根据勾股定理可以得到：． ∵． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 则． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴中边上的高长． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切等知识．如图，连接，交于点由菱形的性质可得，，设菱形的边长为，则，，，勾股定理求得，进而根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 由菱形的性质可得，， 设菱形的边长为，由图形为全等的含角的小菱形组成的网格， ∴，，，． ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点中的直角三角形的构造和勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题关键． 建立格点三角形，利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可解答． 【详解】解：如图所示： 平移到，连接， ∴， ∴， 有图可知：，，， ，， ∴且， ∴为等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查无刻度的直尺作图问题，平行四边形的判定，中垂线的定义，根据图中的信息求得线段，和画出线段的中垂线是解题的关键． （1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果； （2）以为斜边，构造直角三角形，根据直角三角形在网格线的位置，可以作出中位线交于点，依次构造直角三角形和直角三角形，两直角三角形有公共点格点，且斜边相等，连接交，即为所作线段的中垂线；再构造直角三角形，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：四边形即为所求的平行四边形． 理由：由图可知，过点找到，且， ，， 四边形是平行四边形． （2）解：如图所示：为所作的中垂线． 由图可知，构造直角三角形，如图， ，， ． 故答案为：． 【典型例题五 勾股定理与折叠问题】 【例1】（23-24八年级上·重庆·期中）如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若分别为的中点，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，当点在线段上时，的值最小，则有最小值，根据矩形的性质，勾股定理的知识可求出的长，再根据题意可得是中位线，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    在中，， ∴当点在线段上时，的值最小，则有最小值， 如图所示，点在线段上， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵沿折叠，点落在处， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴在中，是中位线， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，三角形三边的数量关系，勾股定理求线段长度，三角形中位线的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形各顶点的坐标分别为．将长方形沿折叠，使B点落在x轴上B'处，则点E的坐标为 ； 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形翻折的性质，结合勾股定理解答问题．在中，根据勾股定理得出，进而得出，再利用翻折的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵长方形各顶点的坐标分别为，，， ∴， 将长方形沿折叠，使点落在轴上处， ∴， 在中， ， ∴， 设为，则， 在中，，即， 解得：， 所以点的坐标为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用和折叠的性质，由勾股定理求出，设，由折叠得，得，，，在中，由勾股定理得方程，求出的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设，则， 由折叠得，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)， (2)是等腰三角形，见解析 (3) 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案； （2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论； （3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴； 故答案为：， （2）是等腰三角形， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）设的长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得，， ∴ ∴． 【典型例题六 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求出的长，再根据正方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵为一条边向三角形外部作正方形， ∴该正方形的面积为， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将“赵爽弦图”中的四个全等的直角三角形（阴影部分）分别沿着正方形的四条边向外翻折，得到大正方形．记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，则，，之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式与几何图形，设中较长的直角边长为a，较短直角边长为b，得到，，，即可得出结论． 【详解】解：设中较长的直角边长为a，较短直角边长为b，则：，，， ∴，，， ∴； 故选C． 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴ 解得， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 4．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 证，得，同理，． 【详解】解：如图所示， 在和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形、半圆、正三角形、直角三角形，不存在的面积关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键在于正确的表示各部分的面积．设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、等腰直角三角形的面积，半圆，根据，求解，，之间的关系，直角三角形，举反例，进而可得结果． 【详解】解：设两直角边分别为，，斜边为， 则中，， ， ，故项不符合题意； 中，，，， ， ，故项不符合题意； 中，三个三角形是等边三角形， 如图，为，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ， ，故项不符合题意； 中，当各线段长如图时， ∴故项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，得出．设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：38． 3．（23-24八年级上·甘肃定西·期中）在学习勾股定理时，张东同学了解到：若分别以的三边为一边向外作正方形，（如图①），设这三个正方形的面积分别为，，，则由勾股定理不难得到．于是张东同学运用类比的数学思维方法进行探究：若分别以的三边为一边向外作三个等边三角形：，，（如图②），并设其面积分别为，，． (1)请你猜测，，的数量关系并填空：_________； (2)证明（1）中你的猜想． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理和正方形、等边三角形的性质，解题的关键在于灵活运用勾股定理． （1）根据题干提示进行猜想即可； （2）如图，过作于，证明，同理可得：，，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：猜想：； （2）证明：如图，过作于， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【典型例题七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的高，若AB=10cm，AC=6cm，则CD长(      ) A．10 B．4.8 C．5 D．7 【答案】B 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求出直角边BC的长，进而可根据直角三角形面积的不同表示方法求出CD的长． 【详解】Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm， 由勾股定理得：BC= =8cm； 而△ABC的面积S=AC⋅BC=AB⋅CD， ∴CD= =4.8cm. 故选B. 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握计算公式. 【例2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b那么（a+b）2的值为（　　） A．16 B．29 C．19 D．48 【答案】B 【分析】首先求出ab的值和a2＋b2的值，然后根据完全平方公式即可求得（a＋b）2的值． 【详解】解：∵大正方形的面积是16，小正方形的面积是3， ∴四个直角三角形面积和为16﹣3＝13，即4×ab＝13， ∴2ab＝13，a2+b2＝16， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+13＝29， 故选B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的运用，本题中求得ab的值是解题的关键． 【例3】（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）在中，．若，则 ． 【答案】18 【解析】略 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，为一条对角线，于点E，若，则边的长 ． 【答案】 【分析】过点作于，设，根据等腰三角形的性质得到，证明，由全等三角形的性质得到，在中，根据勾股定理解得，再在中，由勾股定理解得的值即可． 【详解】解：过点作于，设 在与中， 在中， 或（舍去） 在中， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是截图关键． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是(    ) A． B．4 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值． 【详解】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°， 又∵∠ACB=60°， ∴∠BCQ=120°， ∵点D是AC边的中点， ∴CD=4， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小， 此时，∠CDQ=30°， ∴CQ=CD=2， ∴DQ= ， ∴DQ的最小值是， 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质及等边三角形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知A(8，0)，点P为y轴上的一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB，则OB＋BA的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点P的坐标为，过点B作轴于点C，由旋转的性质得到，再根据角的和差解得，继而证明，由全等三角形对应边相等解得，进一步得到点的坐标为，由此知点在直线上运动，设直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于直线的对称点为，连接，，，，由三角形三边关系可得的最小值为，继而证明四边形为正方形，得到的坐标为，再利用勾股定理解得的长，即可解题． 【详解】解：∵点P为y轴上一动点， ∴设点P的坐标为， 如图所示，过点B作轴于点C， ∵线段绕着点按逆时针方向旋转90°到， ， 又轴，， ， ∴在中，， 又， ， ∴在和中， ， ， ， 又， ， ∴点的坐标为， 设， ， ∴点在直线上运动， 如图所示，设直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于直线的对称点为，连接，，，， 则，垂直平分， ， 又， 的最小值为， 即的最小值为， 又， ， ∴四边形为正方形， ∴的坐标为， ， 故的最小值为， 故答案为 . 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题、坐标与图形变化—旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键. 3．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【典型例题八 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，、、的对应边分别是a、b、c，若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴为直角三角形， 则根据勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①先证明，再根据全等三角形的对应边相等解题；②先证明是等腰直角三角形，可证得，再根据平行四边形的对角相等解题；③根据平行四边形的性质解题；④由可证明，据此解题；⑤中，利用勾股定理解题． 【详解】解:： 是等腰直角三角形， 四边形是平行四边形， ②正确； 在与中， 点不是中点， ①错误； 四边形是平行四边形， ③正确； ④错误； 中， ⑤正确， ②③⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为 ． 【答案】48 【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值． 【详解】解：∵三角形的周长为24，斜边长为10， ∴a＋b＋10＝24， ∴a＋b＝14， ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2＋b2＝102， 则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102， 即142−2ab＝102， ∴ab＝48． 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，BD为的对角线，于点E，BF⊥DC于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：① ；②；③AB=BH;④;⑤；其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④ 【答案】B 【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答． 【详解】解：由题意， ∴，②正确； ∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE ∴，∴BH=CD=AB，③正确； ∵，∴AB⊥CD， ∴即 ，⑤正确， ∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确 故选B ． 【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在中，斜边，则的值是 ． 【答案】6． 【分析】利用勾股定理将AC2+BC2转化为AB2，再求值． 【详解】解：∵Rt△ABC中，AB为斜边， ∴AC2+BC2=AB2， ∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】(1)正方形（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解， （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，得到，再根据情况画出即可； （3）如图②，连接EC，由可得，，因为，所以，又因为，所以，由勾股定理可得，所以，即四边形ABCD是勾股四边形． 本题考查勾股定理、旋转和全等三角形的性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题． 【详解】（1）解：正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 故答案为：正方形， （2）解：由题意得： ∴，即要使， ∴点都满足条件，如图即为所求， （3）解：如图②，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是勾股四边形． 【典型例题九 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用面积法验证或证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键． 【例2】（23-24八年级上·河南平顶山·期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，根据面积相等的关系证明勾股定理．利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等即可得答案． 【详解】解：大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：， ， ， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有 （填“＞”或“＜”或“”） 【答案】 【分析】证，推出，则，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， ∵正方形a，c的边长分别为a和c， ∴，， 由正方形的性质得：，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形b的面积为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键． 【例4】（2025·贵州遵义·模拟预测）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图，若，，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】10 【分析】设正方形的边长为，根据全等三角形的性质得到，.由勾股定理得到方程解之，即可得到结论． 【详解】由题意可得，，， ∴，. ∴. 设正方形的边长为， 由勾股定理得，， ∴， 整理得，， 解得:或（舍去）. ∴，. ∴.   故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 根据图形及勾股定理的验证得到，故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积，再根据六边形的面积为14，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵六边形的面积为14， ∴ 解得，（舍去）， 根据图形及勾股定理的验证得到， ∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积． 故选：B． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【答案】60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得和是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，通过证明得到，同理可得，得到，再计算、的长，最后由长方形的面积公式计算得出总面积，然后减去三个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证； 方法迁移： （1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 【典型例题十 以弦图为背景的计算题】 【例1】（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，    由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C 【例2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于10的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质等知识，由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数及字母表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：，故选项不符合题意； B、由勾股定理得：，故选项符合题意； C、由勾股定理得：，故选项不符合题意； D、由勾股定理得：，故选项不符合题意； 故选：． 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出菱形的另一条对角线的长度，再求出菱形的面积，结合“赵爽弦图”的特征，得图中阴影部分的面积为，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，四边形是菱形， ∴， 则， ∴ 则， ∵将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图” ∴， 故答案为：4 【例4】（23-24八年级上·北京西城·期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题关键是熟练掌握正方形面积公式以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进而得到一个直角三角形的面积，再结合正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和，进行列式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ， 设正方形的边长为 ∵正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和 ∴ ∴（舍去） 则正方形的边长为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，长方形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出长方形的长和宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， 设， 解得， 长方形的面积为． 故选C． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得证是等腰直角三角形，则且结合四个直角三角形全等，故证明，得出点是中点，结合勾股定理列式，即可作答． 【详解】解：∵作的平分线交于点 ∴ ∵的平分线交于点， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ 而由题意知：四个直角三角形全等 ∴ 而 ∴ ∴ ∴ ∴点是中点 在中， ∴，， ∴ ∴ 设 则， 在中， 在中， ∴ ∴故答案为： 3．（23-24八年级上·河北唐山·期中）现有个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；根据面积相等，直接得等式______，化简最后结果是______，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)；；；； (2)． 【分析】（）根据题意和图形即可求解； （）根据空白部分的面积整个图形的面积个直角三角形的面积，可得空白部分的面积，把，代入计算即可求解； 本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； 根据面积相等，得等式，化简得，； 故答案为：；；；； （2）解：由图可得，空白部分的面积整个图形的面积个直角三角形的面积， ∴空白部分的面积 , ， ． 【典型例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期中）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边米远的水底，竹竿高出水面米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理应用， 河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 设河水的深度为x米，由题意得， 解得∶， 故选∶A． 【例2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（     ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】先构造出树倒下的示意图，判断出四边形ABGF是矩形，得出FG=6，BG=9，再用勾股定理求出EG=19，进而求出EF大约为1.64米，最后根据实际判断即可得出结论． 【详解】解：如图 由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B刮断，绕点B倒下，树梢的轨迹为， 根据题意得，AB=6，BC=10，AF=9， 过点F作AB的平行线交于D，E（D在E上面）， ∴BE=BC=10，∠F=90°， 过点B作BG⊥DF于G， ∴∠BGF=90°， ∵∠A=90°， ∴∠A=∠F=∠BGF=90°， ∴四边形ABGF是矩形， ∴FG=AB=6，BG=AG=9， 在Rt△BGF中，根据勾股定理得， ∴ 所以当张大爷的房子不低于1.64米时，可以被砸到.反之，则不会 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是，坝高，则坡面的长度是 ．    【答案】 【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：迎水坡的坡比是：，坝高， ， 解得， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键． 【例4】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为 ．    【答案】10 【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千的绳索长为， ∴， ∴ 解得：，     答：绳索的长度是． 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图 ∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2， ∴BD=CD+BC=10+2=12，AD=6， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB=； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2， ∴BD=CD+BC=6+2=85，AD=10， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB=； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为6，点B离点C的距离是2， ∴AC=CD+AD=6+10=16， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴AB=； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·课后作业）如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 m． 【答案】10 【分析】由题意可构建直角三角形求出AC的长，过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形．BE=CD，AE长度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根据勾股定理求出AC长． 【详解】 如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m， 过C点作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是矩形． EB=CD=4m，EC=8m． AE=AB－EB=10－4=6m．连接AC， 在Rt△AEC中，根据勾股定理得： m， 故答案为10 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据实际问题，建立适当数学模型，运用数学知识求解． 3．（23-24八年级上·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】[解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，勾股定理分别求得，进而根据当、、共线时，最大，勾股定理，即可求解． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，    此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，    则， ， 当、、共线时，最大，即最大， 且的最大值， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． 1．（24-25八年级上·广西河池·期中）下列各数中，能与8，15组成一组勾股数的是（　　） A．6 B．8 C．10 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，的边在数轴上，数轴，，点所表示的数为，点所表示的数为1，以点为圆心，以长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 点对应的数为， 点表示的数是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在直线上依次摆放看七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则等于(   )    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据可以得到正方形1两侧的两个直角三角形全等，同理可以得到正方形3两侧的两个直角三角形全等，然后根据勾股定理可以得到等于正方形1的面积，等于正方形3的面积，然后计算即可． 【详解】解：由图可得，，， 则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，    同理：正方形3两侧的两个直角三角形全等， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图1，对折长方形纸片，使与重合，再展开，折痕为．如图2，再折叠一角，使点落在上的处，得到折痕，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换及其性质．①由折叠性质得， 1，由此得，则为等边三角形，进而得，由此可对结论①进行判断；②在中，，由此可对结论②进行判断；④根据得，再根据得，则，由此可对结论④进行判断，③由和在都是等边三角形，根据直角三角形的性质勾股定理求得，，则，由此可对结论③进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： ∵四边形为矩形纸片， ∴， 由折叠性质得：，，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∴，故结论②不正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故结论④正确， ③∵是等边三角形，， ∴， 由勾股定理求得， ∵是等边三角形， 同理， ∴ ∴，故结论③正确； 综上所述：正确的结论是①③④． 故选：C． 5．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键．设正方形的边长为，求出找出规律，则，即可得出结论． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 面积标记为的等腰直角三角形的直角边长为， ， 同理，， 则， ， ． 故选：D． 6．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的实数，勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据勾股定理求出的长，利用，即可得到的长，进而得出最后结果． 【详解】如图： ， ， ， ， ， ， 则数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，，且，，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】先在中，根据勾股定理求出，再在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】，，， 在中， ，， 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方是解题的关键． 8．（24-25八年级上·云南大理·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川·阶段练习）如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则 ． 【答案】9 【分析】根据勾股定理可直接进行求解． 【详解】解：已知为直角三角形， ∴， ∵，，， ，，， 故答案为9． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形纸板放置在x轴上，顶点B与原点重合，已知，，现将直角三角形纸板沿x轴向右平移得到，当以，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为 ． 【答案】或5或8 【分析】此题考查了平移的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分三种情况讨论，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∵，， ∴， 由平移得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴平移的距离为； 如图所示，当时， ∵，， ∴ ∴ ∴平移的距离为5； 如图所示，当时， ∵ ∴ ∴ ∴平移的距离为8； 综上所述，，当以，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为或5或8． 故答案为：或5或8． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·课后作业）说出三个互不全等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为正整数． 【答案】3，4，5；5，12，13；7，24，25（答案不唯一） 【分析】根据勾股数、勾股定理及其逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴三个直角三角形的三边长分别为：3，4，5；5，12，13；7，24，25，且这三个三角形的三边长都不相等，也不会全等，符合题意． 【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股数及勾股定理的逆定理是解题关键． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得出结论． 【详解】证明：， ， ，， ， ，，，， ， 是直角三角形，且为直角， ． 13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）观察图形，回答下列问题： (1)如图①，为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为__________； (2)如图②，分别以的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆的面积之间的关系是__________（用图中字母表示）； (3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆．请你利用（2）中得出的结论求阴影部分的面积． 【答案】(1)24 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得，即正方形M的面积；（2），，，由勾股定理可知，所以；（3）阴影部分的面积＝两个小半圆的面积和十直角三角形的面积一大半圆的面积，由（2）可知两个小半圆的面积和＝大半圆的面积，所以阴影部分的面积＝直角三角形的面积． 【解】（1）24    （2） （3）设两个小半圆的面积分别为，，大半圆的面积为，三角形的面积为S， 则． 【点拨】与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积． 14．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）问题情境： 毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”． 解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是，正方形的边长是_________． (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．若正方形，正方形的面积分别为，，求的长． 【答案】(1), (2) 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长． （1）先由正方形，，，的面积分别为，，，，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积； （2）根据题意得出，勾股定理求得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：正方形，，，的面积分别为，，，， 正方形，，，的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为， 正方形的面积为， 故答案为：，． （2）解：∵正方形，正方形的面积分别为，， ∴ 在中， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 15．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 探索勾股定理（1大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 勾股树（数）问题 典型例题二 勾股定理与无理数 典型例题三 用勾股定理解三角形 典型例题四 勾股定理与网格问题 典型例题五 勾股定理与折叠问题 典型例题六 以直角三角形三边为边长的图形面积 典型例题七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 典型例题八 利用勾股定理证明线段平方关系 典型例题九 勾股定理的证明方法 典型例题十 以弦图为背景的计算题 典型例题十一 用勾股定理构造图形解决问题 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．5，12，13 【即时训练】 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中于点尺，尺．设的长度为尺，可列方程为 ． 【典型例题一 勾股树（数）问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．9，12，15 D．1，2，5 【例2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）写一组你喜欢的勾股数 ． 【例4】（24-25八年级上·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，则（    ） A．5 B．7 C．13 D．15 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）探索勾股数的规律，观察下列各组数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…．请写出第6组数： ． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：______； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为____和____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 【典型例题二 勾股定理与无理数】 【例1】（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，的两个顶点A，C均在数轴上，且 若点 A 表示的数是，点 C表示的数是2，那么以点A 为圆心，的长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D 表示的数是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．    【例4】（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，点，都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    3．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 【典型例题三 用勾股定理解三角形】 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，与成中心对称，点A是它们的对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 【例3】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为 ．    【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）《算学宝鉴》是晋商数学家王文素的数学著作，书中研究了一元高次方程的数值解法，内容翔实可贵，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》卷28中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知，长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两阴斜进，恰好方齐．”译文：现在有一座门，不知道宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过．则门的高度是 尺． 1．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图1，这是利用四边形不稳定性所设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的长度（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．在手柄转动的过程中，，之间的距离随的长度的变化规律如图2所示，则图2中的值为 ． 3．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，是中点，连接交于点，点在延长线上，且，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【典型例题四 勾股定理与网格问题】 【例1】（2025·广东珠海·模拟预测）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【例3】（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，每个小正方形的这长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的值等于 ．    【例4】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为 ． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______． 【典型例题五 勾股定理与折叠问题】 【例1】（23-24八年级上·重庆·期中）如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若分别为的中点，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ． 【例4】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形各顶点的坐标分别为．将长方形沿折叠，使B点落在x轴上B'处，则点E的坐标为 ； 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【典型例题六 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 （ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，将“赵爽弦图”中的四个全等的直角三角形（阴影部分）分别沿着正方形的四条边向外翻折，得到大正方形．记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，则，，之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形、半圆、正三角形、直角三角形，不存在的面积关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽淮北·期中）如图，中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，，，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 3．（23-24八年级上·甘肃定西·期中）在学习勾股定理时，张东同学了解到：若分别以的三边为一边向外作正方形，（如图①），设这三个正方形的面积分别为，，，则由勾股定理不难得到．于是张东同学运用类比的数学思维方法进行探究：若分别以的三边为一边向外作三个等边三角形：，，（如图②），并设其面积分别为，，． (1)请你猜测，，的数量关系并填空：_________； (2)证明（1）中你的猜想． 【典型例题七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD是斜边AB边上的高，若AB=10cm，AC=6cm，则CD长(      ) A．10 B．4.8 C．5 D．7 【例2】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b那么（a+b）2的值为（　　） A．16 B．29 C．19 D．48 【例3】（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）在中，．若，则 ． 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在四边形中，，为一条对角线，于点E，若，则边的长 ． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是(    ) A． B．4 C． D．不能确定 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知A(8，0)，点P为y轴上的一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB，则OB＋BA的最小值是 ． 3．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【典型例题八 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，、、的对应边分别是a、b、c，若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①，②，③，④，⑤．正确的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 1．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，BD为的对角线，于点E，BF⊥DC于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：① ；②；③AB=BH;④;⑤；其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④ 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在中，斜边，则的值是 ． 3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)你所知道的特殊四边形中，是勾股四边形有__________（一个即可） (2)如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形． (3)如图（2），是正三角形，，且．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形． 【典型例题九 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（23-24八年级上·河南平顶山·期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有 （填“＞”或“＜”或“”） 【例4】（2025·贵州遵义·模拟预测）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图，若，，则图中阴影部分的面积为 . 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 2．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 3．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【典型例题十 以弦图为背景的计算题】 【例1】（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于10的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图将边长为10，一条对角线长16的菱形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中阴影部分的面积为 ． 【例4】（23-24八年级上·北京西城·期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为 ． 1．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·河北唐山·期中）现有个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；根据面积相等，直接得等式______，化简最后结果是______，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【典型例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期中）小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边米远的水底，竹竿高出水面米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（     ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是，坝高，则坡面的长度是 ．    【例4】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为 ．    1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·课后作业）如图有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 m． 3．（23-24八年级上·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】    ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．    1．（24-25八年级上·广西河池·期中）下列各数中，能与8，15组成一组勾股数的是（　　） A．6 B．8 C．10 D．17 2．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，的边在数轴上，数轴，，点所表示的数为，点所表示的数为1，以点为圆心，以长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在直线上依次摆放看七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则等于(   )    A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图1，对折长方形纸片，使与重合，再展开，折痕为．如图2，再折叠一角，使点落在上的处，得到折痕，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（    ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，正方形的面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是 ． 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，，且，，，则线段的长为 ．    8．（24-25八年级上·云南大理·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    9．（24-25八年级上·四川·阶段练习）如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则 ． 10．（24-25八年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形纸板放置在x轴上，顶点B与原点重合，已知，，现将直角三角形纸板沿x轴向右平移得到，当以，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，平移的距离为 ． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·课后作业）说出三个互不全等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为正整数． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）观察图形，回答下列问题： (1)如图①，为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为__________； (2)如图②，分别以的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆的面积之间的关系是__________（用图中字母表示）； (3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆．请你利用（2）中得出的结论求阴影部分的面积． 14．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）问题情境： 毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”． 解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是，正方形的边长是_________． (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．若正方形，正方形的面积分别为，，求的长． 15．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$