第08讲 逆命题和逆定理（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第08讲 逆命题和逆定理（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 写出命题的逆命题 典型例题二 判断是否为互逆命题 典型例题三 互逆定理 典型例题四 线段垂直平分线的判定 典型例题五 线段垂直平分线的性质 典型例题六 定理与证明 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：“若，则”的条件是“”，结论是“”，其逆命题是“若，则”． 故选：C． 【点睛】此题考查命题与定理，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）“自然数是整数”的逆命题是 ． 【答案】整数是自然数 【分析】根据原命题改写为逆命题的方法即可求解． 【详解】解：“自然数是整数”的逆命题是“整数是自然数”． 【点睛】本题考查了把原命题改写为逆命题，熟练掌握其方法是解题的关键． 知识点02 线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长为，则可求得答案．解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【即时训练】 2．（2025七年级下·浙江金华·专题练习）如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：． 知识点03 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）到的三个顶点距离相等的点是__________的交点．（    ） A．三边中线 B．三条角平分线 C．三边上高 D．三边垂直平分线 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线性质得出即可． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【即时训练】 2．（2025八年级上·上海静安·专题练习）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A与D不重合），则直线AD必是 的垂直平分线． 【答案】BC 【分析】根据题意作图，再由“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”及“两点确定一条直线”即可解答． 【详解】如图，根据题意得AB＝AC，DB＝DC， ∴点A、D都在BC的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线， ∴直线AD是BC的垂直平分线． 故答案为：BC． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质的逆定理及直线的公理，属基础题． 【典型例题一 写出命题的逆命题】 【例1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理、命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；定理是通过逻辑推理证明为真的命题或公式．据此判断即可． 【详解】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·山东·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； C．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意． 故选：D． 【例3】（23-24八年级上·陕西安康·期中）命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补，因为逆命题符合两直线平行的性质故是真命题． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补． 它是真命题， 故答案为：真． 【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可．互逆命题的定义：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题． 【详解】“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则．其逆命题是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了真假命题、逆命题、不等式的性质等知识． 写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； 若，则或的逆命题是若或，则，逆命题是真命题； 若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； 若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题； ∴逆命题是真命题的有②，共1个； 故选：A． 2．（24-25八年级·浙江金华·课后作业）命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是 ，此命题是 （选填“真“或“假”）命题． 【答案】 如果a2＝b2，那么|a|＝|b| 真 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的条件是如果|a|＝|b|，结论是a2＝b2”，故逆命题是如果a2＝b2，那么|a|＝|b|，该命题是真命题． 故答案为：如果a2＝b2，那么|a|＝|b|；真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 3．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）命题“如果，那么”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)这个逆命题是真命题吗？请证明． 【答案】(1)如果，那么， (2)这个命题的逆命题是假命题，证明见解析 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，判断一个命题是真命题还是假命题． （1）逆命题就是题设和结论互换，可得逆命题是若，则， （2）举反列判断命题真假即可． 【详解】（1）解：命题“如果，那么” 逆命题是“若，则”， （2）解：∵当时，也有，， 如：，，，，而， ∴“若，则”的结论不成立， ∴逆命题是假命题． 4．（23-24七年级下·浙江金华·课后作业）判断下列语句是否是命题，若是，写出它的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长BA到点C； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于1的数是1． 【答案】(1)是．两直线平行，同位角相等．真，真 (2)不是命题 (3)是．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．真，假 (4)是．如果一个数是1，那么它的平方是1．假，真 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． （1）根据命题的定义和平行线的判定方法进行判断； （2）根据命题的定义进行判断； （3）根据命题的定义和补角的定义进行判断； （3）根据命题的定义得到平方后等于1的数是1是命题，然后利用的平方等于1判断它为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行是真命题，它的逆命题为两直线平行，同位角相等，原命题为真命题，它的逆命题为真命题； （2）解：延长到点不是命题； （3）解：同角的补角相等是真命题，它的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角，原命题为真命题，它的逆命题为假命题； （4）解：平方后等于1的数是1是假命题，它的逆命题为如果一个数是1，那么它的平方是1，原命题为假命题，它的逆命题为真命题． 【典型例题二 判断是否为互逆命题】 【例1】（2025·北京西城·模拟预测）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my 【答案】C 【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意； B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意； C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 【例2】（2025·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】运用不等式的基本性质即可判断①的原命题和逆命题是否正确； 运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”正确与否，问题即可解答. 【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题. ②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况. ③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形. 故只有①的原命题与其逆命题都是真命题. 故选A. 【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写出其逆命题是解题的关键. 【例3】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案． 【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误； ②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 2．（23-24八年级上·浙江金华·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 3．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由见解析 (2)说法正确，理由见解析 (3)说法错误，理由见解析 (4)说法错误，理由见解析 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：说法错误，理由如下： 每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； （2）解：说法正确，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （3）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （4）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 4．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【典型例题三 互逆定理】 【例1】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 【答案】C 【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意； B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意； C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意； D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 【例2】（24-25八年级上·云南临沧·期中）下列定理中，没有逆定理的是  (      ) A．三边对应相等的两个三角形全等 B．中垂线上的点到线段两端的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】C 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】A、其逆命题是“全等三角形的对应边相等”，正确，所以有逆定理； B、其逆命题是“到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上”，正确，所以有逆定理； C、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理； D、其逆命题是“中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题与定理的区别，正确的命题叫定理，解题的关键是熟知逆命题的定义． 【例3】（24-25八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可． 【详解】“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行” 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【点睛】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键． 【例4】 （24-25八年级上·浙江金华·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形 【答案】B 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理； B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理； C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理； D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理． 2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有(   )个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】写出这三个定理的逆命题，判断逆命题的真假即可. 【详解】有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两底角相等，正确，①存在逆定理； 全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的三角形全等，错误，②没有逆定理； 同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，正确，③存在逆定理， 故选C． 【点睛】本题考查了逆定理，逆定理是将某一定理的条件和结论互换所得命题也是一个定理，那互换之后的定理就是原来定理的逆定理.(即如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理).此时，这两个定理叫互逆定理. 3．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）下列定理中，没有逆定理的是（　　） ①内错角相等，两直线平行 ②等腰三角形两底角相等 ③对顶角相等 ④直角三角形的两个锐角互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意可知： ①的逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，是逆定理； ②的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，是逆定理； ③的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，不是逆定理； ④的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，是逆定理. 只有一个不是逆定理. 故选A 4．（23-24八年级上·浙江金华·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【典型例题四 线段垂直平分线的判定】 【例1】（2025·江苏盐城·模拟预测）用尺规法过直线外一点作此直线的垂线，作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图，线段垂直平分线的判定，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．根据作图可得，故该选项不符合题意； B．根据作图可得垂直平分，故该选项不符合题意； C．如图，根据作图可得，， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， 则垂直平分，即，故该选项不符合题意； D．无法判断，故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【答案】C 【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 故选C． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，则结论：①AC垂直平分BD；②BD垂直平分AC；③△ABD≌△CBD；④∠BAC＝∠DAC．其中成立的是 ． 【答案】②③ 【分析】根据线段垂直平分线的判定即可得到BD垂直平分AC；根据全等三角形的判定定理即可得到△ABD≌△CBD，于是得到结论． 【详解】解：∵AD=CD，AB=CB， ∴BD垂直平分AC， 故②正确； 在△ABD与△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故③正确； ∵AD≠AB，CD≠BC， ∴AC不一定垂直平分BD，故①错误； ∴∠BAC≠∠DAC，故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记掌握线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【例4】（24-25八年级·上海静安·课后作业）已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在 上． 【答案】线段AB的垂直平分线 【分析】和一条线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此作答即可． 【详解】因为PA=PB=3cm， 所以P点一定在线段AB的垂直平分线上． 故答案为：线段AB的垂直平分线． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟记到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的顶点均落在格点上，若建立适当的坐标系，记点A的坐标为，点B的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形与坐标，线段垂直平分线的判定，到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．到三个顶点距离相等的点是与的垂直平分线的交点，画出交点，进而得出其坐标即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，与的垂直平分线的交点为点， ∴到三个顶点距离相等的点的坐标为， 故选：B． 2．（2024·天津河西·模拟预测）如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接．    （Ⅰ）四边形的面积为 ． （Ⅱ）的长为 ． 【答案】 40 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和三角形中位线的应用、勾股定理，根据，，由垂直平分线判定定理可得，由此根据四边形的面积为，在取的中点M，连接、，可得、是中位线，是直角三角形，由勾股定理即可求出． 【详解】解：（Ⅰ）∵，， ∴， ∴四边形的面积为 （Ⅱ）在取的中点M，连接、，    ∵E为的中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴，∴， 故答案为：（Ⅰ）40，（Ⅱ）． 3．（2025八年级上·湖南·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出． （2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明． 【详解】证明：（1）点是的中点， ， ， ， ． ， 垂直平分 ， ， 在 中， ， ． （2）， 证明如下： 如图，延长至点，使 ，连接 ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【典型例题五 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 由题意易得，，然后即可求解． 【详解】解：解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 【例3】（2025·青海西宁·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线MN与分别相交于点，若的周长为10，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分，得到，，进而得到的周长为，再根据三角形的周长公式进行计算即可，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴，， ∴的周长为， ∴的周长为； 故答案为：16． 1．（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，连接，交于点O；②以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接CD；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，交于点N，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，， ，， ， ，， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．若为4，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查矩形和折叠性质、线段垂直平分线的定义与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解答的关键．连接，证明为等边三角形，进而可得，再利用含30度角的直角三角形的性质得到求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形．（请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹）． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点，使点到两点的距离相等； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）先根据轴对称的定义确定关于直线的对称点，然后再顺次连接即可； （2）根据网格作出线段的垂直平分线，垂直平分线与直线的交点即为所求的点P． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：点P即为所求． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见（1） (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 【典型例题六 定理与证明】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的按定义三项进行排查即可． 【详解】A. 两点确定一条直线是画图语句不是定义， B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，平行线是被定义项，不相交的两条直线是定义项，叫做是定义联项， C. 三角形的角平分线是一条线段说明角平分线的形状不是定义， D. 同角的余角相等是定理不是定义． 故选择：B． 【点睛】本题考查定义问题，掌握定义是由三部分组成被定义项、定义项和定义联项三，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键． 【例2】（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【答案】C 【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误； B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误； C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确； D、定理不可能是假命题，所以本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 【例4】（24-25八年级上·山东·课后作业）由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的 . 【答案】推论 【分析】根据推论的定义解答即可． 【详解】由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论， 故答案为推论． 【点睛】本题考查了推论的定义，解题的关键是掌握推论的定义． 1．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立. 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到. 2．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 3．（24-25八年级上·浙江金华·单元测试）“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【详解】试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答． 试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 4．（24-25九年级·四川雅安·期中）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明： 【答案】见解析. 【分析】先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理得出，代入即可求出，即，即可推出答案． 【详解】逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知，如图，中，D是AB边的中点，且， 求证：是直角三角形 证明：是AB边的中点，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】此题考查的是命题与定理，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图，    根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列各命题的逆命题不成立的是（  ） A．同位角相等，两直线平行 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查的是逆命题．首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是两直线平行，同位角相等，成立，本选项不符合题意； B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立，本选项不符合题意； C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立，本选项符合题意； D、逆命题是如果，那么，成立，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 4．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）下列定理中，有逆定理的个数是（    ） ①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b，则a2 =b2. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】试题解析：①“有两边相等的三角形是等腰三角形”的逆命题为“等腰三角形有两边相等”，此逆命题为真命题； ②“若三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形”的逆命题为“若一个三角形是直角三角形，则此三角形三边a，b，c（c为斜边）满足a2+b2=c2”，此逆命题为真命题； ③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题； ④“若a=b，则a2=b2”的逆命题为“若a2=b2，则a=b”，此逆命题为假命题． 故选B． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在中，，．要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（   ） 方案I：作的垂直平分线， 分别交，于点，． 方案Ⅱ：作，的平分线， 分别交，于点，． A．只有方案I可行 B．只有方案II可行 C．方案I、II都可行 D．方案I、II都不可行 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，方案I：设与相交于点，证明，得出，从而得出，即可得出四边形为菱形；方案II：得出，证明出，即可四边形为平行四边形，但不能判断四边形为菱形，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：方案I：如图，设与相交于点， ， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 方案II：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不能判断四边形为菱形； 综上所述，只有方案I可行， 故选：A． 6．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 7．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）请用“如果……那么……”的形式，写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 【答案】如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题主要考查逆命题，先用“如果……那么……”的形式将“直角三角形的两个锐角互余”表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余，根据逆命题的定义，即可求得答案． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”用“如果……那么……”的形式表述为：如果三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角互余， 逆命题为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 8．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是直角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 【答案】①②/②① 【分析】本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形的逆命题是如果这个三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足，是真命题； ③如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 故答案为：①②． 9．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 10．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，，D是边上的一点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E．若，则C，E两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高． 连接，交于点，由折叠性质知，，，得到垂直平分，推出，根据，，，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，即可得出． 【详解】解：如图，连接，交于点F． 由折叠知，． 垂直平分， ． ，，， ． ． ， ． ． 故答案为： 11．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)有，逆定理见解析； (2)有，逆定理见解析． 【分析】（1）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答； （2）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答． 【详解】（1）定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”． （2）定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．” 【点睛】本题考查平行线的性质与判定两直线平行的方法，熟记平行线的性质与判定方法是关键． 12．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （2）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （3）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】（1）解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 原命题是真命题，逆命题是假命题； （2）解：“周长相等的三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形的周长相等”， 原命题是假命题，逆命题是假命题； （3）解：“如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数”的逆命题是“如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数”， 原命题是假命题，逆命题也是假命题． 13．（24-25七年级下·浙江金华·随堂练习）阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题与逆命题，以及真假命题，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 将原命题的题设和结论互换，即可得到逆命题，即可写出题设和结论，根据平行线的判定即可判断真假． 【详解】解：逆命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则内错角必相等． 题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．结论：内错角相等．它是真命题． 理由：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则两直线平行，所以内错角相等． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF， ∴∠B＋∠F＝180°； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 15．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；作法所依据的数学定理或基本事实见解析（答案不唯一） 【分析】（1）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 【详解】（1）证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， （2）解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，尺规作垂线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 逆命题和逆定理（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 写出命题的逆命题 典型例题二 判断是否为互逆命题 典型例题三 互逆定理 典型例题四 线段垂直平分线的判定 典型例题五 线段垂直平分线的性质 典型例题六 定理与证明 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【即时训练】 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）“自然数是整数”的逆命题是 ． 知识点02 线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025七年级下·浙江金华·专题练习）如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 知识点03 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）到的三个顶点距离相等的点是__________的交点．（    ） A．三边中线 B．三条角平分线 C．三边上高 D．三边垂直平分线 【即时训练】 2．（2025八年级上·上海静安·专题练习）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A与D不重合），则直线AD必是 的垂直平分线． 【典型例题一 写出命题的逆命题】 【例1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【例2】（24-25八年级上·山东·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【例3】（23-24八年级上·陕西安康·期中）命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【例4】（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则．其逆命题是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级·浙江金华·课后作业）命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是 ，此命题是 （选填“真“或“假”）命题． 3．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）命题“如果，那么”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)这个逆命题是真命题吗？请证明． 4．（23-24七年级下·浙江金华·课后作业）判断下列语句是否是命题，若是，写出它的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长BA到点C； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于1的数是1． 【典型例题二 判断是否为互逆命题】 【例1】（2025·北京西城·模拟预测）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my 【例2】（2025·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【例3】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【例4】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24八年级上·浙江金华·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 3．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 4．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【典型例题三 互逆定理】 【例1】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 【例2】（24-25八年级上·云南临沧·期中）下列定理中，没有逆定理的是  (      ) A．三边对应相等的两个三角形全等 B．中垂线上的点到线段两端的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例3】（24-25八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 【例4】 （24-25八年级上·浙江金华·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形 2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有(   )个． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）下列定理中，没有逆定理的是（　　） ①内错角相等，两直线平行 ②等腰三角形两底角相等 ③对顶角相等 ④直角三角形的两个锐角互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·浙江金华·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【典型例题四 线段垂直平分线的判定】 【例1】（2025·江苏盐城·模拟预测）用尺规法过直线外一点作此直线的垂线，作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，则结论：①AC垂直平分BD；②BD垂直平分AC；③△ABD≌△CBD；④∠BAC＝∠DAC．其中成立的是 ． 【例4】（24-25八年级·上海静安·课后作业）已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在 上． 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的顶点均落在格点上，若建立适当的坐标系，记点A的坐标为，点B的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津河西·模拟预测）如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接．    （Ⅰ）四边形的面积为 ． （Ⅱ）的长为 ． 3．（2025八年级上·湖南·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明． 【典型例题五 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2025七年级下·上海·专题练习）如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·青海西宁·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线MN与分别相交于点，若的周长为10，则的周长是 ． 1．（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，连接，交于点O；②以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连接CD；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，交于点N，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．若为4，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形．（请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹）． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点，使点到两点的距离相等； 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【典型例题六 定理与证明】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 【例2】（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）如图所示，，那么 ，依据是 ． 【例4】（24-25八年级上·山东·课后作业）由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的 . 1．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）如图，，，，求证：． 2．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和． 3．（24-25八年级上·浙江金华·单元测试）“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 4．（24-25九年级·四川雅安·期中）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明： 1．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列各命题的逆命题不成立的是（  ） A．同位角相等，两直线平行 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果，那么 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 4．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）下列定理中，有逆定理的个数是（    ） ①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b，则a2 =b2. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在中，，．要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（   ） 方案I：作的垂直平分线， 分别交，于点，． 方案Ⅱ：作，的平分线， 分别交，于点，． A．只有方案I可行 B．只有方案II可行 C．方案I、II都可行 D．方案I、II都不可行 6．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 7．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）请用“如果……那么……”的形式，写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ． 8．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是直角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 9．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 10．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，，D是边上的一点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E．若，则C，E两点之间的距离为 ． 11．（24-25八年级上·浙江金华·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 12．（24-25七年级下·浙江金华·课后作业）说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 13．（24-25七年级下·浙江金华·随堂练习）阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 15．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$