阶段练习(六) (2.6～2.8)-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 阶段练习(六)　(2.6～2.8) 一、单项选择题 1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．x＝－ D．x＝ 答案：A 解析：y＝x2可化为x2＝4y，抛物线的焦点在y轴正半轴上，且p＝2，则准线方程为y＝－1.故选A. 2．已知双曲线C：x2－y2＝1，O为坐标原点，F为C的左焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q.若＝2，且Q在P，F之间，则|PQ|＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为双曲线C：x2－y2＝1，所以a＝b＝1，c＝，F(－，0)，设P(t，t)，因为＝2，所以Q为线段PF的中点，则Q.又点Q在直线y＝－x上，则＝－，解得t＝，所以P，|PQ|＝|PF|＝.故选B. 3．若椭圆的中心在原点，一个焦点为F(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦中点的纵坐标为1，则该椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可得c＝2，所以a2－b2＝4　①，直线y＝3x＋7的斜率为3，与椭圆相交的弦的中点为(－2，1)，设弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，可得＋＝1，＋＝1，两式相减，可得＋＝0，代入x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，＝3，可得＝　②，由①②解得a＝2，b＝2，即椭圆的方程为＋＝1.故选D. 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足·＝0，若直线PF2与圆x2＋y2＝相切，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．2 答案：C 解析：设直线PF2与圆x2＋y2＝相切，切点为M，连接OM，则OM⊥PF2，因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF1∥OM，且|OM|＝|PF1|＝，所以|PF1|＝b，由双曲线的定义可得|PF2|＝2a＋|PF1|＝2a＋b，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则b2＋(2a＋b)2＝4c2，整理可得2a＝b，所以4a2＝b2＝c2－a2，即＝5，即e＝.故选C. 5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则3|AF|＋4|BF|的最小值为(　　) A．4＋7 B．8＋14 C．16＋28 D．4 答案：A 解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，故p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，焦点坐标为(1，0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1>0>y2，联立整理得y2－4ty－4＝0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，故x1x2＝×＝1，又|AF|＝x1＋＝x1＋1，|BF|＝x2＋＝x2＋1，则3|AF|＋4|BF|＝3x1＋3＋4x2＋4≥2＋7＝4＋7，当且仅当x1＝，x2＝时，等号成立，故3|AF|＋4|BF|的最小值为4＋7.故选A. 二、多项选择题 6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的焦距为2 B．椭圆C的短轴长为 C．|PQ|＋|PF|的最小值为2 D．过点F的圆E的切线斜率为 答案：AD 解析：如图所示，∵椭圆C的长轴长与圆E的直径长相等，∴2a＝4，a＝2，设椭圆的左焦点为F1(－c，0)，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF|＝2a＝4，∴|PQ|－|PF|＝|PQ|－(4－|PF1|)≥|QF1|－4≥|EF1|－2－4＝2－6，∴|EF1|＝2＝，解得c＝1或5，∵c<a，故c＝1，∴椭圆C的焦距为2，故A正确；由b＝＝＝，得椭圆C的短轴长为2，故B错误；|PQ|＋|PF|≥|QF|≥|EF|－|EQ|＝－2＝4－2，故C错误；设过点F的圆E的切线方程为y＝k(x－1)，则＝2，解得k＝，故D正确．故选AD. 7．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆(x－1)2＋y2＝与C的渐近线相切．P为C右支上的动点，过点P作双曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则下列结论中正确的是(　　) A．两渐近线的夹角为30° B．C的离心率e＝2 C．|PA||PB|为定值 D．|AB|的最小值为 答案：BCD 解析：因为圆(x－1)2＋y2＝与C的渐近线相切，所以圆心(1，0)到渐近线bx－y＝0的距离等于圆的半径，即＝⇒b＝，所以双曲线C：x2－＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以两渐近线的倾斜角为60°和120°，则两渐近线的夹角为60°，故A错误；因为c＝＝＝2，所以离心率e＝＝2，故B正确；设P(x0，y0)(x0≥1)，则x－＝1，所以|PA||PB|＝·＝＝，故C正确；因为PA⊥OA，PB⊥OB，当∠AOB＝120°时，∠APB＝180°－120°＝60°，当∠AOB＝60°时，∠APB＝∠AOB＝60°，故∠APB＝60°，由余弦定理，得|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|·cos60°＝|PA|2＋|PB|2－|PA||PB|≥2|PA|·|PB|－|PA||PB|＝|PA||PB|＝，所以|AB|≥，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立，此时点P为双曲线的右顶点，所以|AB|的最小值为，故D正确．故选BCD. 三、填空题 8．已知双曲线的离心率为e＝2，且点在双曲线上，则该双曲线的方程为________． 答案：x2－＝1或－＝1 解析：因为e＝＝＝2，所以b＝a.若焦点在x轴上，则设方程为－＝1，将点代入，得－＝1，解得a2＝1，即双曲线的方程为x2－＝1；若焦点在y轴上，则设方程为－＝1，将点代入，得－＝1，解得a2＝，即双曲线的方程为－＝1.综上，双曲线的方程为x2－＝1或－＝1. 9．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0，2)，线段FA与抛物线交于点B，且＝2，则|BF|＝________． 答案： 解析：由题意得F(p>0)，设B(x，y)，则＝，＝(－x，2－y)，由＝2，得解得代入抛物线方程，得＝2p×，解得p＝，所以B，F，所以|BF|＝＝. 10．已知椭圆C：＋＝1，圆O：x2＋y2＝3，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B.若|PB|＝|QA|，则点A的坐标为________，直线l的方程是________． 答案：　x＋y－＝0 解析：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0，m>0)，联立得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－3＝0，所以Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－3)＝0，所以m2＝3k2＋3，所以xA＝，联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，设AB的中点为M，由|PB|＝|QA|，得|PM|＝|QM|，即M是PQ的中点，在直线l的方程中，令y＝0，得xB＝－，易知x1＋x2＝xA＋xB，即＝＋，所以k2＝1，又k<0，所以k＝－1，所以m2＝3k2＋3＝6，又m>0，所以m＝，所以xA＝＝，yA＝－xA＋m＝，故A，直线l的方程为x＋y－＝0. 四、解答题 11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过F作直线l与C交于M，N两点，O为坐标原点，若S△OMN＝，求直线l的方程． 解：(1)由已知，得c＝1，离心率e＝＝， 所以a＝2，b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意，知直线l的斜率不为0， 所以设直线l的方程为x＝my＋1， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 因为直线l过点F，所以Δ>0显然成立， 且y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以S△OMN＝|OF|·|y1－y2| ＝＝·＝， 化简得18m4－m2－17＝0，解得m2＝1或m2＝－(舍去)，所以m＝1或m＝－1， 所以直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0. 12．已知圆M与直线x＝－3相切，与圆N：(x＋2)2＋y2＝5交于E，F两点，且EF为圆N的直径，圆心M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设点A(1，0)，D(3，0)，P，Q是C上不同的两点，且直线AP，AQ的斜率均为k(k≥2)，H为x轴上一动点，且∠PQH＝∠QPH，求的最小值． 解：(1)设圆心M(x，y)， 则圆M的半径为|x＋3|， 因为EF为圆N的直径， 所以|EM|2＝|EN|2＋|MN|2， 即|x＋3|2＝5＋(x＋2)2＋y2，整理，得 y2＝2x， 故轨迹C的方程为y2＝2x. (2)如图所示，因为直线AP，AQ的斜率均为k(k≥2)，所以P，A，Q三点共线， 则直线PQ的方程为y＝k(x－1)， 由可得k2x2－(2k2＋2)x＋k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝1， 所以|PQ|＝×＝·＝. 因为∠PQH＝∠QPH， 所以点H在线段PQ的垂直平分线上， 又y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝， 所以线段PQ的中点坐标为， 则线段PQ的垂直平分线方程为y－＝－，令y＝0，得x＝2＋，故H. 又D(3，0)，所以|DH|＝＝1－， 所以＝＝， 令k2－1＝t，t≥3，所以0<≤. 则＝ ＝ ＝， 当＝时，y＝6－取得最大值6×－＝5， 故的最小值为＝. 13．[多选]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N，|MN|＝|NF|，则(　　) A．|AF|＝3|BF| B．∠ADB是锐角 C．△BDN是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形 答案：ABD 解析：由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，D(－1，0)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1＞0＞y2，则M，所以|MN|＝，而|AF|＝x1＋1，所以|MF|＝，所以|MN|＝|NF|＝|MF|，所以△MNF为正三角形，所以∠MNF＝∠FMN＝∠NFM＝60°，又MN∥x轴，所以∠NFD＝60°，∠ONF＝30°(O为原点)，则|NF|＝|MF|＝|MN|＝2，所以x1＝3，|AF|＝4，A(3，2)，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，联立方程 得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，则x2＝，所以|BF|＝x2＋1＝，所以|AF|＝3|BF|，故A正确；|DF|＝2，|MN|＝|DF|且MN∥DF，|MF|＝|MN|＝2，所以四边形DFMN是菱形，故D正确；由于以AB为直径的圆与准线相切，点D在圆外，所以∠ADB是锐角，故B正确；N(0，)，D(－1，0)，B，所以＝(1，)，＝，所以·＝－2<0，所以∠NDB为钝角，所以△BDN是钝角三角形，故C错误．故选ABD. 14．已知椭圆C：＋＝1，F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)若直线l垂直于x轴，求椭圆C的弦AB的长； (2)设点P(－3，0)，当∠PAB＝90°时，求点A的坐标； (3)设点M(4，3)，记MA，MB的斜率分别为k1和k2，试探讨k1＋k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1＋k2的取值范围． 解：(1)因为F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，直线l垂直于x轴， 所以xF＝xA＝xB＝c，代入椭圆的方程得|yA|＝|yB|＝， 所以|AB|＝＝＝3. 若直线l垂直于x轴，椭圆C的弦AB的长为3. (2)若点P(－3，0)，当∠PAB＝90°时，因为弦AB过右焦点，则PA⊥FA，即点A在以PF为直径的圆上，则点A的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4. 又因为点A在椭圆上， 则解得 即点A的坐标为(0，)或(0，－)． (3)当直线l的斜率不存在时，即直线l垂直于x轴，此时不妨设A，B，k1＋k2＝＋＝2； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， x1＋x2＝，x1x2＝， k1＋k2＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝， 将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式，得k1＋k2＝2. 综上，k1＋k2是定值2. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$