阶段练习(四) (2.3)-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 阶段练习(四)　(2.3) 一、单项选择题 1．圆心为点(3，4)，半径的平方为5的圆的一般方程为(　　) A．(x－3)2＋(y－4)2＝25 B．x2＋y2－6x－8y＋20＝0 C．(x－3)2＋(y－4)2＝5 D．x2＋y2－3x－4y＋5＝0 答案：B 解析：圆心为点(3，4)，半径的平方为5的圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，展开化为一般方程为x2＋y2－6x－8y＋20＝0. 2．已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B． C．[3，＋∞) D． 答案：A 解析：由x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0，化简可得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，则该圆圆心为(a，－2a)，半径为3，由题意可得解得a<－3，故实数a的取值范围是(－∞，－3)． 3．过点M(0，1)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切的直线方程为(　　) A．4x＋3y－3＝0和x＝0 B．x＝0 C．y＝0 D．4x＋3y－3＝0 答案：A 解析：由题意知，圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1的圆心(1，－2)，半径r＝1，当直线的斜率不存在时，过点M(0，1)的直线方程为x＝0，圆心(1，－2)到此直线的距离等于半径1，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线方程为y＝kx＋1，因为直线与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以圆心(1，－2)到此直线的距离等于半径1，得＝1，解得k＝－，故切线方程为4x＋3y－3＝0.综上，切线方程为4x＋3y－3＝0和x＝0. 4．已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r1＝2，圆C：x2＋y2－4x＋3＝0即(x－2)2＋y2＝1，则圆心为C(2，0)，半径r2＝1，所以|OC|＝2，则|r1－r2|<|OC|<r1＋r2，所以两圆相交，两圆方程相减可得直线AB：4x－7＝0，O(0，0)到直线4x－7＝0的距离为d＝，所以|AB|＝2＝2＝，所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝. 5．已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋5＝0，则的取值范围为(　　) A．[－，] B． C．∪ D．(－∞，－]∪[，＋∞) 答案：B 解析：x2＋y2－6x＋5＝0即(x－3)2＋y2＝4表示圆心为M(3，0)，半径为2的圆，又表示过点(x，y)和点A(－1，0)的直线的斜率，如图所示，在Rt△ADM中，|AM|＝4，|DM|＝r＝2，|AD|＝＝2，故kAD＝tan∠DAM＝，同理可得kAE＝－，所以的取值范围为. 二、多项选择题 6．已知一个以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　) A．直线x＝0与圆相切 B．圆关于直线y＝－2x对称 C．∀a∈R，直线ax－y－2a－1＝0与圆都相交 D．P(x，y)为圆上任意一点，则的最大值为9 答案：BCD 解析：对于A，因为圆心C(2，－4)到直线x＝0的距离为2，小于半径4，所以直线x＝0与圆相交，A错误；对于B，因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；对于C，直线ax－y－2a－1＝0，即a(x－2)－y－1＝0，则直线经过定点(2，－1)，而该点在圆(x－2)2＋(y＋4)2＝16内，所以∀a∈R，直线ax－y－2a－1＝0与圆都相交，C正确；对于D，依题意，P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋4)2＝16上，而可理解为圆上的点P(x，y)与点A(－1，0)的距离d，由图知dmax＝|CA|＋r＝＋4＝9，D正确．故选BCD. 7．若圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0与圆C2：x2＋y2－x－y－1＝0的交点为P，Q，则(　　) A．公共弦PQ所在直线方程为x＋y－1＝0 B．线段PQ的中垂线方程为x－y＋1＝0 C．过点(0，3)的圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0的切线方程为y＝x＋2 D．若实数x，y满足圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0，则y－x的最大值为2 答案：AD 解析：易知圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0的圆心为C1(1，1)，半径为r1＝；圆C2：x2＋y2－x－y－1＝0的圆心为C2，半径为r2＝.对于A，|C1C2|＝＝，r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，两圆相交，所以两圆方程相减可得公共弦PQ所在直线方程为x＋y－1＝0，所以A正确；对于B，由圆的性质可知，线段PQ的中垂线即为直线C1C2，其方程为y－1＝(x－1)，化简可得x－y＝0，所以B错误；对于C，易知点(0，3)在圆C1：x2＋y2－2x－2y＝0外，当切线斜率不存在时，直线方程为x＝0，不符合题意，当切线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋3，因此圆心C1(1，1)到直线y＝kx＋3的距离为d＝＝，解得k＝2±，所以切线方程为y＝(2±)x＋3，所以C错误；对于D，令y－x＝t，代入圆C1的方程，整理可得2x2＋2(t－2)x＋t2－2t＝0，该方程有解，故Δ＝4(t－2)2－8(t2－2t)≥0，解得－2≤t≤2，即y－x的最大值为2，所以D正确．故选AD. 三、填空题 8．圆C：(x－1)2＋y2＝1关于点A(2，2)对称的圆的标准方程为________． 答案：(x－3)2＋(y－4)2＝1 解析：由题设可得圆C的圆心为C(1，0)，故圆心C关于点A的对称点的坐标为(3，4)，故圆C关于点A对称的圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1. 9．若圆C1：(x－1)2＋(y＋)2＝1与圆C2：(x－a)2＋y2＝1没有公共点，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：由圆C1：(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心C1(1，－)，半径为1，由圆C2：(x－a)2＋y2＝1，得圆心C2(a，0)，半径为1，若两个圆有公共点，则1－1≤≤1＋1，解得0≤a≤2，若两个圆没有公共点，则实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 10．已知点M，N在圆x2＋y2－2y－3＝0上，点P在直线x－y－3＝0上，Q为MN的中点，若|MN|＝2，则|PQ|的最小值为________． 答案：1 解析：由题设，圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝4，圆心为C(0，1)，半径为2，由垂径定理知，|CQ|＝＝1，即Q在以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上，C(0，1)到x－y－3＝0的距离为d＝＝2，故|PQ|的最小值为2－1＝1. 四、解答题 11．(1)求圆心在y轴上，并且过原点和(－，3)的圆C的方程； (2)求圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2关于直线l：x＋y－1＝0对称的圆的方程． 解：(1)设圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由已知，得 解得 ∴圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4. (2)设圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的圆心C(－1，－1)关于直线l对称的点为(m，n)，则 解得m＝n＝2，即所求圆的圆心为(2，2)， 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2. 12．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－12＝0关于直线x＋y－2＝0对称，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若动点M在直线x＝10上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B.求证直线AB恒过定点，并求|AB|的最小值． 解：(1)∵圆C的圆心坐标为， 半径r＝， ∴由圆心在x轴上，圆C关于直线x＋y－2＝0对称，得E＝0，－－－2＝0， ∴E＝0，D＝－4， ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝16. (2)设点M(10，m)， ∵M，B，C，A四点共圆，即点A，B在以MC为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为， ∴以MC为直径的圆的方程为(x－6)2＋＝， 即x2－12x＋y2－my＋20＝0， ∵AB是圆C与以MC为直径的圆的公共弦， ∴直线AB的方程为两圆公共弦的方程，两圆方程相减， 得直线AB的方程为8x＋my－32＝0， ∵当y＝0时，x＝4， ∴直线AB恒过定点(4，0)， 设定点为P，当PC⊥AB时，|AB|最小，|AB|min＝2＝4. 13．已知点M(4，11)，直线l1：x＋my－3m＋4＝0与直线l2：mx－y－2m－5＝0交于点P，则|PM|的取值范围是(　　) A．[10，18] B．[13，18] C．[8，18] D．[8，13] 答案：C 解析：由题意可知，当m＝0时，直线l1与l2互相垂直，当m≠0时，－×m＝－1，直线l1与l2互相垂直，且直线l1经过定点A(－4，3)，直线l2经过定点B(2，－5)，所以·＝0.设P(x，y)，则(－4－x)(2－x)＋(3－y)(－5－y)＝0，整理，得x2＋y2＋2x＋2y－23＝0，则点P在以点(－1，－1)为圆心，5为半径的圆(除去点(2，3))上，所以|PM|的最大值为＋5＝13＋5＝18，最小值为－5＝13－5＝8.故|PM|的取值范围是[8，18]． 14．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，M为直线l：3x＋4y＋25＝0上的动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形OEMF(O为原点)的面积最小时，求直线EF的方程． 解：由题意可知，圆心到直线l的距离为＝5>2， 则直线l与圆相离，若四边形OEMF的面积最小，即△OEM的面积最小， 因为|OE|＝2，则|EM|最小， 即|OM|最小． 所以由O向直线l作垂线，垂足为M， 所以直线OM：4x－3y＝0， 联立得 所以M(－3，－4)， 由题意可得，四边形OEMF的外接圆方程为x(x＋3)＋y(y＋4)＝0， 即x2＋y2＋3x＋4y＝0. 所求的直线EF即为两圆的相交弦所在的直线， 将x2＋y2＋3x＋4y＝0与x2＋y2＝4两圆方程作差，得3x＋4y＋4＝0， 则直线EF的方程为3x＋4y＋4＝0. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$