2.5.2 椭圆的几何性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．5.2　椭圆的几何性质 知识点一　椭圆的几何性质 1．椭圆25x2＋9y2＝1的范围为(　　) A．|x|≤5，|y|≤3 B．|x|≤，|y|≤ C．|x|≤3，|y|≤5 D．|x|≤，|y|≤ 答案：B 解析：椭圆方程可化为＋＝1，所以a＝，b＝，所以|x|≤，|y|≤.故选B. 2．下列关于曲线4x2＝12－3y2对称性的叙述中不正确的是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：D 解析：曲线方程4x2＝12－3y2可化为＋＝1，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线关于x轴、y轴、原点对称．将曲线方程中的x换成y，y换成x，得＋＝1，与原曲线方程不同，故该曲线不关于直线y＝x对称．故选D. 3．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 答案：D 解析：椭圆C：16x2＋4y2＝1化为标准形式为＋＝1，可得a＝，b＝，则c＝＝，故长轴长为2a＝1，短轴长为2b＝，焦距为2c＝，离心率为e＝＝＝.故选D. 知识点二　由椭圆的几何性质求方程 4．已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：A 解析：直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点坐标为(1，0)，(0，2)，由题意，得c＝1，b＝2，所以a＝＝，所以椭圆的方程为＋＝1.故选A. 5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________． 答案：＋＝1 解析：由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝＝6，所以c＝3.所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 6．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为，且经过点(2，0)． 解：(1)由题意知a＝5，c＝3，所以b2＝25－9＝16，又焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)由题意可得e＝＝，设a＝2k，c＝k，k>0，则b＝k.又椭圆经过的点(2，0)为其顶点，故若点(2，0)为长轴顶点，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1； 若点(2，0)为短轴顶点，则b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋＝1. 知识点三　椭圆的离心率问题 7．椭圆C：＋＝1(a>b>0)满足a＝3b，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由a＝3b，知该椭圆的离心率e＝＝＝＝＝＝.故选A. 8．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>0)的长轴长为4，则其离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意，得2a＝4，b2＝4，所以a＝2，所以c＝＝＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选D. 一、单项选择题 1．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的焦距等于2，则椭圆的短轴长为(　　) A．2 B．4 C．2 D．2 答案：D 解析：因为椭圆的焦点在y轴上，所以m2<4，根据题意可得4－m2＝1，解得m＝±，所以椭圆的短轴长为2.故选D. 2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，则a2＝1，b2＝，所以a＝1，c＝＝，故离心率e＝＝. 3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．x2＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：A 解析：因为＝，且c＝，所以a＝，所以b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 4．椭圆＋＝1上的点P到点Q(1，0)的距离的最小值为(　　) A． B． C．2 D． 答案：B 解析：设点P的坐标为(m，n)，其中m∈[－3，3]，由＋＝1，可得n2＝5－，|PQ|＝＝＝＝，当m＝时，|PQ|取得最小值，|PQ|min＝.故选B. 5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△AF1B是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　) A． B．2－ C．－2 D．－ 答案：D 解析：如图，设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△AF1B是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m，由椭圆的定义可得△AF1B的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝2(2－)a，则|AF2|＝2a－m＝2(－1)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，∴c2＝(9－6)a2，则e2＝＝9－6，∴e＝－.故选D. 二、多项选择题 6．设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　) A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为 C．存在点P，使PF1⊥PF2 D．|PF1|的取值范围是[1，3] 答案：ABD 解析：由椭圆方程可知，a＝2，b＝，从而c＝＝1.根据椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，所以当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6，A正确；设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为|F1F2|＝2，则S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|.因为0<|y0|≤b＝，则△PF1F2面积的最大值为，B正确；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，C错误；当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|＝a＋c＝3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|＝a－c＝1，所以|PF1|的取值范围是[1，3]，D正确．故选ABD. 7．定义“相似椭圆”：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)，C2：＋＝1(a2>b2>0)为“相似椭圆”，且a1＝2a2，则(　　) A．b1＝2b2 B．两椭圆的长轴长之比为2∶1 C．两椭圆的短轴长之比为1∶2 D．两椭圆的焦距之比为2∶1 答案：ABD 解析：对于A，由题意可得e1＝e2，即＝，所以＝，所以＝，所以＝＝＝2，所以b1＝2b2，故A正确；对于B，两椭圆的长轴长之比为2a1∶2a2＝2∶1，故B正确；对于C，两椭圆的短轴长之比为2b1∶2b2＝2∶1，故C错误；对于D，两椭圆的焦距之比为2c1∶2c2＝2∶1，故D正确．故选ABD. 三、填空题 8．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________． 答案：＋y2＝1或＋x2＝1 解析：设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，则b＝1，a2＋b2＝()2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1. 9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________． 答案： 解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c，∴3a＝4c，∴e＝＝. 10．设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝.已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，则该椭圆的标准方程为________． 答案：＋y2＝1 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由＝，得a＝2b，|PM|2＝x2＋＝4b2－4y2＋y2－3y＋＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)，若－b＞－，即b<，则当y＝－b时，|PM|2最大，即＝7，则b＝－>，故舍去；若－b≤－≤b，即b≥，则当y＝－时，|PM|2最大，即4b2＋3＝7，b2＝1，从而a2＝4，则椭圆的标准方程为＋y2＝1. 四、解答题 11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率，求椭圆的方程． 解：∵点(1，e)和在椭圆上，且e＝， ∴ 由①得b2＝1，将b2＝1代入②，并整理， 得4a4－25a2＋25＝0，解得a2＝5或a2＝， ∴椭圆的方程为＋y2＝1或＋y2＝1. 12．已知椭圆E的中心为原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，所以b＝. 所以椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1.① ＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得·＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.② 由①②消去y0，整理得 t(2－x0)＝－x＋2x0－3. 因为x0≠2，所以t＝x0－. 因为－2＜x0＜2，所以－2＜t＜－1. 所以实数t的取值范围为(－2，－1)． 13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，则椭圆离心率的取值范围为________． 答案： 解析：在△F1PF2中，∠F1PF2＝，由余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，由于|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|.结合均值不等式，可得4a2－4c2＝3|PF1|·|PF2|≤3＝3a2(当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时等号成立)，即a2≤4c2，可得e≥，又e<1，所以椭圆离心率的取值范围为. 14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，上、下顶点之间的距离为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线BM与x轴交于点C，直线AM与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积． 解：(1)因为离心率为，上、下顶点之间的距离为2， 所以解得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)因为椭圆C的方程为＋y2＝1， 所以A(－2，0)，B(0，－1)， 设M(m，n)(m>0，n>0)， 则＋n2＝1，即m2＋4n2＝4. 直线BM的方程为y＝x－1， 令y＝0，得xC＝. 直线AM的方程为y＝(x＋2)， 令x＝0，得yD＝. 所以S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝·＝× ＝× ＝×＝2， 所以四边形ABCD的面积为2. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$