2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 知识点一　两条直线的相交、平行与重合 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1∥l2，则(　　) A．A1B2＝A2B1 B．A1A2＋B1B2＝0 C．A1B2＝A2B1，A1C2≠A2C1 D．A1B2＝A2B1，C1≠C2 答案：C 解析：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0可化为A1A2x＋B1A2y＋C1A2＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0可化为A1A2x＋A1B2y＋A1C2＝0，因为l1∥l2，所以A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1. 2．已知过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，则a＝(　　) A．－7 B．－3 C．－2 D．2 答案：D 解析：因为过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，所以直线AB的斜率为kAB＝＝2，解得a＝2.故选D. 3．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a＝________． 答案：3 解析：由直线l1与l2平行，得2×3－a(a－1)＝0，且a×1－2×(－1)≠0，解得a＝3. 4．经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程为________． 答案：2x－y＝0 解析：解法一：解方程组得∴直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l经过原点，∴直线l的方程为＝，即2x－y＝0. 解法二：设直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，∵直线l过原点(0，0)，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线l的方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0. 5．已知直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，则p＝________，q＝________． 答案：－6　－4 解析：因为直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，所以有＝＝，解得p＝－6，q＝－4. 6．直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围． 解：由方程组解得 ∴两条直线的交点坐标为. ∵交点在第四象限， ∴解得－<m<2. 故m的取值范围是. 知识点二　过定点的直线系 7．不论m取何值，直线(2＋m)x－(1＋2m)y＋(1＋5m)＝0恒过定点________． 答案：(1，3) 解析：原方程变形为(2x－y＋1)＋m(x－2y＋5)＝0，由得∴无论m取何值，该直线恒过定点(1，3)． 8．已知直线l1的方程为(a＋4)x－ay＋2＝0，直线l2经过点A，若当a变化时，l1总过定点C，求|AC|. 解：直线l1的方程为(a＋4)x－ay＋2＝0可以改写为a(x－y)＋4x＋2＝0， 由解得x＝y＝－， 所以l1总过定点C， 根据两点间的距离公式，得 |AC|＝＝. 一、单项选择题 1．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．以上都不对 答案：C 解析：联立两条直线的方程，得解得x＝.∵两直线的交点在y轴上，∴＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意)．故选C. 2．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案：B 解析：平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋C＝0，故排除A，D.选项C中直线在x轴、y轴上的截距均为正，直线过第一象限，不符合条件，排除C.故选B. 3．直线ax－2y－1＝0与直线2y－3x＋b＝0平行，则直线y＝ax＋b与直线y＝3x＋1的位置关系是(　　) A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 答案：B 解析：因为直线ax－2y－1＝0和直线2y－3x＋b＝0平行，所以a＝3，b≠1，故直线y＝ax＋b即y＝3x＋b(b≠1)，与直线y＝3x＋1平行．故选B. 4．已知两点A(1，3)，B(4，2)，直线l：kx＋y－3k－1＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 答案：B 解析：如图所示，直线l：kx＋y－3k－1＝0即k(x－3)＋y－1＝0，恒过C(3，1)，而kAC＝＝－1，kBC＝＝1，因为直线l与线段AB相交，结合图形，得k的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B. 5．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，则直线l的方程为(　　) A．y－x＋7＝0 B．3x－y－7＝0 C．3x＋y＋1＝0 D．3x＋y－1＝0 答案：C 解析：设l与l1的交点坐标为A(a，y1)，l与l2的交点坐标为B(b，y2)，∴y1＝－4a－3，y2＝－1，由中点坐标公式，得即解得 则A(－2，5)，B(0，－1)，故直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0. 二、多项选择题 6．下列说法正确的是(　　) A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 B．若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行 答案：BC 解析：若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以A不正确；若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在，所以B正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，所以C正确；若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以D不正确．故选BC. 7．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　) A．l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8)，且l1不经过点A B．l1经过点C(3，3)，D(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过点C C．l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5) D．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6) 答案：ABC 解析：由斜率公式，对于A，直线l2的斜率也为2，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于B，直线l1的斜率也为0，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于C，两条直线的斜率均为，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于D，直线l1的斜率为tan135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，所以直线l1与l2平行或重合．故选ABC. 三、填空题 8．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________． 答案：x－2y－1＝0 解析：过点(1，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0. 9．过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于直线l3：x＋2y－5＝0的直线的方程为______________． 答案：8x＋16y＋21＝0 解析：由得交点坐标为.又直线l3的斜率为－，所以所求直线的方程为y＋＝－，即8x＋16y＋21＝0. 10．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第________象限． 答案：四 解析：直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，由解得因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限． 四、解答题 11．已知直线l1：mx＋3y＋m＋3＝0，直线l2：x＋(m－2)y＋2＝0，求：当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：相交、平行、重合． 解：当m＝2时，l1：2x＋3y＋5＝0，l2：x＋2＝0，l1与l2相交； 当m≠2时，两直线的斜截式方程为l1：y＝－x－，l2：y＝－x－. ①当－≠－，即m≠3，m≠－1且m≠2时，两直线相交； ②当－＝－，且－≠－， 即m＝－1时，两直线平行； ③当－＝－，且－＝－， 即m＝3时，两直线重合． 综上，当m≠3，m≠－1时，两直线相交； 当m＝－1时，两直线平行； 当m＝3时，两直线重合． 12．已知在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，M是边AB的中点，CM与BD交于点P. (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 解：(1)设点C的坐标为(x，y)． 因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等， 则解得即C(10，6)． 又M是边AB的中点，所以M(4，1)， 所以直线CM的方程为＝， 即5x－6y－14＝0. (2)因为B(7，1)，D(4，6)， 所以直线BD的方程为＝， 即5x＋3y－38＝0. 由得 即点P的坐标为. 13．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线y＝kx＋2025(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况，下列说法正确的是(　　) A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使是方程组的一组解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 答案：B 解析：∵直线y＝kx＋2025的斜率存在，∴x1≠x2，由题意，得则x1y2－x2y1＝x1(kx2＋2025)－x2(ky1＋2025)＝2025(x1－x2)≠0，故l1：x1x＋y1y＝1与l2：x2x＋y2y＝1相交，∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则则点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x＋2y＝1，即y＝－x＋上，但已知这两个点在直线y＝kx＋2025上，而这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误．故选B. 14．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0. (1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值； (2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值． 解：(1)因为直线l1，l2，l3交于一点，所以l1与l2不平行，所以m≠4. 联立解得 所以l1与l2的交点为， 将该点代入直线l3的方程有2·－3m·－4＝0， 整理得3m2＋m－2＝0，解得m＝或－1. (2)因为l1，l2，l3不能围成三角形， ①当l1，l2，l3交于一点时， 由(1)知m＝或－1. ②当l1∥l2时，4－m＝0，解得m＝4. ③当l1∥l3时，－12m－2＝0，解得m＝－. ④当l2∥l3时，－3m2－2＝0，无解． 综上，实数m的值为－1，－，，4. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$