第一章 体验真题 感悟高考-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

1．(新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.

(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；

(2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD.

解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，

所以PA⊥AD，

又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，

所以AD⊥平面PAB，

又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.

因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，

根据平面知识可知AD∥BC，

又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD∥平面PBC.

(2)解法一：如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF，

因为PA⊥底面ABCD，

所以平面PAC⊥底面ABCD，

又平面PAC∩底面ABCD＝AC，

所以DE⊥平面PAC，所以DE⊥CP，

又EF⊥CP，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以CP⊥平面DEF，

根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角，

即sin∠DFE＝，所以tan∠DFE＝.

因为AD⊥DC，设AD＝x，则DC＝，

由等面积法可得，DE＝，

又CE＝＝，

△EFC为等腰直角三角形，

所以EF＝，

故tan∠DFE＝＝，

解得x＝，即AD＝.

解法二：由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，设A(a，0，0)，a>0，则CD＝，C(0，，0)，P(a，0，2)，＝(0，－，0)，＝(－a，，0)，＝(a，－，2)．

设平面CPD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

可取n＝(2，0，－a)．

设平面ACP的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则即

可取m＝(，a，0)．

因为二面角A－CP－D的正弦值为，

所以二面角A－CP－D的余弦值的绝对值为，

故|cos〈m，n〉|＝＝＝，

又a>0，所以a＝，即AD＝.

2．(新课标Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝，将△AEF沿EF对折至△PEF，使得PC＝4.

(1)证明：EF⊥PD；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

解：(1)证明：由AB＝8，AD＝5，

＝，＝，

得AE＝2，AF＝4，