1.2.4 二面角-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2.4　二面角 知识点一　二面角及其度量 1．下列说法正确的是(　　) A．两个相交平面所成角的大小的范围是(0，π) B．二面角的大小的范围是[0，π] C．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角 D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的补角 答案：B 解析：两个相交平面所成角的大小不大于，A错误；二面角的大小的范围是[0，π]，B正确；两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角或补角，C错误；二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角或补角，D错误．故选B. 2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，将△ABD沿AD翻折后，BC＝a，此时二面角B－AD－C的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C 解析：由题意可得∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．∵在△BCD中，BC＝BD＝CD＝a，∴△BCD为正三角形，∴∠BDC＝60°.故选C. 3．正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则二面角P－AB－C的正切值是________． 答案：2 解析：作PO⊥底面ABC，交底面ABC于点O，连接BO并延长交AC于点D，取AB的中点E，连接PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P－AB－C的平面角，∵正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO＝2，∠PBO＝45°，∠POB＝90°，∴BO＝CO＝2，EO＝1，∴二面角P－AB－C的正切值为tan∠PEO＝＝2. 4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值． 解：如图，设BE＝y，由已知可得， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2， 即12＋y2＝(12＋12)＋[12＋(y－1)2]，解得y＝， ∴S△ADE＝××＝，S△ABC＝×1×1×＝.设截面ADE与底面ABC所成角的大小为θ， 则cosθ＝＝， ∴截面ADE与底面ABC所成角的余弦值为. 知识点二　用空间向量求二面角的大小 5．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　) A. B. C.或 D.或 答案：C 解析：二面角的大小的范围是[0，π]，并且二面角的大小与两个半平面的法向量的夹角相等或互补．故选C. 6．在一个二面角的两个面内与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．以上都不对 答案：D 解析：∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.故选D. 7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，∠EBD＝60°，则二面角F－BE－D的余弦值为________． 答案： 解析：∵DA，DC，DE两两垂直，∴可建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．∵∠EBD＝60°，∴＝，由AD＝3，知BD＝3，DE＝3，AF＝.则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，∴＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则n＝(4，2，)为平面BEF的一个法向量．连接AC，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE，∴平面BDE的一个法向量为＝(3，－3，0)，∴cos〈n，〉＝＝＝.由图可知二面角F－BE－D为锐角，∴二面角F－BE－D的余弦值为. 8．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝，求平面ASD与平面BSC所成角的大小． 解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，连接BD，易知BD＝，SD＝1， ∴D(0，0，0)，S(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)， ∴＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，0)． 设n＝(x，y，z)为平面BSC的一个法向量， 则即 令y＝1，则z＝1，x＝0，∴n＝(0，1，1)． 又＝(0，1，0)为平面ASD的一个法向量， ∴cos〈，n〉＝＝＝. 设平面ASD与平面BSC所成的角为θ， ∴cosθ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝45°， 即平面ASD与平面BSC所成角的大小为45°. 一、单项选择题 1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A－BD－P的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 答案：A 解析：如图，过A作AE⊥BD于点E，连接PE，则∠PEA就是二面角A－BD－P的平面角，AE＝＝＝，在Rt△PAE中，tan∠PEA＝＝＝，所以∠PEA＝30°.故选A. 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a，0)，B(a，0，0)，D1(0，a，a)，B1(a，0，a)，∴＝(0，a，0)，＝(－a，a，a)，＝(0，0，a)，设平面ABD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(1，0，1)，同理，平面B1BD1的一个法向量为m＝(1，1，0)，cos〈n，m〉＝＝＝，而二面角A－BD1－B1为钝角，故其大小为120°.故选C. 3．如图所示，已知P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图所示，设AC∩BD＝O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以B，F，C，D，＝，＝，结合图形可知，＝为平面BFD的一个法向量，设平面BCF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，，)，所以cos〈n，〉＝＝＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.因为二面角C－BF－D为锐角，所以二面角C－BF－D的正切值为.故选D. 4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，D是棱AB的中点，则平面ABC与平面B1CD所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D．1 答案：C 解析：如图，以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，令AC＝2，则C(0，0，0)，D(1，1，0)，B1(0，2，2)，设平面B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，则令x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1，1)，又平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，∴cos〈n，m〉＝＝＝，设平面ABC与平面B1CD所成的角为θ，则cosθ＝，∴平面ABC与平面B1CD所成角的正弦值为sinθ＝＝.故选C. 5．如图，已知边长为2的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，将此三角形沿DE折成二面角A1－DE－B，点A1不在平面BCED内，设二面角A1－DE－B的大小为θ，则当异面直线A1E与BD所成的角为60°时，cosθ的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：∵△ABC为正三角形，AF为中线，∴AF⊥BC.∵DE为中位线，∴BC∥DE，∴AF⊥DE，即DE⊥AG，且DE⊥GF.∵沿着DE翻折，∴A1G⊥DE，∴∠A1GF是二面角A1－DE－B的平面角，即∠A1GF＝θ.∵正三角形ABC的边长为2，∴AE＝BD＝1，A1G＝GF＝AF＝，连接EF(图略)，∵AE＝EC＝1，BF＝FC＝1，∴EF∥BD，EF＝BD＝1，∵异面直线A1E与BD所成的角为60°，∴∠A1EF＝60°，∴△A1EF是边长为1的正三角形，∴A1F＝1，∴cosθ＝＝＝.故选D. 二、多项选择题 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，C1D的中点，则(　　) A．直线MN与A1C所成角的余弦值为 B．平面BMN与平面BC1D1所成角的余弦值为 C．在BC1上存在点Q，使得B1Q⊥BD1 D．在B1D上存在点P，使得PA∥平面BMN 答案：BC 解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，M，N.对于A，＝，＝(－1，1，－1)，直线MN与A1C所成角的余弦值为|cos〈，〉|＝＝＝，故A错误；对于B，＝，＝，设平面BMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，可得y＝0，z＝2，所以n＝(1，0，2)，＝(0，－1，0)，＝(－1，0，1)，设平面BC1D1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则取x1＝1，可得y1＝0，z1＝1，所以m＝(1，0，1)，所以平面BMN与平面BC1D1所成角的余弦值为|cos〈m，n〉|＝＝＝，故B正确；对于C，因为点Q在BC1上，所以设Q(x0，1，z0)，＝λ，0≤λ≤1，则＝(x0，0，z0－1)，＝(1，0，－1)，所以x0＝λ，z0＝－λ＋1，所以Q(λ，1，－λ＋1)，＝(λ－1，0，－λ)，＝(－1，－1，1)，因为B1Q⊥BD1，所以·＝1－λ－λ＝0，解得λ＝，故BC1上存在点Q，使得B1Q⊥BD1，故C正确；对于D，因为MN∥DC∥AB，所以N，M，B，A四点共面，所以A∈平面BMN，所以B1D上不存在点P，使得PA∥平面BMN，故D错误．故选BC. 7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则(　　) A．PA⊥BD B．PB与平面ABCD所成的角为 C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为 D．平面PAB与平面ABCD所成角的大小为45° 答案：AC 解析：设AD＝a，因为∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD＝2a，由余弦定理可得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos＝3a2, 即BD＝a，从而BD2＋AD2＝AB2，即BD⊥AD，由PD⊥底面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，a)，故＝(a，0，－a)，＝(0，－a，0)，＝(0，a，－a)，＝(－a，a，0)，＝(－a，a，－a)，所以·＝a×0＋0×(－a)＋(－a)×0＝0，所以⊥，即PA⊥BD，故A正确；设PB与平面ABCD所成的角为θ，易知平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，则sinθ＝|cos〈，m〉|＝＝＝，即PB与平面ABCD所成的角为，故B错误；cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为，故C正确；设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则x＝，z＝，所以n＝(，1，)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，所以平面PAB与平面ABCD所成角的大小不是45°，故D错误．故选AC. 三、填空题 8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成角的大小为________． 答案：60° 解析：设正四棱锥如图所示，AC∩BD＝O，四边形ABCD为正方形，OE⊥平面ABCD，F为AB的中点，EF⊥AB，OF⊥AB，所以∠EFO即为侧面与底面所成的角，因为正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以△ABE的面积是△ABO面积的2倍，因为△ABE和△ABO同底，所以EF＝2FO，所以∠EFO＝60°，所以侧面与底面所成角的大小为60°. 9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝AA1＝2BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1－DC－C1的大小为30°，则AD的长为________． 答案： 解析：如图，以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，∴＝(0，1，2)，＝(0，1，0)．设AD＝a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2，0，a)，＝(2，0，a)．设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即令z＝－1，得m＝.又平面C1DC的一个法向量为＝(0，1，0)，则由cos30°＝＝＝，解得a＝(负值舍去)，故AD＝. 10．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成角的正弦值为________． 答案： 解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，∴＝(－1，0，1)，＝.设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 取y＝1，则n＝(2，1，2)为平面AEFD1的一个法向量．又平面ABCD的一个法向量为u＝(0，0，1)，∴cos〈n，u〉＝＝＝，∴sin〈n，u〉＝，即截面AEFD1与底面ABCD所成角的正弦值为. 四、解答题 11．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD. (1)求异面直线BF与DE所成角的大小； (2)证明：平面AMD⊥平面CDE； (3)求二面角A－CD－E的余弦值． 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Axyz. 设AB＝1，依题意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，M. ＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)， 于是cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°. (2)证明：由＝，＝(－1，0，1)，＝(0，2，0)，可得·＝0，·＝0. 因此CE⊥AM，CE⊥AD. 又AD∩AM＝A，AD，AM⊂平面AMD， 故CE⊥平面AMD. 又CE⊂平面CDE， 所以平面AMD⊥平面CDE. (3)设平面CDE的一个法向量为u＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，可得u＝(1，1，1)． 又由题意，得平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)， 所以cos〈u，v〉＝＝＝. 因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为. 12．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点，P是上的一点，且AP⊥BE. (1)求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小． 解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP， 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP，则∠EBP＝90°， 又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°. (2)以B为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，，3)，C(－1，，0)， 故＝(2，0，－3)，＝(1，，0)，＝(2，0，3)． 设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量， 则即 取z1＝2， 可得平面AEG的一个法向量为m＝(3，－，2)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量， 则即 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量为n＝(3，－，－2)． 所以cos〈m，n〉＝＝＝. 又二面角E－AG－C为锐角，因此其大小为60°. 13．在空间中，经过点P(x0，y0，z0)，法向量为e＝(A，B，C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x，y，z)满足的关系)是A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.如果给出平面α的方程是x－y＋z＝1，平面β的方程是－－＝1，则这两平面所成角的正弦值是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为平面α的方程是x－y＋z＝1，所以平面α的一个法向量为m＝(1，－1，1)，因为平面β的方程是－－＝1，所以平面β的一个法向量为n＝(1，－2，－1)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，所以sin〈m，n〉＝＝，即这两平面所成角的正弦值是.故选A. 14．在平面四边形ACPE中(如图1)，D为AC的中点，AD＝DC＝PD＝2，AE＝1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起，使二面角A－PD－C为直二面角，得到立体图形(如图2)．已知B为平面ADC内一点，并且四边形ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点． (1)求证：平面FGH∥平面ADPE； (2)在线段PC上是否存在一点M，使得平面FGM与平面PEB所成角的余弦值为？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点， ∴FH，FG分别为△PBC，△PBE的中位线， ∴FH∥BC，FG∥PE， ∵PE⊂平面ADPE，FG⊄平面ADPE， ∴FG∥平面ADPE. 在正方形ABCD中，∵BC∥AD，∴FH∥AD， ∵AD⊂平面ADPE，FH⊄平面ADPE， ∴FH∥平面ADPE. 又FH∩FG＝F，FH，FG⊂平面FGH， ∴平面FGH∥平面ADPE. (2)由条件，知DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，2)，E(2，0，1)，B(2，2，0)，F(1，1，1)，G， 则＝(2，0，－1)，＝(2，2，－2)． 设平面PEB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，1，2)． 设M(0，m，2－m)，m∈[0，2]，则＝，＝(－1，m－1，1－m)． 当m＝1，即M为线段PC的中点时，平面FGM的一个法向量为m1＝(0，1，0)． ∵＝＝≠， ∴m＝1不符合题意． 当m≠1时，设平面FGM的一个法向量为m2＝(a，b，c)， 则 取a＝1，得m2＝， 由平面FGM与平面PEB所成角的余弦值为，得 ＝＝， 令t＝，解得t＝0或， 令＝0，解得m＝； 令＝，解得m＝3(舍去)． ∴在线段PC上存在一点M，使得平面FGM与平面PEB所成角的余弦值为，此时PM＝. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$