1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及其应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　空间直角坐标系及其应用 知识点一　确定空间中点的坐标 1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　) A．y轴上 B．xOy平面上 C．zOx平面上 D．yOz平面上 答案：C 解析：因为点(2，0，3)的纵坐标为0，所以点(2，0，3)在zOx平面上．故选C. 2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，且正方体的棱长为1.请建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点及E，F，G的坐标． 解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E，F，G. 知识点二　空间中点的对称 3．点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________． 答案：(1，2，1)，(1，－2，1) 解析：如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交该坐标平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1，2，1)．过A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2，1)．所以点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy的对称点C的坐标为(1，2，1)，点A(1，2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2，1)． 4．已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 答案：(2，－3，1) 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，－3，1)．知识点三　空间向量的坐标及其应用 5．已知O(0，0，0)，N(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若＝，则点B的坐标为(　　) A．(－1，3，－3) B．(9，1，1) C．(1，－3，3) D．(－9，－1，－1) 答案：B 解析：设B(x，y，z)，由＝，得(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，∴可得∴点B的坐标为(9，1，1)．故选B. 6．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)四点共面，则x的值为(　　) A．4 B．1 C．10 D．11 答案：D 解析：＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)．∵A，B，C，D四点共面，∴，，共面，∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴解得故选D. 7．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，则向量b在向量a上的投影c＝________． 答案：(2，0，2) 解析：因为向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，则|a|＝，|b|＝3，a·b＝4，所以向量b在向量a上的投影c＝|b|cos〈a，b〉＝|b|··＝3×××(1，0，1)＝(2，0，2)． 8．已知λ，μ为实数，A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，求λ＋μ. 解：因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，A，B，C三点共线，所以∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0. 一、单项选择题 1．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题图，得A(0，0，0)，B1(1，0，1)．正方形AA1B1B的对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，得对角线的交点坐标为.故选B. 2．在平行四边形ABCD中，A(1，－1，－3)，B(2，2，4)，C(0，3，6)，则点D的坐标为(　　) A．(－1，3，3) B．(1，0，－1) C．(3，－1，2) D．(－1，0，－1) 答案：D 解析：设D(x，y，z)，因为A(1，－1，－3)，B(2，2，4)，C(0，3，6)，所以＝(1，3，7)，＝(－x，3－y，6－z)，又四边形ABCD是平行四边形，所以＝，即解得所以D(－1，0，－1)． 3．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则线段AB的中点M与点C间的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：∵线段AB的中点M，C(0，1，0)，∴＝，∴CM＝||＝＝. 4．若△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) A．5 B． C．4 D．2 答案：A 解析：设＝λ，∵＝(0，4，－3)，∴＝(0，4λ，－3λ)．又＝(－4，5，0)，∴＝＋＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝＝5.故选A. 5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为3，CA＝CB＝4，∠ACB＝，点D，E分别在AA1，B1C1上，F为AB的中点，若CD⊥FE，则线段AD的长度为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)．由CA＝CB＝4，可得F(2，2，0)．设E(0，b，3)，D(4，0，c)，则＝(4，0，c)，＝(－2，b－2，3)．∵CD⊥FE，∴·＝0，即－8＋3c＝0，解得c＝，∴AD＝.故选B. 二、多项选择题 6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于平面CDD1C1对称的点为(－4，0，0) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案：ACD 解析：由题图及已知可得，点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点为(8，5，－3)，点A(4，0，0)关于平面CDD1C1对称的点为(－4，0，0)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)．故选ACD. 7．如图，正方体ABCD－EFGH的棱长为2，K为正方形ABCD的中心，M，N分别为棱BF，EF的中点．下列结论正确的是(　　) A．＝－＋ B．||＝3 C．△KMN为直角三角形 D．△KMN的面积为10 答案：AC 解析：以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(2，0，2)，C(2，2，2)，D(0，2，2)，E(0，0，0)，F(2，0，0)，K(1，1，2)，M(2，0，1)，N(1，0，0)．对于A，＝(2，0，0)，＝(0，2，0)，＝(0，0，－2)，＝(1，－1，－1)，－＋＝(1，－1，－1)，即＝－＋，故A正确；对于B，||＝＝，故B错误；对于C，＝(－1，0，－1)，则·＝－1＋0＋1＝0，所以KM⊥MN，故△KMN为直角三角形，故C正确；对于D，因为||＝，||＝＝，所以△KMN的面积为S＝||·||＝，故D错误．故选AC. 三、填空题 8．如图，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，1)，则的坐标是________． 答案：(－4，3，1) 解析：因为＝(4，3，1)，D为原点，所以B1(4，3，1)，又因为ABCD－A1B1C1D1为长方体，所以A(4，0，0)，C1(0，3，1)，所以＝(－4，3，1)． 9．已知空间中的点A(－1，1，2)，B(－3，0，4)，若|c|＝3，c∥，则c＝________． 答案：(－2，－1，2)或(2，1，－2) 解析：∵＝(－2，－1，2)，且c∥，∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，∴|c|＝ ＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． 10．已知空间三点A(2，3，－1)，B(2，6，2)，C(1，4，－1)，则与的夹角θ的大小是________． 答案：120° 解析：因为＝(0，3，3)，＝(1，－1，0)，所以cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°. 四、解答题 11．已知空间三点A(－2，0，1)，B(－1，1，1)，C(－3，0，3)，设a＝，b＝. (1)若向量a＋kb与ka－2b互相垂直，求k的值； (2)求向量a在向量b上的投影c. 解：(1)由已知得a＝＝(－1，1，1)－(－2，0，1)＝(1，1，0)，b＝＝(－3，0，3)－(－2，0，1)＝(－1，0，2)， 所以a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)， ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)． 因为向量a＋kb与ka－2b互相垂直， 所以(1－k，1，2k)·(k＋2，k，－4)＝(1－k)(k＋2)＋k－8k＝0， 即k2＋8k－2＝0， 解得k＝－4＋3或k＝－4－3. (2)因为|a|＝，|b|＝，a·b＝－1， 所以cos〈a，b〉＝＝－，＝(－1，0，2)＝， 所以向量a在向量b上的投影c＝|a|cos〈a，b〉·＝. 12．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求证：⊥； (2)求cos〈，〉． 解：(1)证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G. 易得＝，＝(－1，0，－1)， 则·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， 所以⊥. (2)由(1)知＝， 则||＝. 又||＝，且·＝×0＋×＋×(－1)＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 13．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是(　　) A．[0，5] B．[1，5] C．(1，5) D．(0，5) 答案：B 解析：||＝＝，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤||≤5.故选B. 14．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k为单位向量，i，j，k的方向分别与“空间斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)的正方向相同，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]． (1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； (2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，建立如图所示的“空间斜60°坐标系”．若＝[2，t，0]，且⊥，求||. 解：(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k， 所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k，所以a＋b＝[0，3，5]． (2)设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量， 则＝2i，＝2j，＝3k， ＝＋＋＝2i＋2j＋3k， 因为＝[2，t，0]，所以＝2i＋tj， 由⊥知·＝(2i＋tj)·(2i＋2j＋3k)＝0 ⇒4i2＋2tj2＋(4＋2t)i·j＋6k·i＋3tk·j＝0⇒4＋2t＋(4＋2t)×＋3＋＝0⇒t＝－2， 则||＝|2i－2j|＝ ＝＝＝2. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$