1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学选择性必修第一册作业与测评 色学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时 空间向量的坐标及运算 知识对点练 知识点一空间中向量的坐标 1.已知{e1,e,e}是单位正交基底，p=一e1十2e,则向量p的坐标为 答案：(-1,0,2) 解析：p=一e1十2e=一e1十0e2十2e,故向量p的坐标为（一1,0,2）： 2.已知向量{a,b,c是空间向量的一组基底，向量{a十b,a一b,c}是空闻间向量的另一组基 底，若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为1，一2,3)，求向量p在基底{a+b,a一b,c}下 的坐标。 解：设p在基底{a十b,a-b,c}下的坐标为(x,y,2),则p=x(a+b)十y(a-b)十zc=c十) a+(r-yb+zc=a-2b+3c,所以x十y=1,x-y=-2,z=3, 解得x=-1232z=3,故向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为avs4 alcol(-f132), 3. 知识点二空间向量的运算与坐标的关系 3.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b=() A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3) 答案：A 解析：由于a-(a-b)=b,故b=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).故选A 4.已知a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且ab=2,则实数x的值是() A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 解析：因为a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),所以ab=一3+2x-5=2,解得x=5.故选C 5.已知向量a=(2,一1，-2)，b=(0,一1,4)，则(a+b)(a-b)= ·独家授权侵权必究 数学选择性必修第一册作业与测评 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2xXK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 答案：一8 解析：(a+b)(a-b)=a-bb=(2,-1,-2)(2,-1,-2)-(0,-1,4)(0,-1,4)=9-17 =-8 6.已知向量a=(4,3,2),b=(1,一1,1)，则la-2b= 答案：29 解析：因为a=(4,3,2),b=(1,-1,1),所以a-2b=(4,3,2)-2(1,-1,1)=(2,5, 0),所以1a-2b=22+52=29. 知识点三空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 7.[多选]已知a=(+1,0,2),b=(6,2u-1,2),若alb,则x与的值可以是() A.2,12 B.-3,12 C.3,12 D.2,2 答案：AB 解析：因为a=(十1,0,2)，b=(6,2-1,20,ab,所以24-1=0，解得u=12,1十16 =221,解得1=2或1=-3，所以1与u的值可以是2,12或-3,12.故选AB 8.已知x,y∈R,向量a=(c,1,1),b=(1,,1),c=(1,-2,1),且a⊥c,blc,求a +b创 解：a=(x,1,1),b=1,y,1),c=(1,-2,1): ,a⊥c,.ac=x-2+1=0,解得x=1, 又bllc,y=-2, ∴.a+b=(x+1,1+y,1+1)=(2,-1,2), ∴.a+b=22+(-1)2+22=3 40分钟综合练 A级基础过关练 一、单项选择题 1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x=() A.0,3,-6 B.(0,6,-20 C.(0,6,-6 D.(6,6,-⑤ 2 独家授权侵权必究 数学选择性必修第一册作业与测评 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2xXK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 答案：B 解析：由b=12x-2a,得x=4a+2b.因为a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),所以x= 4a+2b=42,3,-4)+2(-4,-3,-2)=(0,6,-20). 2.若a=(2x,1,3),b=(1,一2y,9),如果a与b为共线向量，则() A.x=1,y=1 B.x=12,y=-12 C.x=16,y=-32 D.x=-16,y=32 答案：C 解析：因为a与b共线，所以2x1=1-2y=39,所以x=16,y=一32.故选C 3.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为() A.-2 B.2 C.3 D.-3 答案：A 解析：，b-c=(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a-(b-c)=(-2,x,2)(-2,3,1) =4十3x十2=0，∴x=-2.故选A 4.已知a=Q一t,1一t,0,b=(2,t,0,则a-b的最小值为() A.5)5 B.55)5 C.5)5 D.115 答案：C 解析：a-b=(1-k,1-4,t)-(2,t,0=(-1-t,1-2t,0),.a-b2=(-1-t02+(1 2)2=52-2+2=51avs4 alco1-y15)2+95.当t=15时，a-b2取得最小值95，.la-bl 的最小值为5)5，故选C 5.已知a=(1,1,1),b=(0,y,10≤y≤1)，则cos(a,b》的最大值为() A.3)3 B.2)3 C.3)2 D.603 答案：D 解析：cos(a,b)=a-blallb=y+1r3×ir0y2+1)=3)3×2y2十1)，当y=0时，cos(a,b》 =33:当0y≤1时，cos(a,b)=3)3×21以≤3)3×2=603，当且仅当y=1时取等号.综 ◆独家授权侵权必究 数学选择性必修第一册作业与测评 色学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 上，cos(a,b)的最大值为6)3 二、多项选择题 6.已知三个向量a=(3,2,-1),b=(-1,2,1),c=(4,1,2).若d=(x,y,2)满足(d-c) l(a+b),且d-c=1,则向量d=() A.\aws4alcol(4++\f(r(52r(55)+1,2 B.\aws4\alcol(4+\f(r(52\r(55)-1,2 C.\aws4alcol(4-\f(r(52r(55)+1,2 D.\aws4alcol(4-f(r(52\r(55)+1,2 答案：AD 解析：d-c=(x-4,y-1,0),a+b=(2,4,0),(d-c(a+b),∴x-42=y-14,即y-1 =2-4)①.又1d-c=1,'.(x-4)2+(y-1)2+0=1②.把①代入②，得5x-4)2 1,∴x=4牡55，x=4+ft0r(552r(55)+1或x=4-yfr552r(55)+1.∴.d=avs4acol(4+1 f0r(52r(55)+1,2或d=avs4acol(4-f0r(52r(55)+1,2.故选AD 7.已知空间向量a=(1,1,0),b=(一1,0,2)，c=(1,3,4),则下列说法正确的是() A.b>cl B.bc=7 C.若a⊥(b-c,则1=-4 D.与a方向相同的单位向量为avs4 alcol0f1r(32),0 答案：BC 解析：对于A,b=(一1)2+02+22=5,1c=12+32+42=26,∴.b<4c,A错误：对于 B,bc=-1×1+0×3+2×4=7,B正确：对于C,:b-c=(-A-1,-3,2A-4),且a ⊥(h-c,∴.a(2b-c=一1一1一3=0，解得1=一4，C正确：对于D,与a方向相同的单 位向量为aa=22a=alws4al小col(f0r(2r(22),0,D错误.故选BC 三、填空题 8.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)(2b)=-2,则x= 答案：2 解析：由题意，得(0,0,1-x)(2,4,2)=一2，即2(1一x)=-2,解得x=2 ·独家授权侵权必究 数学选择性必修第一册作业与测评 色学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 9.已知a=(1,0,一1)，b=(1,一1,0)，单位向量n满足n⊥a,n⊥b,则n的坐标为 答案：alvs4 alcol0fr(3r(3r(33)或alvs4 alcol(-f0r(3r(3r(33) 解析：设n=c,y,),由条件，得x一2=0，x一y=0,x2十y2+z2=1,所以x=y=z=3动 3或-3)3，即n=alws4 alcol0fr(3r(3r(33)或n=aws4al小col(-f0r(3r(3r(33) 10.已知a=(3,-2,一3)，b=(一1，x一1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围 是 答案：laws4 alcol-2,53)U lalvss4 alcol0y53,+o 解析：，(a,b》为钝角，∴.cos(a,b)<0且(a,b》≠元若cos(a,b)0,则ab-0, 即3×(-1)+(-2)×x-1)十(-3)×10，解得x°-2.若(a,b》=π，则a与b反向，则b =a(0),.3入=-1，-21=x-1,-3入=1，解得1=-13，x=53.(a,b)≠π，.∴x≠ 53,'x>-2且x≠53，故x的取值范围是aws4 alcol(-2,53Uas4 allcol(f53),十a 四、解答题 11.已知向量a=(1,0,一1)，b=(3,t,0). (1)若t=3,求(a,b): (2)求证：对任意t∈R,2a+b与2a-b不垂直. 解：(1)当t=3时，b=(3,3,0),cos(a,b)=a-bab1=3r2)×3r2=12,因为0≤(a, b》≤元，所以(a,b)=x3. (2)证明：对任意teR,(2a+b)(2a-b)=4a2-b2=4×2-(9+t=-2-10, 故2a+b与2a-b不垂直. 12.已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=,2,2) (I)求a-2h: (2)当d=22时，若向量a+b与c垂直，求实数x和k的值； (3)当x=一12时，求证：向量c与向量a,b共面. 解：(1)：a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2), .a-2b=(-2,-1,2)-2(-1,1,2)=(0,-3,-2), ∴.a-2b=9+4=13 ·独家授权侵权必究 数学选择性必修第一册作业与测评 色学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 (2),d=22,.x2+22+22=22, 解得x=0,则c=(0,2,2), a十b=(-2k-1,1-k,2k十2)，且向量a+b与c垂直， ∴.(a+b)c=0, 即2-2k+4k+4=2k十6=0，解得k=-3. ,实数x和k的值分别为0，一3 (3)证明：当x=-12时，c=lavs4alco1(-f12),2,2), 设c=a+ub(a,aeR), 则aws4alco1(-12),2,2=(-2,-1,2)+-1,1,2), 即-f122=4-入，2=2入+24，解得1=-f1232), 即c=-12a十32b,∴.向量c与向量a,b共面！ B级能力提升练 13.定义a⑧b=a2-ab,若向量a=(3,0,一3)，向量b的模为2，向量a与向量b的夹角 为x6,则a⑧b= 答案：6 解析：由题意a@b=la2-ab=a2-abcosz6=12-23×2×3)2=6. 14.单位向量a=,y,0)与向量c=(1,1,1)的夹角为π4，求： (I)x十y的值： (2y的值. 解：(1)，a与c的夹角为x4, .cosπ4=aclallc=(x,y,0)(1,1,1)r2+y23)=x+yr3)r2十y2j=2)2, 即2x+y)=6(x2+y2) la2=x2+y2=1,x十y=62 (2)由(1)知，x十y)2=32, 即x2+2xy+y2=32, 又x2+y2=1,y=14 6 ◆独家授权侵权必究·