1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系

第1课时　空间向量的坐标及运算

知识点一　空间中向量的坐标

1．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，p＝－e1＋2e3，则向量p的坐标为________．

答案：(－1，0，2)

解析：p＝－e1＋2e3＝－e1＋0e2＋2e3，故向量p的坐标为(－1，0，2)．

2．已知向量{a，b，c}是空间向量的一组基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间向量的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．

解：设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc＝a－2b＋3c，所以

解得故向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.

知识点二　空间向量的运算与坐标的关系

3．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝(　　)

A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)

C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)

答案：A

解析：由于a－(a－b)＝b，故b＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．故选A.

4．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是(　　)

A．3 B．4

C．5 D．6

答案：C

解析：因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.故选C.

5．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，则(a＋b)·(a－b)＝________．

答案：－8

解析：(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b＝(2，－1，－2)·(2，－1，－2)－(0，－1，4)·(0，－1，4)＝9－17＝－8.

6．已知向量a＝(4，3，2)，b＝(1，－1，1)，则|a－2b|＝________．

答案：

解析：因为a＝(4，3，2)，b＝(1，－1，1)，所以a－2b＝(4，3，2)－2(1，－1，1)＝(2，5，0)，所以|a－2b|＝＝.

知识点三　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

7．[多选]已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)

A．2， B．－3，

C．3， D．2，2

答案：AB

解析：因为a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，a∥b，所以2μ－1＝0，解得μ＝，＝，解得λ＝2或λ＝－3，所以λ与μ的值可以是2，或－3，.故选AB.

8．已知x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(1，－2，1)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|.

解：a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(1，－2，1)，

∵a⊥c，∴a·c＝x－2＋1＝0，解得x＝1，

又b∥c，∴y＝－2，

∴a＋b＝(x＋1，1＋y，1＋1)＝(2，－1，2)，

∴|a＋b|＝＝3.

一、单项选择题

1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　)

A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)

C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)

答案：B

解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b.因为a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，所以x＝4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)．

2．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则(　　)

A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－

C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

答案：C

解析：因为a与b共线，所以＝＝，所以x＝，y＝－.故选C.

3．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　)

A．－2 B．2

C．3 D．－3

答案：A

解析：∵b－c＝(2，1，2)－(4，－2，1)＝(－2，3，1)，a·(b－c)＝(－2，x，2)·(－2，3，1)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.故选A.

4．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　　)

A． B．

C． D．

答案：C

解析：∵a－b＝(1－t，1－t，t)－(2，t，t)＝(－1－t，1－2t，0)，∴|a－b|2＝(－1－t)2＋(1－2t)2＝5t2－2t＋2＝5＋.当t＝时，|a－b|2取得最小值，∴|a－b|的最小值为.故选C.