1.1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．1.2　空间向量基本定理 知识点一　共面向量定理 1．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是(　　) A．＝2＋－ B．＝3－2－2 C．＝＋＋ D．＝＋－ 答案：D 解析：当点M，A，B，C共面时，不妨设＝λ＋μ，变形得到－＝λ(－)＋μ(－)，则＝λ－(λ＋μ－1)＋μ，设＝x＋y＋z，若点M与点A，B，C共面，则x＋y＋z＝－λ－μ＋1＋λ＋μ＝1，只有选项D中＋＋＝1符合题意．故选D. 2．在四面体OABC中，空间的一个点M满足＝－＋＋m，若M，A，B，C四点共面，则m＝________． 答案： 解析：因为M，A，B，C四点共面，＝－＋＋m，所以－1＋＋m＝1，解得m＝. 3．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE. 求证：向量，，共面． 证明：因为点M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，向量，，共面． 知识点二　空间向量基本定理 4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基底，否则不能作为基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p，p是q的必要不充分条件．故选B. 5．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能组成空间向量的一组基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 答案：C 解析：对于A，3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能组成空间向量的一组基底，A不符合题意；同理可判断B，D不符合题意．故选C. 6．已知O，A，B，C为空间四个点，又{，，}为空间向量的一组基底，则下列说法中错误的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案：B 解析：由于{，，}为空间向量的一组基底，所以，，不共面，因此O，A，B，C四点一定不共面，则B错误．故选B. 7．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，P为AD1的中点，则＝(　　) A．a＋b－c B．a＋b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c 答案：D 解析：＝＋＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋(－)＝(a＋b)＋(－c)＝a＋b－c.故选D. 8．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，若＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　) A．，－， B．－，， C．，，－ D．，，－ 答案：B 解析：＝＋＋＝＋(－)＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c，即x＝－，y＝，z＝.故选B. 一、单项选择题 1．从空间一点出发的三个不共线的向量a，b，c确定的平面个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或3 答案：D 解析：当三个向量共面时，可确定一个平面；当三个向量不共面时，可确定三个平面．故选D. 2．如图，若正四面体A－BCD的棱长为1，E，F分别为CD，AB的中点，则·＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 答案：B 解析：由题意，得＝＋＋＝＋＋＝(－)＋(－)－＝－－＋，故·＝·＝－－＋＝－. 3．已知{a，b，c}是空间向量的一组基底，则可以与向量m＝b－2c，n＝b＋2c组成空间向量的另一组基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．b＋c 答案：A 解析：对于A，不存在x，y∈R，使得a＝x(b－2c)＋y(b＋2c)＝xm＋yn成立，故能组成空间向量的另一组基底；对于B，b＝(b－2c)＋(b＋2c)＝m＋n，故不能组成空间向量的另一组基底；对于C，c＝－(b－2c)＋(b＋2c)＝－m＋n，故不能组成空间向量的另一组基底；对于D，b＋c＝(b－2c)＋(b＋2c)＝m＋n，故不能组成空间向量的另一组基底． 4．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 答案：A 解析：＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋.对比＝x＋y＋z，知x＝y＝z＝1.故选A. 5．设{a，b，c}是空间向量的一组基底，则下列说法错误的是(　　) A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面 C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc D．{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间向量的一组基底 答案：A 解析：由{a，b，c}是空间向量的一组基底可知，对于A，若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定垂直，故A错误；对于B，若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；对于C，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确；对于D，若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则a，b，c不共面，易得a＋b，b＋c，c＋a不共面，则{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间向量的一组基底，故D正确．故选A. 二、多项选择题 6．下列说法中错误的是(　　) A．空间任意三个不共面的向量都可以组成一组基底 B．已知向量a∥b，则存在向量可以与a，b组成空间向量的一组基底 C．若对空间中任一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面 答案：BD 解析：对于A，空间任意三个不共面的向量都可以组成一组基底，故A正确；对于B，已知向量a∥b，则不存在向量可以与a，b组成空间向量的一组基底，故B错误；对于C，由于对空间中任一点O，有＝＋＋，且＋＋＝1，故P，A，B，C四点共面，故C正确；对于D，向量可以平移，任意两个向量都是共面的，故D错误．故选BD. 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则(　　) A．m＝ B．m＝－ C．n＝ D．n＝－ 答案：AD 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于点F是侧面CDD1C1的中心，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，－n＝，即n＝－.故选AD. 三、填空题 8．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝________． 答案：a－b＋c 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝－＋＝a－b＋c. 9．在空间四边形OABC中，M为OA的中点，N为BC的中点，若＝＋＋，则使G，M，N三点共线的x的值是________． 答案： 解析： 由题意可知，＝2，＝＋，则2＝＋，∴＝＋＋＝＋(＋)＝＋，∵G，M，N三点共线，∴＋＝1，∴x＝. 10．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且e1，e2，e3不共面，则当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________． 答案：3 解析：由题意，得d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(β＋γ)e3，又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以故α＋β＋γ＝3. 四、解答题 11．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，表示下列向量： (1)，，； (2)，，. 解：(1)＝＋＝＋＝＋. ＝＋＝＋. ＝＋＋＝＋＋. (2)＝－＝－＝＋. ＝－＝－＝－－. ＝＋＝＋＝－. 12．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一组基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3. (1){，，}能否作为空间向量的一组基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由； (2)判断P，A，B，C四点是否共面． 解：(1)假设，，共面，则存在实数m，n， 使＝m＋n， 即e1＋2e2－e3＝m(－3e1＋e2＋2e3)＋n(e1＋e2－e3)， 所以方程组无解， 所以，，不共面， 因此{，，}能作为空间向量的一组基底． 令＝a，＝b，＝c， 由得 所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30. (2)假设P，A，B，C四点共面， 则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 由(1)知＝17－5－30，但17－5－30＝－18≠1，故P，A，B，C四点不共面． 13．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的一个三等分点，且PH＝HC，点G在AH上，且AG＝mAH，四边形ABCD为平行四边形，若B，G，P，D四点共面，则实数m的值为________． 答案： 解析：∵＝－，且＝，∴＝－.∵＝＋，∴＝＋－＝－＋＋.∵PH＝HC，∴＝＝(－＋＋)＝－＋＋.又＝－，∴＝－＋＋.∵AG＝mAH，∴＝m＝－＋＋.连接BG(图略)，∵＝－＋＝－＋，∴＝＋＋.又B，G，P，D四点共面，∴1－＝0，解得m＝. 14．如图，在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证＋＋为定值，并求出该定值． 解：连接AG并延长交BC于点H. 由题意，可令{，，}为空间向量的一组基底， ＝＝(＋)＝＋×＝＋×(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋. 连接DM. 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ， 使得＝λ＋μ， 即－＝λ(－)＋μ(－)， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt. 由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m， ＝λn，＝μt， 所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$