1.1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

1．1.2　空间向量基本定理

知识点一　共面向量定理

1．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是(　　)

A．＝2＋－

B．＝3－2－2

C．＝＋＋

D．＝＋－

答案：D

解析：当点M，A，B，C共面时，不妨设＝λ＋μ，变形得到－＝λ(－)＋μ(－)，则＝λ－(λ＋μ－1)＋μ，设＝x＋y＋z，若点M与点A，B，C共面，则x＋y＋z＝－λ－μ＋1＋λ＋μ＝1，只有选项D中＋＋＝1符合题意．故选D.

2．在四面体OABC中，空间的一个点M满足＝－＋＋m，若M，A，B，C四点共面，则m＝________．

答案：

解析：因为M，A，B，C四点共面，＝－＋＋m，所以－1＋＋m＝1，解得m＝.

3．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.

求证：向量，，共面．

证明：因为点M在BD上，且BM＝BD，

所以＝＝＋.

同理＝＋.

所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，向量，，共面．

知识点二　空间向量基本定理

4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基底，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基底，否则不能作为基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p，p是q的必要不充分条件．故选B.

5．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能组成空间向量的一组基底的一组向量是(　　)

A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a

C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c

答案：C

解析：对于A，3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能组成空间向量的一组基底，A不符合题意；同理可判断B，D不符合题意．故选C.

6．已知O，A，B，C为空间四个点，又{，，}为空间向量的一组基底，则下列说法

中错误的是(　　)

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点中任意三点不共线

D．O，A，B，C四点不共面

答案：B

解析：由于{，，}为空间向量的一组基底，所以，，不共面，因此O，A，B，C四点一定不共面，则B错误．故选B.

7．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，P为AD1的中点，则＝(　　)

A．a＋b－c B．a＋b＋c

C．a－b＋c D．a＋b－c

答案：D

解析：＝＋＝＋＝(＋)＋＝(＋)＋(－)＝(a＋b)＋(－c)＝a＋b－c.故选D.

8．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，若＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)