1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列命题中为假命题的是(　　) A．向量与是平行向量 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案：D 解析：共线的单位向量是相等的向量或相反向量．故选D. 2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等的向量 D．零向量只有一个方向，单位向量的方向不一定相同 答案：C 解析：零向量的方向是任意的，且长度为0.两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C. 知识点二　空间向量的加减运算 3．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．－＝ D．＝－ 答案：B 解析：B中向量的和应该是零向量，而不是数0.故选B. 4．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．c－a－b C．a－b－c D．b－a＋c 答案：B 解析：如图所示，＝＋＝＋＋＝－b－a＋c.故选B. 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为的共有(　　) ①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 解析：根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．故选D. 知识点三　空间向量的线性运算 6．如图所示，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，则＋＋的化简结果为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：∵点G为△BCD的重心，∴＝，又＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝.故选A. 7．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)＋； (2)＋＋； (3)－－－. 解：(1)＋＝. (2)因为M是BB1的中点，所以＝. 又＝，所以＋＋＝＋＝. (3)－－－ ＝(＋)－－ ＝(＋)－－ ＝－－ ＝－＝. 向量，，如图所示． 8．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？ 解：设AC的中点为G，连接EG，GF， 则＝，＝， ∴＝＋ ＝＋ ＝(＋)， ∴与＋共线． 一、单项选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．所有的单位向量都是相等的向量 B．两个向量相等的充要条件是它们的模相等 C．若两个非零向量的模不相等，则它们可能是相反向量 D．空间向量的模的取值范围是[0，＋∞) 答案：D 解析：因为所有的单位向量的模都是1，但是方向不一定相同，所以A错误；两个向量相等的充要条件是它们的模相等且方向相同，所以B错误；因为两个相反向量的模相等，所以若两个非零向量的模不相等，则这两个向量一定不是相反向量，所以C错误；因为所有的空间向量的模都不小于零，所以D正确． 2．在四边形ABCD中，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案：A 解析：∵＋＝＋，∴＝，∴AB∥DC且AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．故选A. 3．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝(　　) A．3 B．3 C．3 D．2 答案：B 解析：连接BD，－＋＝＋＝＋2＝3.故选B. 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BB1的中点，则下列向量中与向量平行的是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由长方体ABCD－A1B1C1D1，可得AD∥BC∥B1C1，AD＝BC＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥DC1，同理可得A1B∥D1C，又E，F分别为AB，BB1的中点，所以AB1∥EF，所以EF∥DC1，所以∥，因为直线A1B与直线EF相交，又A1B∥D1C，所以向量与，不平行，又直线AC1与AB1相交，所以向量与不平行．故选B. 5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1C1的中点，F是AE的一个三等分点，且AF＝EF，则＝(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ 答案：D 解析：如图所示，因为AF＝EF，所以＝＝(＋)＝＝ ＝＝＋＋.故选D. 二、多项选择题 6．在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且＝＝2，则－＋＝(　　) A． B． C． D． 答案：BD 解析：在△BCD中，因为＝＝2，所以EF∥CD，故＝，即＝，所以－＋＝＋(－)＝＋＝＝×＝.故选BD. 7．如图，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则(　　) A．＝ B．＋＝ C．＋＋＝ D．－(＋)＝ 答案：ACD 解析：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线的性质，可知＝，故A正确；若＋＝，可得＝－＝，由题图，可知，不共线，矛盾，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；－(＋)＝－×2＝－＝，故D正确．故选ACD. 三、填空题 8．给出下列四个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若空间向量a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 其中真命题的序号为________． 答案：④ 解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①为假命题；对于②，向量是不能比较大小的，故②为假命题；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③为假命题；对于④，当向量a，b不共线时，由向量加法法则并根据三角形两边之和大于第三边知|a＋b|＜|a|＋|b|成立，当向量a，b共线时，若a与b同向或其中一个为零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a与b反向，则|a＋b|<|a|＋|b|，故④为真命题． 9．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________________． 答案：a＋b－c 解析：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c. 10．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________． 答案：－8 解析：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝－＝e1－4e2，又＝2e1＋ke2，A，B，D三点共线，所以存在λ∈R，使得＝λ，即2e1＋ke2＝λe1－4λe2，所以解得k＝－8. 四、解答题 11．如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，CF＝2FD，连接EF，CE，AF，BF，BD，AC.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋＋； (2)－－； (3)＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＝，如右图． (2)－－＝－＝，如下图． (3)因为E是线段AB的中点，CF＝2FD，所以＝，＝， 所以＋＋＝＋＋＝＋＝，如图． 12．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD′，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)化简＋＋＋＋2. 解：(1)＝＋＋＝－b＋a－c. ＝＋＋＝＋＋＝(－b－c)＋a＋(－a＋b)＝a－c. (2)＋＋＋＋2＝＋＋＋2＝＋2＝＋＝0. 13．[多选]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间中一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，点P在棱BB1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 答案：BCD 解析：对于A，当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即点P在棱CC1上，故A错误；对于B，当μ＝1时，＝λ＋，所以＝λ，则∥，故点P在棱B1C1上，故B正确；对于C，当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)， 即＝λ，所以点P在线段B1C上，故C正确；对于D，当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，所以点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD. 14．已知三棱柱ABC－A1B1C1及空间中一点P，且＋＝m(m>0，且m为常数)，若三棱柱ABC－A1B1C1的体积为24，则三棱锥A1－ABP的体积为________． 答案：4 解析：取AC的中点O，∵＋＝m，∴2＝m⇒PO∥AB，∴P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，则三棱锥A1－ABP的体积为S△ABP×h＝×S△ABC×h＝S△ABC×h＝VABC－A1B1C1＝×24＝4. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$