1.1.1 空间向量及其运算 第2课时 空间向量的数量积(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积，涵盖夹角概念、运算性质及应用。通过课前预习诊断基础，课中探究分三个层次展开，结合正方体、正四面体等实例，搭建从概念到应用的学习支架，衔接平面向量知识，逐步深化理解。 其亮点在于以“探究点—例题—变式—素养小结”螺旋设计，通过几何体实例培养数学眼光，数量积推理过程发展数学思维，向量语言表达几何关系强化数学语言。如用正方体求向量夹角，提升空间观念，助力学生构建知识体系，教师可高效实施分层教学。

1.1 空间向量及其运算 1 1.1.1 空间向量及其运算 第2课时 空间向量的数量积 2 探究点一 空间向量的夹角 探究点二 空间向量的数量积运算 探究点三 空间向量数量积的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.掌握空间向量的夹角概念及表示方法； 2.掌握两个空间向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律； 3.能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直. 4 知识点一 两个空间向量的夹角 1.定义:给定两个非零向量,,在空间中任选一点,作, , 则大小在内的称为与 的______,记作______. 2.如果，，则称向量与向量 ______，记作______. 夹角 , 垂直 3.规定：零向量与任意向量都垂直. 课 前 预 习 5 知识点二 空间向量的数量积及性质 1.定义:两个非零向量与 的数量积（也称为内积）定义为________ _____________. 规定：零向量与任意向量的数量积为0. , 2.投影：一般地，给定空间向量和空间中的直线或平面，过 的始点和终点分别作直线或平面的垂线，假设垂足为， ，则 向量称为在直线或平面 上的投影. 与的数量积等于在上的投影的数量与 的长度的______. 乘积 课 前 预 习 6 3.空间向量数量积的性质 （1） _________. （2） _____. （3） . （4） . （5） （交换律）. （6） （分配律）. 注:不满足结合律 . 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）对于向量,,若,则一定有或 .( ) × （2）对于非零向量, ,由,可得 .( ) × （3）若,则, 是钝角.( ) × [解析] 若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b. [解析] 若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,此时无法判断b=c是否成立. [解析] 若a·b<0,则cos<a,b><0,则<a,b>是钝角或是平角. 课 前 预 习 8 （5）已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 上 的投影为 .( ) × （6）若,为空间向量，则 .( ) √ [解析] 因为非零向量a与b共线,所以向量a与b的夹角θ=0或θ=π, 所以cos θ=1或cos θ=-1,当cos θ=1时,a·b=|a||b|cos θ=|a||b|, 当cos θ=-1时,a·b=|a||b|cos θ=-|a||b|,所以a·b=|a||b|是a与b共线的 充分不必要条件. [解析]向量e1在向量e2上的投影为e2. （4）若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件.( ) × 课 前 预 习 9 探究点一 空间向量的夹角 例1 在正方体 中，求： （1），，，，， ； 解：在正方体 中， ，， ， ，，，，， . （2），，， ； 解：在正方体中，， ， ，，， . 课 中 探 究 10 （3），,， . 解：连接，，易知, ， 和都是等边三角形，，， ， . 课 中 探 究 11 变式 在正四面体中，点，分别是，的中点，则 与 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，，所以， ， ， . √ 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 求两向量夹角的关键是把两向量平移到一个公共起点，找到向量的 夹角，再利用解三角形的知识求角，注意向量夹角的范围是<m></m>. 课 中 探 究 13 探究点二 空间向量的数量积运算 例2 [2026·长沙高二月考] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, ·= ( ) A.4 B.4 C.2 D.2 [解析] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,||=2,||=2, 因为=,与的夹角为,所以与的夹角为, 所以·=||·||cos=2×2×=4.故选B. √ 课 中 探 究 14 变式 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=AB=2,∠BAD=, ∠BAA1=∠A1AD=,则·= ( ) A.-8 B.8 C.-4 D.4 [解析] 因为AA1=AD=AB=2,∠BAD=,∠BAA1=∠A1AD=, 所以·=(+)(-)=(+)(-)= ·+·--·=0+2×2×cos-22-2×2×cos=-4.故选C. √ 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）空间向量数量积运算的两种方法: ①利用定义:利用<m></m>,<m></m>并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将两向量平移到同一顶点, 利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行计算. （2）在几何体中求空间向量数量积的步骤: ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开. ③利用<m></m>,<m></m>求解. 课 中 探 究 16 探究点三 空间向量数量积的应用 例3（1）在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=OC, 则+与的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° √ 课 中 探 究 17 [解析] 设OA=OB=OC=1,则(+)·=(+)·(-)= -·+·-·=1,|+|= ==,||=|-|= ==, 所以cos<+,>===, 所以+与的夹角为60°.故选C. 课 中 探 究 18 （2）［2025·武汉高二期末］在棱长为6的正四面体中，点 与 满足，，则 _____. [解析] 由题得 ， ， 所以 . , 所以 ， 所以 . 课 中 探 究 19 变式（1）［2025·湖南常德高二期中］已知空间向量,, 两两夹角 均为 ，其模均为1，则 ____. [解析] . 课 中 探 究 20 （2）在平行六面体中，底面 是边长为1的正 方形，侧棱，且 ，则 ____， 直线与直线 所成角的余弦值为_ __. [解析] 因为 ，所以 ，所以 . 课 中 探 究 21 因为 ，所以 ， 所以.因为 ， ，所以 ， 课 中 探 究 又 ， ,， 所以直线与直线 所成角的余弦值为 . 课 中 探 究 ［素养小结］ 利用空间向量的数量积公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂 直有关的问题．常用性质有： （1）<m></m>； （2）<m></m>，<m></m>； （3）<m></m>. 课 中 探 究 24 1.如图所示,在正方体 中,下列各 组向量的夹角为 的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 √ 课 堂 评 价 25 [解析] 对于A，因为 ，结合正方体的 性质可得与的夹角为 ，所以 与 的夹角为 ，故A正确； 对于B，由 与方向相反，结合A可知与 的夹角为 ，故B不正确； 对于C，因为 ，结合正方体的性质知与垂直， 所以与的夹角为 ，故C不正确； 对于D，因为，而与方向相反，所以与 的夹 角为 ，故D不正确.故选A. 课 堂 评 价 26 2.已知正方体的棱长为1，且, , ，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D. [解析] 根据题意知,,, ，则 ，所以原式 ，故选C. √ 课 堂 评 价 27 3.在四面体中， ,，则在 上的投影为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得， ，所以 ，所以在 上的投影为 .故选B. √ 课 堂 评 价 28 4.在正四面体中，，若，则 ___. 6 [解析] . 课 堂 评 价 29 5.如图，在平行六面体中，, , ， ，则 的长为_____. 课 堂 评 价 30 [解析] 依题意可得， ， ， ， ， ，即 的长为 . ， ， 课 堂 评 价 31 1.关于空间中两个非零向量之间的夹角需注意以下几点： （1）由定义可知两个非零向量,的夹角 ,与向量的大小无关， 只与方向有关.两个非零向量,的夹角的取值范围是 . （2）必须将两个非零向量平移到同一始点，才能确定其夹角，显然 ， . （3）注意分清与表示点的符号 . 新 知 拓 延 32 （4）若,则称与互相垂直，记作，此时表示与 的有向线段所在的两条直线可能是相交垂直，也可能是异面垂直.当 时，向量,同向；当 时，向量, 反向. （5）表示两个非零向量, 的有向线段所在的两条直线可能是共面 直线，也可能是异面直线.两条异面直线的夹角 的取值范围是 .当为锐角或直角时，有;当 为钝角时，有 . 新 知 拓 延 33 2.关于空间中向量的数量积，需要注意以下几点： （1）两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，其值为两 个向量的模的积乘两个向量夹角的余弦值，其值的正负由夹角的余 弦值决定. （2）两个向量的数量积是两个向量乘法运算的一种，数量积又称为 内积，书写时只能用符号而不能用,也不能用 表示. （3）两个向量与的数量积的几何意义：数量积等于在 上 的投影的数量与的长度的乘积；要明确向量在向量 上的投影仍是一个向量，其模为 . 新 知 拓 延 34 （4）数量积定义 ,可求向量的数量积；变形得 ,可求两个向量的夹角，利用这一结论，可以较方便 地解决异面直线所成角的问题；变形得,可求向量 在向量 上的投影的数量. 新 知 拓 延 35 课后习题 36 1.如图，在正方体中，, ( ) A. B. C. D. [解析] 连接，，,,是 的补角. ,，, .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 2.［2024·广东东莞高二期中］已知空间向量，满足 ， ，，则 的值为( ) A.1 B. C.2 D.4 [解析] 因为，， ，所以 ，所以 . 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 3.在三棱锥中，，，则 ， ( ) A. B. C. D. [解析] ，， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 4.在四面体中, ,且,,则 在 上的投影为( ) A. B. C. D. [解析] 由,得,, ,,在上的投影为 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 5.已知正四面体的棱长为2，点是 的重心，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 点是的重心,,又正四面体 的棱长为2， .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 6.[2026·贵州铜仁高二期中] 已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1, O为底面ABCD内一点,且=++,则·= ( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 [解析] 如图所示,由正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1, 可知<,>=<,>=,且||=||=||=1, 所以·=·=1×1×cos=,·=1, 所以·=·= ·+·+·=×+×1+×=.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 7.（多选题）在棱长均为1的四面体 中，下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 如图，取的中点，连接， ，则， ，因为 ，,平面， 所以平面 ，又平面，所以 ， 所以，故A正确； ， 故B正确； √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 因为 ， ，所以 ， ，所以 ，故C正确； 因为，所以，故D不正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.［2026·浙江杭州高二期中］设正方体 的棱长为 1，则 ___. 1 [解析] . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 9.［2025·内蒙古赤峰高二期中］已知空间向量，满足 ， ，，则向量， 的夹角为___. [解析] 因为空间向量，满足，， ， 所以，可得 ， 所以,，因为,，所以 , ，所以向量，的夹角为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 ★10.（13分）已知不共面的三个单位向量,, 两两之间的夹角 均为 ，， . （1）求证： ； 证明：因为 ， 所以，所以 ， 即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 （2）求, . 解：因为 ， 所以 ， ， ， 所以， ， 所以, . ★10.（13分）已知不共面的三个单位向量,, 两两之间的夹角 均为 ，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 ［结论］ 求解两个向量的数量积一般要根据几何体的结构特征将未 知向量用模长已知、夹角已知的向量进行线性表示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 11. [2026·成都高二期末] 在正四面体P-ABC中,点E,F分别是棱BC,PC 的中点,则cos<,>= ( ) A.- B. C.- D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析]如图,设正四面体P-ABC的棱长为2,=2a,=2b,=2c. 因为E,F分别是BC,PC的中点,所以|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=, 所以a·b=a·c=b·c=1×1×=,则=b+c,=c-2a, 所以·=(b+c)·(c-2a)=b·c-2a·b+c2-2a·c=-, 又△PBC,△APC是边长为2的等边三角形, 所以||=||=,故cos<,>==-.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 12. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P为侧面ABB1A1内的一点, 则·的最小值为( ) A. B.2 C. D.2 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 [解析]如图所示,取CC1的中点D,连接PD,则2=+,2=-, 两式平方后相减可得4·=4-4,即·=-, 其中DC=CC1=1,故·=-1, 故当PD取得最小值时,·取得最小值. 当P位于矩形ABB1A1的中心时, PD取得最小值,最小值为=, 所以·的最小值为3-1=2.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知是棱长为1的正方体 （含正方体表面）内 任意一点，点是棱的中点，则 的最大值为__． [解析] 因为点是棱的中点，所以 ，所以 , 因为,表示 在上投影的数量，,表示在 上投影的数量， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 当点在棱上时，,取得最大值， , 取得最大值，所以 的最大值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.（15分）［2025·广西来宾高二期末］ 已知，，， 为空间内 不共面的四点，为 的重心. （1）若，求 的值； 解：因为是的重心，所以 ， 则 ， 即，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 （2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求 . 解：由题得 ，由（1）知 ， 所以 ，即 . 14.（15分）［2025·广西来宾高二期末］ 已知，，， 为空间内 不共面的四点，为 的重心. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 15.已知空间向量,,满足,,, ,则 的值为_____. [解析] , , , . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 16.点是底面边长为 ，高为2的正三棱柱表面上的一个动点， 是该三棱柱内切球的一条直径，则 的取值范围是______. [解析] 由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 $