1.1.1 空间向量及其运算（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算核心知识点，从平面向量自然过渡到空间向量，系统梳理概念（定义、模、零向量等）、加减法（三角形和平行四边形法则）、数乘及线性运算（运算律）、数量积（夹角、模长、投影），构建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 资料以“即学即练”结合分层题型设计为特色，通过正四面体、正方体等实例引导学生用数学眼光抽象空间关系，借助三点共线判断、数量积计算等题型训练数学思维的逻辑推理，用向量语言精确表达空间问题。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识应用。

1.1.1 空间向量及其运算 教学目标 1.经历向量及其运算由平面向空间的转换，了解空间向量的相关概念. 2.掌握空间向量的加法、减法运算，理解其几何意义，能够运用三角形法则和平行四边形法则进行空间向量的加减法运算. 3.掌握空间向量的数乘及线性运算，理解数乘的几何意义，掌握空间向量线性运算的运算律. 4.理解空间向量数量积的概念，能够求解数量积，并运用数量积求解向量的夹角、模长、投影等. 教学重难点 1.重点 （1）空间向量的加减法运算； （2）空间向量的数乘及线性运算； （3）空间向量的数量积及夹角、模长、投影的求解。 2.难点 （1）空间向量线性运算的几何意义； （2）空间向量数量积、投影的求解。 知识点01 空间向量的概念 1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量。 2.长度或模：向量的大小。 3.表示方法： （1）几何表示法：空间向量用有向线段表示； （2）字母表示法：用字母…表示；若向量的起点是，终点是，也可记作，其模记为或。 4.空间向量的有关概念： （1）零向量：长度为或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为的空间向量，即。 （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 【即学即练】 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 知识点02 空间向量的加法运算 （1）空间向量的加法运算，如图所示． 三角形法则： 平行四边形法则： （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律：，. 【即学即练】 （25-26高二上·北京顺义·期末）如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算及几何意义可求答案. 【详解】取的中点,连接，因为四面体所有棱长均为2，所以， 所以. 故选：D 知识点03 空间向量的线性运算 （1）空间向量的减法运算： （2）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，向量与向量方向相反． 的长度是的长度的倍． （3）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． 【即学即练】 （25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 知识点04 空间向量的数量积 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． （4）设两个非零向量，的夹角为，则. （5）向量在向量上的投影为． 【即学即练】 （25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 题型01 空间向量的基本概念 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 【变式4】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 题型02 空间向量的加法运算 【典例1】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则可得结果. 【详解】. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知空间中三个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果． 【详解】因为 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【详解】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 题型03 空间向量的减法运算 【典例1】（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 【变式1】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 【变式4】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 题型04 空间向量的数乘运算 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 【变式1】（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】． 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 【变式4】（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意， . 故选：A 题型05 三点共线的判断 【典例1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【变式2】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 题型06 数量积的概念及运算律 【典例1】（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 【变式2】（24-25高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 【变式3】（24-25高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 题型07 求空间向量的数量积 【典例1】（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 【变式1】29．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 【变式2】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 【变式3】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 题型08 空间向量的夹角求解 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 【变式1】（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 【变式2】22．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 【变式3】（25-26高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 【答案】 【分析】取的中点连接、，依题意可得三棱锥为正四面体，即可证明平面，从而得到，即可求出，再由为等边三角形得到. 【详解】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 题型09 空间向量的投影 【典例1】27．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    【变式1】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 题型10 空间向量的模长 【典例1】34．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 【变式1】10．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 【变式3】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 1．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C. 3．（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形法则即可求解. 【详解】. 故选：D 4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 6．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 7．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 8．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【详解】因为，， 所以， ， . 9．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 10．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． 1.（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则且，由，平方化简得到，求得，即可得到答案. 【详解】因为，且，的夹角为，且，， 设，则且， 由， 可得 ， 又由 ， 所以，所以，即线段的长度的取值范围为. 故选：A. 2.（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用重心的性质得出，再利用向量的加减法计算求出，判断选项A；利用中点的性质计算，判断选项B；计算判断选项C；计算判断选项D． 【详解】 选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点， ，故D正确． 故选：ABD． 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为________． 【答案】5 【分析】先对原等式进行化简，设，进而化简得到，然后确定点在以为直径的球面上，在以为直径的球面上，并求出半径，最后确定结果即可. 【详解】因为向量，满足，， 化简得. 设，则， 化简得. 因此，点在以为直径的球面上，半径为 在以为直径的球面上，半径为, 分别取的中点，则，故. 故答案为：5. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其运算 教学目标 1.经历向量及其运算由平面向空间的转换，了解空间向量的相关概念. 2.掌握空间向量的加法、减法运算，理解其几何意义，能够运用三角形法则和平行四边形法则进行空间向量的加减法运算. 3.掌握空间向量的数乘及线性运算，理解数乘的几何意义，掌握空间向量线性运算的运算律. 4.理解空间向量数量积的概念，能够求解数量积，并运用数量积求解向量的夹角、模长、投影等. 教学重难点 1.重点 （1）空间向量的加减法运算； （2）空间向量的数乘及线性运算； （3）空间向量的数量积及夹角、模长、投影的求解。 2.难点 （1）空间向量线性运算的几何意义； （2）空间向量数量积、投影的求解。 知识点01 空间向量的概念 1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量。 2.长度或模：向量的大小。 3.表示方法： （1）几何表示法：空间向量用有向线段表示； （2）字母表示法：用字母…表示；若向量的起点是，终点是，也可记作，其模记为或。 4.空间向量的有关概念： （1）零向量：长度为或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为的空间向量，即。 （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 【即学即练】 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 知识点02 空间向量的加法运算 （1）空间向量的加法运算，如图所示． 三角形法则： 平行四边形法则： （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律：，. 【即学即练】 （25-26高二上·北京顺义·期末）如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 知识点03 空间向量的线性运算 （1）空间向量的减法运算： （2）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，向量与向量方向相反． 的长度是的长度的倍． （3）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． 【即学即练】 （25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 空间向量的数量积 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． （4）设两个非零向量，的夹角为，则. （5）向量在向量上的投影为． 【即学即练】 （25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型01 空间向量的基本概念 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【变式2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【变式4】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 题型02 空间向量的加法运算 【典例1】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·四川眉山·开学考试）已知空间中三个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 空间向量的减法运算 【典例1】（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 题型04 空间向量的数乘运算 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，N为BC中点，则等于（   ） A． B． C． D． 题型05 三点共线的判断 【典例1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式2】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 题型06 数量积的概念及运算律 【典例1】（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【变式1】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【变式2】（24-25高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式3】（24-25高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 题型07 求空间向量的数量积 【典例1】（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【变式1】29．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【变式2】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【变式3】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型08 空间向量的夹角求解 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】22．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【变式3】（25-26高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 题型09 空间向量的投影 【典例1】27．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 题型10 空间向量的模长 【典例1】34．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【变式1】10．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【变式3】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 1．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 7．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 8．（25-26高二上·上海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，______． 9．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 10．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 1.（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·阶段检测）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $