3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教A版2019）

数学 选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 3.2.1　双曲线及其标准方程 第1课时　双曲线及其标准方程 知识点一　双曲线的定义及简单应用 1．平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹为(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 答案：D 解析：根据双曲线的定义，||MF1|－|MF2||＝4，且|F1F2|＝6>4，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6.故选D. 2．已知定点A，B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝2，则点P的轨迹为(　　) A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线 答案：D 解析：动点P满足|PA|－|PB|＝2＝|AB|，所以点P的轨迹为一条射线．故选D. 3．双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线右支上一点，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________． 答案：3 解析：由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a＝6，所以|MF2|＝9－6＝3. 知识点二　双曲线的标准方程 4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．y2－＝1 D．－＝1 答案：A 解析：由双曲线的定义知，2a＝|－|＝2，∴a＝1，又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A. 5．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5 B．±3 C．5 D．9 答案：B 解析：由题意，得34－n2＝n2＋16，即2n2＝18，解得n＝±3.故选B. 6．若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是(　　) A．－3＜k＜－2 B．k＜－3 C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2 答案：A 解析：由题意可知，解得－3＜k＜－2. 7．过点且焦点为(0，－5)，(0，5)的双曲线的标准方程是________． 答案：－＝1 解析：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝5，因为双曲线过点，根据双曲线的定义，得2a＝＝6，解得a＝3，则b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的标准方程为－＝1. 8．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝7； (2)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P. 解：(1)因为b2＝c2－a2＝49－9＝40，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5，0)，A2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)． 由双曲线的定义知， ||PF1|－|PF2||＝＝＝8， 即2a＝8，则a＝4. 又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 一、单项选择题 1．已知F1，F2是平面内两个不同的定点，P为平面内的动点，则“||PF1|－|PF2||的值为定值m，且m<|F1F2|”是“点P的轨迹是双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若||PF1|－|PF2||的值为定值m，m<|F1F2|，当m＝0时，则点P的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；若点P的轨迹是双曲线，则必有||PF1|－|PF2||＝m<|F1F2|，故必要性成立．故选B. 2．平面内动点P(x，y)与A(－2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为(　　) A．＋y2＝1 B．－y2＝1 C．＋y2＝1(x≠±2) D．－y2＝1(x≠±2) 答案：D 解析：依题意有kPA·kPB＝，即·＝(x≠±2)，整理得－y2＝1(x≠±2)． 3．在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　) A． B．± C．－ D．± 答案：D 解析：在△ABC中，∵sinA＝，sinB＝，sinC＝＝，其中R为△ABC外接圆的半径，∴＝＝.又|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±. 4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在直线y＝x上，则双曲线C的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：A 解析：由于点P(2，1)在直线y＝x上，则1＝，∴a＝2b　①.∵双曲线的焦距为10，∴a2＋b2＝52.将①代入上式，得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的标准方程为－＝1.故选A. 5．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，P是一个动点，则下列说法正确的是(　　) A．若|PA|＋|PB|＝4，则点P的轨迹为椭圆 B．若|＋|＝|－|，则点P的轨迹为圆 C．若|PA|－|PB|＝2，则点P的轨迹为双曲线 D．若|PA|2－|PB|2＝4，则点P的轨迹为一条线段 答案：B 解析：令P(x，y)，对于A，由|PA|＋|PB|＝4＝|AB|，结合椭圆的定义，显然点P的轨迹不是椭圆，A错误；对于B，由＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，得＋＝(－2x，－2y)，－＝(－4，0)，又|＋|＝|－|，所以x2＋y2＝4，即点P的轨迹为圆，B正确；对于C，由|PA|－|PB|＝2<|AB|，根据双曲线的定义，得点P的轨迹为双曲线的右支，C错误；对于D，由题意，得(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝4，整理得x＝，即点P的轨迹为一条直线，D错误． 二、多项选择题 6．已知双曲线的两焦点在坐标轴上且关于原点对称，一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，c＝a，则双曲线的方程可以为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：AD 解析：当双曲线的焦点在x轴上时，令y＝0，则x＝－4，∴双曲线的焦点坐标分别为(－4，0)，(4，0)，∴c＝4，又c＝a，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝16－＝，故双曲线的方程为－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，令x＝0，则y＝10，∴双曲线的焦点坐标分别为(0，－10)，(0，10)，∴c＝10，又c＝a，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线的方程为－＝1.故选AD. 7．已知P是双曲线E：－＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是(　　) A．点P的横坐标为 B．△PF1F2的周长为 C．∠F1PF2小于 D．△PF1F2内切圆的半径为 答案：ABC 解析：双曲线E：－＝1中的a＝4，b＝3，c＝5，不妨设P(m，n)，m>0，n>0，由△PF1F2的面积为20，可得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，即n＝4，由－＝1，可得m＝，故A正确；由P，且F1(－5，0)，F2(5，0)，可得|PF1|＝＝，|PF2|＝＝，则△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝＋＋10＝，故B正确；因为cos∠F1PF2＝＝＝>，所以∠F1PF2<，故C正确；设△PF1F2内切圆的半径为r，可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝20，即r＝40，解得r＝，故D不正确．故选ABC. 三、填空题 8．若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________． 答案：9 解析：由题意知，a2＝16，b2＝m，c＝5，又由a2＋b2＝c2，得16＋m＝25，∴m＝9. 9．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝________． 答案：8 解析：依题意有解得|PF2|＝6，|PF1|＝8. 10．已知焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________． 答案：－＝1 解析：设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，∴·＝－1，∴c＝5.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∵双曲线过点P(4，－3)，∴－＝1，又c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线的标准方程为－＝1. 四、解答题 11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上，求双曲线C的方程． 解：由题意可知点M3，M4关于原点对称， 所以点M3，M4一定在双曲线上，而M1， 因为6>4，但<， 所以点M1不在双曲线上， 所以点M2，M3，M4在双曲线上， 则解得 所以双曲线C的方程为－y2＝1. 12．动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心C的轨迹方程． 解：如图所示，由题意， 得定圆圆心C1(－3，0)，C2(3，0)，半径r1＝3，r2＝1， 设动圆圆心为C(x，y)，半径为r， 则|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1. 两式相减，得|CC1|－|CC2|＝2<|C1C2|＝6， ∴点C的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支． ∵a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8. ∴动圆圆心C的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)． 13．当α从0到π逐渐变大时，方程x2＋y2cosα＝1表示的曲线依次为(　　) A．圆、椭圆、两条直线、双曲线 B．圆、椭圆、双曲线 C．椭圆、一条射线、双曲线、圆 D．圆、椭圆、一条直线、双曲线 答案：A 解析：当α＝0时，cosα＝1，方程x2＋y2cosα＝1即x2＋y2＝1，表示圆；当α∈时，0<cosα<1，方程x2＋y2cosα＝1表示椭圆；当α＝时，cosα＝0，方程x2＋y2cosα＝1即x＝±1，表示两条直线；当α∈时，－1≤cosα<0，方程x2＋y2cosα＝1表示双曲线． 14．过曲线C上一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若kPA·kPB＝4，求曲线C的方程． 解：设P(x0，y0)，则过点P的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0， 所以＝1， 得(x－1)k2－2x0y0k＋y－1＝0， 则kPA，kPB是此方程的两根， 所以x－1≠0，Δ＝4xy－4(x－1)(y－1)>0，即x＋y>1， 且kPA·kPB＝＝4，即4x－y＝3， 又x＋y>1，所以x>， 故曲线C的方程为4x2－y2＝3. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$