专题 1.3 全等三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.3 全等三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）全等图形 1 【题型1】全等图形的认识 1 【题型2】利用已知图形分割成几个全等图形 3 知识点（二）全等三角形 4 【题型3】全等三角形相关概念 5 知识点（三）全等三角形的性质 6 【题型4】利用全等三角形性质求值 7 【题型5】利用全等三角形性质证明 9 【题型6】全等三角形性质的应用——求网格正方形中的角度 11 【题型7】全等三角形性质的应用——动点问题 14 二．同步练习 18 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 18 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 28 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【要点说明】全等图形具有以下两个性质特征 （1） 形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 【题型1】全等图形的认识 【例题1】 （2024八年级上·江苏·专题练习）玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？    【答案】选用A型材料最省钱，要用36元 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，方案选择问题，全选A型板时，要与的正方形全等，需满足所选A型板中小正方形的总数与的正方形中小正方形的总数相等． 解：拼成的正方形全等的图案： 用A型板12块，每块3元，花费（元）， 用B型板12块，每块4元，花费（元）， 用C型板9块，每块5元，花费（元）． 所以，选用A型材料最省钱，要用36元． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 【题型2】利用已知图形分割成几个全等图形 【例题2】 （24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见分析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 解：如图所示： 【变式1】（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 【变式2】（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点拨】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 知识点（二）全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【要点说明】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2） 如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【题型3】全等三角形相关概念 【例题3】（20-21八年级下·全国·课前预习）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【点拨】本题考查全等三角形表示及性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 知识点（三）全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【要点说明】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【题型4】利用全等三角形性质求值 【例题4】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，，可得，根据，计算求解即可； （2）由，，可得，，则，由，可求，进而可求． 解：（1）解：∵，， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 解：， ， ， ， 平分，， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 解得：， ； 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，E是延长线上一点，平分，若， ，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、角平分线的性质和三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质； 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为： 【题型5】利用全等三角形性质证明 【例题5】（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）如图所示，已知，，. （1）求证：； （2）判断和的位置关系并说明理由． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，，直接根据，可以推导，关键是利用好，倒边推导出是解决本题的关键． （2）本题主要考查全的三角形的性质，利用第一问结论可以推导，最后可以判定． 解：（1）证明：∵； ∴； ∵； ∴； 即，； ∵ 在和中； ； ∴． （2）证明：∵； ∴； ∴． 【变式1】（2021·台湾·模拟预测）如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，则，由于，则，则，由此即可得到答案． 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知，且，，，四点在同一直线上，线段和线段在位置和数量上存在什么关系?并说明理由． 【答案】位置关系：，数量关系：，理由见分析． 【分析】利用，可以得出，，又，有，从而求证． 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【点拨】此题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质，平行线的判定和等角的补角相等是解题的关键． 【题型6】全等三角形性质的应用——求网格正方形中的角度 【例题6】 （2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 【变式1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型7】全等三角形性质的应用——动点问题 【例题7】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图1，当时，______（用含的式子表示）； （2）当且的面积等于面积一半时，求的值； （3）如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【答案】（1）；（2）；（3）Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质，且即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 解：（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵ ∴在上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 【变式1】（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 解：①当P在线段上时，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ②当P在线段上时，时，， 则，， ∴时间为0秒， ③当P在上，时，， ∵， ， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ④当P在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为0或6或12或18秒， 故选：D． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，即在上以及在上两种情况，根据全等三角形的性质结合题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 解：当在上，在上时，如图 ∵ ∴ ∴ 解得： ∵运动到点需要的时间为， ∴当在上，在上时，如图，此时点已经停止运动，继续运动， ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，点运动或秒时， 故答案为：或． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，不是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等图形的识别本题主要考查可能性的大小，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形，再对各选项分析即可得解． 解：A. 选项中两个图形不可能完全重合，故它们不是全等图形，故选项正确； B. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误； C. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误； D. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，可得，，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，根据图中给出的信息，x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：B． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图所示，将沿所在的直线平移到的位置，则 ，图中与 ，与 ，与 是对应角． 【答案】 / 【分析】此题考查平移的性质，全等三角形的性质，根据平移的性质及全等三角形的性质解答即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 解：将沿所在的直线平移到的位置，则，与，与，与是对应角． 故答案为：≌，． 8．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接．已知，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的性质得到∴，由此得到，即可求出的长． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键．根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 解：∵ ∴， ∴ 由题意可得，， 又∵ ∴ 故答案为； 10．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等、对应边相等”求解即可． 解：， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（22-23八年级上·福建莆田·期中）在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了全等图形，通过构建全等三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果． 解：如图所示： 由作图可知，，，，， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质及中点的性质，找到相应等量关系是解题的关键．判断各个选项的正误，要由已知条件：的出相等的角，相等的边，即可求解． 解：， ，，，， ， ，， ，， 是的中点， ， 又， ；所以①②③④均正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． （1）的度数为________； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是： （1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 14．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知，，，，与交于点H．． （1）求的度数与的长； （2）求证：． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 解：（1）解：，， ， ，， ，， ， ； （2）证明：， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． 15．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知：如图，在中，是边中点，于点，于点， （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及中点定义、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由中点定义得到，再由三角形全等的判定即可得到； （2）由（1）知，结合全等性质得到，数形结合由，代值求解即可得到答案． 解：（1）证明：∵点是边中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴． 16．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知于点，． （1）若，，求的长． （2）试判断和的关系，并说明理由 【答案】（1）3；（2），，理由见分析 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，，然后由即可得到，进而求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）∵ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴，且． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图已知点在上， 点在上，．若， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，并运用数形结合是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，结合，得到，然后在中根据三角形内角和定理求解，的值，进而可得的值，然后由求解即可． 解：， ，，， ， ， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ，， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，过点作，垂足为，若，则的度（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质．首先根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形的两个锐角互余求出． 解：如图所示， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：A． 4．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，已知，那么下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定性质，先根据，得到，，，结合证明，得到，即可得出结果． 解：， ，，， ， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意， 故选：C． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B匀速运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（    ） A． B．6或 C．或6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据四边形是长方形可得，设运动的时间为，点Q的运动速度是，根据题意分别表示出，，，再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当时，当时，分别建立方程组求解即可． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是， 依题有：，，， ①当时，， 解得：； 即点Q的运动速度为时，与全等， ②当时，， 解得：； 即点Q的运动速度为时，与全等， 综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等， 故选：B． 6．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是（   ） A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质即可判断①；结合等腰三角形的性质即可判断③；结合三角形外角性质即可判断②．掌握全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，，，， 故结论①错误，不符合题意； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论③正确，符合题意； ∵， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∴正确的结论是②③． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，相交于点 E，若，若，则 °.    【答案】48 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点，根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，求出的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：48． 9．（23-24八年级上·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为， 或， 当， ∵， ∴这种情况不存在， 当， ∴． 故答案为：10． 10．（22-23八年级上·安徽芜湖·期末）如图，已知，则的度数为 ．    【答案】/130度 【分析】先根据三角形的内角和求出，根据全等三角形的性质得出，，根据等边对等角得出，即可求出，最后根据三角形的外角定理即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；等腰三角形“等边对等角”；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大的正方形，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质，由全等三角形的性质得，，则，根据面积分割法即可解答．熟练利用全等三角形的性质是解题的关键． 解：， ，， 四边形是正方形， ，， ， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，． （1）若，则的长为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解； （2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， （2）又（1）可得， ∴， ∵， ∴    故答案为：；． 【点拨】本题考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，理解全等三角形的性质及三角形中线的概念是解题关键． 三、解答题 13．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，，点，，，在同一条直线上． （1）若，，求的度数； （2）若，，是奇数，求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形三边关系，三角形内角和定理等知识． （1）首先根据全等三角形的性质以及邻补角的定义可得，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据三角形三边关系得出，进而全等三角形的性质可得，根据，即可求解． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 即， ∴， ∵是奇数， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，，过点作直线． （1）求证： （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可． 解：（1）解：如图进行标注： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，，交于点E，． （1）求的度数； （2）平行于吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质得到，进而可证明； （2）先由平行线的性质得到，由全等三角形的性质得到，则，即可证明； （3）由，可知，然后由可求得，从而可求得的度数． 解：（1）解：， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ． ， ． ． ． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 16．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． （1）________．（用含的代数式表示） （2）如图1，当为何值时，． （3）如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 解：（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.3 全等三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）全等图形 1 【题型1】全等图形的认识 1 【题型2】利用已知图形分割成几个全等图形 2 知识点（二）全等三角形 3 【题型3】全等三角形相关概念 3 知识点（三）全等三角形的性质 4 【题型4】利用全等三角形性质求值 4 【题型5】利用全等三角形性质证明 5 【题型6】全等三角形性质的应用——求网格正方形中的角度 6 【题型7】全等三角形性质的应用——动点问题 7 二．同步练习​ 8 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 8 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 12 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【要点说明】全等图形具有以下两个性质特征 （1） 形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 【题型1】全等图形的认识 【例题1】 （2024八年级上·江苏·专题练习）玩具店有三种型号的拼板（如图所示），其中A型板每块3元，B型板每块4元，C型板每块5元．小明现在想拼一个与图中的正方形全等的图案，且只选一种型号的材料，那么小明选哪种材料最省钱，要用多少元？    【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【题型2】利用已知图形分割成几个全等图形 【例题2】 （24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【变式1】（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【变式2】（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 知识点（二）全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【要点说明】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2） 如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【题型3】全等三角形相关概念 【例题3】（20-21八年级下·全国·课前预习）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【变式2】（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    知识点（三）全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【要点说明】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【题型4】利用全等三角形性质求值 【例题4】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． （1）若的周长为，，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图， ，E是延长线上一点，平分，若， ，则 ．（用含的式子表示） 【题型5】利用全等三角形性质证明 【例题5】（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）如图所示，已知，，. （1）求证：； （2）判断和的位置关系并说明理由． 【变式1】（2021·台湾·模拟预测）如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知，且，，，四点在同一直线上，线段和线段在位置和数量上存在什么关系?并说明理由． 【题型6】全等三角形性质的应用——求网格正方形中的角度 【例题6】 （2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【变式1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【题型7】全等三角形性质的应用——动点问题 【例题7】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在中，，，，．动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图1，当时，______（用含的式子表示）； （2）当且的面积等于面积一半时，求的值； （3）如图2，在中，，，，．在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止．当时，点的运动速度为______． 【变式1】（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，，垂足为C，，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动（　　）秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等．（注意：两个直角三角形中，如果有斜边和直角边对应相等，两个直角三角形也是全等的）    A．3 B．6 C．6或12 D．0或6或12或18 【变式2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列各组图形中，不是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·四川雅安·期末）如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，根据图中给出的信息，x的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图所示，将沿所在的直线平移到的位置，则 ，图中与 ，与 ，与 是对应角． 8．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接．已知，若，则的长为 ． 9．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 11．（22-23八年级上·福建莆田·期中）在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （填序号） 三、解答题 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． （1）的度数为________； （2）求的度数． 14．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知，，，，与交于点H．． （1）求的度数与的长； （2）求证：． 15．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知：如图，在中，是边中点，于点，于点， （1）求证：； （2）若，，求的面积． 16．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知于点，． （1）若，，求的长． （2）试判断和的关系，并说明理由 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图已知点在上， 点在上，．若， 则（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，过点作，垂足为，若，则的度（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，已知，那么下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B匀速运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（    ） A． B．6或 C．或6 D． 6．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，若是边上任意一点，，连接，在①，②，③中，所有正确的结论是（   ） A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，相交于点 E，若，若，则 °.    9．（23-24八年级上·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 10．（22-23八年级上·安徽芜湖·期末）如图，已知，则的度数为 ．    11．（2025·湖南·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大的正方形，连接．若，则的面积为 ． 12．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，． （1）若，则的长为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，，点，，，在同一条直线上． （1）若，，求的度数； （2）若，，是奇数，求的长度． 14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，，过点作直线． （1）求证： （2）求证：． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，，交于点E，． （1）求的度数； （2）平行于吗？说明理由； （3）求∠BAC的度数． 16．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． （1）________．（用含的代数式表示） （2）如图1，当为何值时，． （3）如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$