专题 1.2 定义、命题与证明（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.2 定义、命题与证明 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）定义 1 【题型1】定义的概念认识 1 知识点（二）命题 2 【题型2】命题的判断 2 【题型3】命题的的构成 3 【题型4】命题的真假——判断 3 【题型5】命题的真假——举反例 4 知识点（三）证明 4 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 4 【题型7】三角形内角和与外角性质综合证明 5 二．同步练习 6 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 6 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 9 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）定义 1.概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义. 【要点提示】 （1）定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如 “一些”“大概”“差不多” 等. （2）正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来. （3）定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用. 【题型1】定义的概念认识 【例题1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列语句中，属于定义的是 ．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）小明给“中心对称图形”下定义：“把一个图形绕某一点旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形”，小刚认为其定义不严谨，则正确的定义为： ． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 知识点（二）命题 1.概念：判断一件事情的句子叫做命题. 【题型2】命题的判断 【例题2】（辽宁省鞍山市2024-2025学年七年级下学期期末质量调查数学试卷）下列语句中，不是命题的是（    ） A．相等的两个角是对顶角 B．如果，那么 C．延长线段 D．同位角相等 【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句是命题的有（　　）个． ①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．3 B．4 C．5 D．6 2.命题的组成：命题由条件（题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3.命题的形式：命题一般为 “如果……，那么……” 的形式，其中“如果” 后接的是条件，“那么” 后接的是结论.有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成 “如果……，那么……” 的形式. 【题型3】命题的的构成 【例题3】（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： （1）等角的补角相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 4.命题的种类： （1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题. （2）假命题：命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题. 【题型4】命题的真假——判断 【例题4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列命题中，假命题有（   ）． 内错角相等； 每个内角比外角大的正多边形是正六边形； 如果两个数的和大于，那么这两个数中至少有一个是正数； 等角的补角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【题型5】命题的真假——举反例 【例题5】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． （1）两个锐角的和是锐角； （2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； （3）如果，那么． 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 知识点（三）证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例题6】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【题型7】三角形内角和与外角性质综合证明 【例题7】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，是的平分线，且． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，直线，，平分，交的延长线与E. （1）若，，求的度数； （2）求证：. 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． （1）求证：； （2）求证：． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直线和垂直吗 B．规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴 C．过线段的中点作的垂线 D．同旁内角互补，两直线平行 2．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．同位角相等，两直线平行 4．（24-25七年级下·陕西安康·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江西南昌·期中）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 10．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在 的手上． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 12．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点的角平分线交的反向延长线于点．则下列结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 三、解答题 13．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 14．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． （1）求证：； （2）若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 15．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 16．（24-25八年级上·河南焦作·期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出来的．在探索中，有人利用如图所示的图形逐步实现特定条件下角的三等分，图中四边形是长方形，F是延长线上一点，E是上一点，并且，． （1）和相等的角还有______，理由______． （2）证明： 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）通过下面几个图形说明“锐角，锐角的和是锐角”，其中错误的例证图是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）下列语句中，是真命题的是（   ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·二模）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图2），其中，，，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（22-23七年级下·广西玉林·期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（2024七年级下·江苏·专题练习）将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 8．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 9．（22-23八年级上·北京·期中）用来证明“若，则”是假命题的的值可以是 （举出一个即可） 10．（23-24七年级下·北京房山·期末）用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 11．（2025·湖南长沙·二模）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知，E是直线上方一点，G为直线下方一点，F为直线上一点，，，，则和的数量关系为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，请你从三个选项①，②平分，③． （1）请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，写出一个命题； （2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 14．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角． （1）请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ （2）证明你所构建的命题是真命题． 15．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． （1）如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． （2）当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 16．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.2 定义、命题与证明 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）定义 1 【题型1】定义的概念认识 1 知识点（二）命题 3 【题型2】命题的判断 3 【题型3】命题的的构成 4 【题型4】命题的真假——判断 6 【题型5】命题的真假——举反例 7 知识点（三）证明 9 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 9 【题型7】三角形内角和与外角性质综合证明 11 二．同步练习 14 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 14 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 24 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）定义 1.概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义. 【要点提示】 （1）定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如 “一些”“大概”“差不多” 等. （2）正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来. （3）定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用. 【题型1】定义的概念认识 【例题1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列语句中，属于定义的是 ．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 【答案】 【分析】此题考查了定义，根据相反数、补角的定义和对顶角、邻补角、三角形的外角性质判断. 解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，不属于定义； 只有符号不同的两个数称为互为相反数，属于定义； 你的作业做完了吗？，不属于定义； 天空真蓝啊，不属于定义； 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角，属于定义． 故答案为：. 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）小明给“中心对称图形”下定义：“把一个图形绕某一点旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形”，小刚认为其定义不严谨，则正确的定义为： ． 【答案】把一个图形绕某一点旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟记定义是解题的关键； 中心对称图形的定义中心对称图形的关键在于旋转特定角度后与自身重合．小明定义中 “绕某一点旋转后的图形就是其本身”没有明确度数，补充重新定义即可； 解：∵中心对称图形的定义中心对称图形的关键在于旋转特定角度后与自身重合． ∴正确的定义为：把一个图形绕某一点旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形； 故答案为：把一个图形绕某一点旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可． 解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定， 所以都不是定义，只有是定义． 故选：C． 知识点（二）命题 1.概念：判断一件事情的句子叫做命题. 【题型2】命题的判断 【例题2】（辽宁省鞍山市2024-2025学年七年级下学期期末质量调查数学试卷）下列语句中，不是命题的是（    ） A．相等的两个角是对顶角 B．如果，那么 C．延长线段 D．同位角相等 【答案】C 【分析】该题考查了命题，命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．逐一分析选项是否为陈述句且能判断真假． 解：A．“相等的两个角是对顶角”是陈述句，可判断为假（相等的角不一定是对顶角），属于命题． B．“如果，那么”是陈述句，逻辑上为真，属于命题． C．“延长线段”是祈使句，表示指令而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． D．“同位角相等”是陈述句，虽可能为假（需特定条件），但仍可判断真假，属于命题． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【答案】D 解：此题考查了命题的定义， 根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．需逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假． 【分析】A．“画”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． B．“三条直线两两相交，有几个交点呢？”是疑问句，未陈述事实，无法判断真假，故不是命题． C．“今天真冷呀！”是感叹句，且“冷”是主观感受，无法客观判断真假，故不是命题． D．“天水是中国历史文化名城”是陈述句，且天水确为中国历史文化名城（事实为真），可明确判断真假，因此是命题． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句是命题的有（　　）个． ①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 解：本题考查命题，判断事件的语句叫命题．掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。根据命题的定义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案． 【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题； ②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题； ③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题； ④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题； ⑤对事件作出了判断（式子的值都是质数），是命题； ⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题． 综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个， 故选B． 2.命题的组成：命题由条件（题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3.命题的形式：命题一般为 “如果……，那么……” 的形式，其中“如果” 后接的是条件，“那么” 后接的是结论.有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成 “如果……，那么……” 的形式. 【题型3】命题的的构成 【例题3】（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： （1）等角的补角相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等）；（2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．根据命题的概念解答即可． 解：（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等）； （2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 4.命题的种类： （1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题. （2）假命题：命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题. 【题型4】命题的真假——判断 【例题4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】（1）假；（2）添加，理由见分析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 解：（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列命题中，假命题有（   ）． 内错角相等； 每个内角比外角大的正多边形是正六边形； 如果两个数的和大于，那么这两个数中至少有一个是正数； 等角的补角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题，正多边形内角与外角的关系，平行线的性质，有理数的加法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据正多边形内角与外角的关系，平行线的性质，有理数的加法，等角的补角相等逐一判断即可． 解：两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； 设外角为，则每个内角为， ∴，解得：， ∴正多边形的边数是，即为正八边形，原命题是假命题； 如果两个数的和大于，那么这两个数中至少有一个是正数，原命题是真命题； 等角的补角相等，原命题是真命题， ∴假命题有个， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 【答案】1 【分析】根据平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算进行判断即可． 解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，那么或，故原命题是假命题； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题； ④例如，则，故原命题是假命题； 即真命题的有1个， 故答案为：1． 【点拨】本题考查命题与定理、平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【题型5】命题的真假——举反例 【例题5】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． （1）两个锐角的和是锐角； （2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； （3）如果，那么． 【答案】（1）假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一）；（2）真命题；（3）假命题．反例：，有，但（举反例不唯一） 【分析】本题主要考查了命题，锐角的性质，平行线的性质，等式的性质等知识点， （1）通过举反例即可得解； （2）由平行线的公理可得解； （3）通过举反例即可得解； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 解：（1）解：假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一）； （2）解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是公理，是真命题； （3）解：假命题．反例：，有，但（举反例不唯一）． 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明“若，则”是假命题，通过满足但的例子逐一排除即可，理解题意是解题关键． 解：、∵，， ∴，，此时，不满足，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵， ∴成立，不是反例，排除，不符合题意； 、∵，， ∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意； 故选：． 【变式2】（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 知识点（三）证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【题型6】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【例题6】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 解：定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；（2）见分析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 解：（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【题型7】三角形内角和与外角性质综合证明 【例题7】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，是的平分线，且． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线有关的计算，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的性质得，运用三角形外角性质以及，进行角的等量代换得，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质，得出，再结合以及由（1）中，进行计算，即可作答． 解：（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， 即． 【变式1】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）如图，直线，，平分，交的延长线与E. （1）若，，求的度数； （2）求证：. 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及三角形外角性质得到，即可求解； （2）设，设，由三角形外角性质得到，根据平行得到，由三角形内角和定理得到，那么，即可证明． 解：（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图： 设， ∵平分， ∴， 设， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 二．同步练习​ 1. 基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直线和垂直吗 B．规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴 C．过线段的中点作的垂线 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理的理解及运用，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案，熟知定义的概念是解题的关键． 解：直线和垂直吗，这是一个疑问句，不是定义，故A不符合题意； 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴是定义，故B符合题意； 过线段的中点作的垂线，这是一个作法，不是定义，故C不符合题意； 同旁内角互补，两直线平行是一个定理，不是定义，故D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）下列命题是假命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．同位角相等，两直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据对顶角，垂线段最短，两点之间线段最短，平行线的判定，逐项判断，即可求解． 解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但并非对顶角，故A是假命题，故本选项符合题意； B．垂线段最短是垂线段定理，是真命题，故本选项不符合题意； C．两点之间线段最短是基本事实，是真命题，故本选项不符合题意； D．同位角相等则两直线平行，是平行线判定定理，是真命题，故本选项不符合题意． 故选：A 4．（24-25七年级下·陕西安康·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答即可．要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子． 解：选项A（）：，满足条件，但，结论成立，不能作为反例． 选项B（）：，不满足条件，无法作为反例． 选项C（）：，满足条件，但，结论不成立，符合反例要求． 选项D（）：，满足条件，且，结论成立，不能作为反例． 综上，选项C是符合要求的反例， 故选C． 5．（24-25七年级下·江西南昌·期中）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了假命题，反例，理解并掌握反例的验证方法是关键．根据题意，分别验证即可求解． 解：A、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意； B、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意； C、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意； D、是两个锐角，是锐角，故两个锐角的和一定是钝角为假命题，是反例，符合题意； 故选：D ． 6．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的性质可得． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可． 解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 【答案】－2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 解：当时，， 说明命题“对于任何实数，”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 【答案】 两直线平行 【分析】本题考查了真命题，按照条件补充完整结论即可，熟知正确的命题是真命题是解题的关键． 解：（1）内错角相等，两直线平行，是真命题 ； （2）如果，那么，是真命题， 故答案为：两直线平行；． 10．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在 的手上． 【答案】小刚 【分析】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚说法均正确，不符合要求；若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华同学说法均正确，不符合要求；若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上，进而可得答案． 解：由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚同学说法正确，故不符合要求； 若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华说法正确，故不符合要求； 若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上， ∴当三个同学中只有一个说对了，则硬币在小刚的手上， 故答案为：小刚． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）． 【答案】是 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，延长，交于点，的延长线与交于点，根据三角形外角的性质结合已知条件得出，即可求解． 解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示： 则． ． ． 故答案为：是． 12．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点的角平分线交的反向延长线于点．则下列结论： ①； ②； ③若，则； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】过点P作，得证．故①正确；同理可证，故②错误；设的交点为G，利用平行线的性质，解答即可． 解：过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故①正确； 同理可证，． ∵和的角平分线相交于点， ∴， ∴， ， 故②错误； 设的交点为G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的角平分线交的反向延长线于点． ∴， ∴, 则, 故③正确； ∵ ∴， ∴； ∵， ∴， ∵的角平分线交的反向延长线于点． ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确， 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，角的平分线应用，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 三、解答题 13．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了命题： （1）先判断命题的真假，若是真命题，写成“如果……那么……”的形式； （2）根据每个命题写出反例即可． 解：（1）①是命题、且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行． ②不是命题． ③是命题，且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． （2）①反例：对顶角相等，但不是同位角． ②反例：的角不是钝角． 14．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知、、分别是线段、、上的点，，． （1）求证：； （2）若把原题设中“”与结论“”互换，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是，理由见分析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：所得命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平角的定义．根据平角的定义可得：，又因为，可证，根据，可得，根据外角的性质可得：，从而可证结论成立． 解：证明：，， ， ， ， 是的外角， ， ． 16．（24-25八年级上·河南焦作·期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出来的．在探索中，有人利用如图所示的图形逐步实现特定条件下角的三等分，图中四边形是长方形，F是延长线上一点，E是上一点，并且，． （1）和相等的角还有______，理由______． （2）证明： 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；（2）见分析 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的性质，三角形外角定理，熟练掌握三角形的外角定理是解答本题的关键． （1）由长方形的对边平行可得， （2）由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，那么，所以． 解：（1）解：∵四边形是长方形   ∴， ∴，又， 和相等的角还有 ， 理由：两直线平行，内错角相等． （2）证明：∵，是的外角 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 2. 能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）通过下面几个图形说明“锐角，锐角的和是锐角”，其中错误的例证图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角和定理，熟练掌握三角形的外角和是解题的关键．根据三角形的外角和定理进行判定即可． 解：锐角，锐角的和是钝角；故选项A符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项B不符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项C不符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项D不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）下列语句中，是真命题的是（   ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查真命题的判断，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据锐角与钝角的和、同旁内角性质、命题的定义及补角的性质进行判断即可． 解：两个锐角的和可能是锐角，直角，钝角，故选项A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故选项B为假命题； 过一点作直线的垂线不是命题，故选项C错误； 同角的补角相等，故选项D为真命题； 故选D． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反例，要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子即可，理解反例的概念是解题的关键． 解：、当，时， ，不满足，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论成立，不能作为反例，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论不成立，符合反例要求； 、当，时， ，不满足，不合题意； 综上，只有选项满足且， 故答案为：． 4．（2025·广东深圳·二模）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图2），其中，，，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质计算，由平行线的性质可得，，即可得解． 解：过点作 ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 5．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，不等式的性质，真、假命题．解题的关键在于对等式进行合理的等量代换．由，，可得，进而可判断A的真假；由，可得，，则，整理得，，进而可判断B的真假；由，且，，可得，整理得，，计算求解，可判断C的真假；由，整理得，，由，可得，进而可判断D的真假． 解：∵，， ∴，正确，A为真命题，故不符合要求； ∵， ∴，， ∴，整理得，，正确，B为真命题，故不符合要求； ∵，且，， ∴，整理得，，解得或，错误，C为假命题，故符合要求； ∵，且， ∴，整理得，， ∵， ∴，正确，D为真命题，故不符合要求； 故选：C． 6．（22-23七年级下·广西玉林·期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用平行线的性质及判定，即可判断①③④，根据锐角和钝角的特点即可判断②，分别判断后确定正确的选项，即可解题． 解：①两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题； ②两个锐角的和不一定是钝角，故原命题是假命题； ③，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题； ④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题． 综上所述，真命题有2个． 故选：B． 二、填空题 7．（2024七年级下·江苏·专题练习）将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是同一个角的补角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 8．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 【答案】①② 【分析】逐个判断各个命题的真假即可． 解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意； ③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意； ④若，则，故④为真命题，不符合题意； 综上：假命题有①②， 故答案为：①②． 【点拨】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 9．（22-23八年级上·北京·期中）用来证明“若，则”是假命题的的值可以是 （举出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的性质解答即可． 解：当，时，，即， ∴命题“若，则”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，不等式的性质．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 10．（23-24七年级下·北京房山·期末）用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 3 4 【分析】此题考查了举反例和不等式的性质，真假命题，根据题意举出反例即可． 解：当时，满足，但是，， ∴“如果，那么”是假命题，这组值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 11．（2025·湖南长沙·二模）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ． 【答案】258 【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果． 解：根据题意，列出所有可能的排列： 密码由2、5、8组成，共有6种排列： 258，285，528，582，825，852 根据婷婷的条件：2不在末位； 排除末位为2的排列： ∴剩余候选：258，285，528，825， 应用乐乐的条件：5和8相邻， ∴剩余候选：258，285 应用香香的条件：中间位不是8， 最终剩余：258； 故答案为：258． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知，E是直线上方一点，G为直线下方一点，F为直线上一点，，，，则和的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的拐点问题，涉及到了三角形外角的性质，解题关键是牢记平行线的性质，本题通过构造同位角和内错角进行角的转化即可求解． 解：延长和分别交和于点H，点K， 因为， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为： ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，请你从三个选项①，②平分，③． （1）请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，写出一个命题； （2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 【答案】（1）①②作为条件，③作为结论；或①③为条件，②为结论；或②③件，①作为结论；（2）真命题，理由见分析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据条件分别进行证明即可． 解：（1）解：条件：①，②平分，结论：③； 条件：①，③，结论：②平分 条件：②平分，③，结论：① （2）条件：①，②平分，结论：③； 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故该命题为真命题； 条件：①，③，结论：②平分 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故该命题为真命题； 条件：②平分，③，结论：① 证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴，故该命题为真命题. 14．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角． （1）请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ （2）证明你所构建的命题是真命题． 【答案】（1）①②，③；（2）见分析 【分析】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）； （2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 解：（1）解：选择①②当条件，③为结论； 故答案为：①②，③． （2）解：已知：是的一个外角，，平分， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 即选择①②当条件，③为结论，构成真命题． 【点拨】本题考查了真命题，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，等边对等角等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 15．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． （1）如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． （2）当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】（1）①，；②见分析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；（2），或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 解：（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 16．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 【答案】（1）①，；②；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． （1）①由平行线的性质和平角的定义进行解答即可；②由平行线的性质和平角的定义进行解答即可； （2）过点C作直线，则，根据平角的定义即可证明结论； （3）延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出． 解：（1）解：①解：∵，，， ∴， ∴ ②∵， ∴， ∴ 故答案为： （2）证明：如图，过点C作直线， ∴， ∴ （3）解：延长分别交于点H，Q，如图， ∵，， ∴ 过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$