2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程 -【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式和斜截式． 教学重点：1.直线的方程、方程的直线的概念.2.直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 教学难点：直线的点斜式方程与斜截式方程的相互转化． 核心素养：1.通过学习直线的点斜式方程和直线的斜截式方程及直线的方程和方程的直线的概念提升数学抽象素养.2.通过应用直线的点斜式方程和斜截式方程解决问题培养数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　直线的方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的______，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的______都在直线l上，则称____________为直线l的方程，而__________l称为方程F(x，y)＝0的直线．此时，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，并且记作l：F(x，y)＝0. 知识点二　直线的点斜式方程 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程为________________，称为直线的点斜式方程． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线的方程为________，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线的方程为________． 解 点 F(x，y)＝0 直线 y－y0＝k(x－x0) y＝y0 x＝x0 核心概念掌握 5 知识点三　直线的斜截式方程 (1)一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的________为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的_______为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线的方程为___________，称为直线的斜截式方程． (2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是________________，b的几何意义是__________________________________． 截距 截距 y＝kx＋b 直线的斜率 直线的截距(即直线在y轴上的截距) 核心概念掌握 6 [想一想]　直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同吗？ 提示：直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零． 核心概念掌握 7 1．(直线的点斜式方程)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 核心概念掌握 8 2 y＝2x＋3 核心概念掌握 9 核心素养形成 核心素养形成 11 (2)分别求满足下列条件的直线的方程． ①过点(－1，2)且斜率为3； ②过点(－1，2)且与x轴平行； ③过点(－1，2)且与x轴垂直； ④已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°； ⑤过点(－1，2)且直线的一个方向向量为a＝(2，－1)． 核心素养形成 12 核心素养形成 13 核心素养形成 14 【跟踪训练】 1．(1)直线的方程y－y0＝k(x－x0)(　　) A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线 C．不能表示与y轴垂直的直线 D．不能表示与x轴垂直的直线 解析：该直线的方程为点斜式方程，斜率为k且一定存在，故不能表示与x轴垂直的直线．故选D. 核心素养形成 15 (2)分别求满足下列条件的直线的方程． ①过点P(－4，3)，斜率k＝－3； ②过点P(3，－4)，且与x轴平行； ③经过点(－5，2)且平行于y轴； ④过点P(1，2)且与直线y＝2x＋1的斜率相等； ⑤过点P(4，－2)，倾斜角为150°； ⑥过两点A(1，3)，B(2，5)． 核心素养形成 16 解:　①∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3， ∴直线的点斜式方程为y－3＝－3(x＋4)，即y＝－3x－9. ②与x轴平行的直线，其斜率k＝0， ∴直线的点斜式方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4. ③∵直线平行于y轴，∴直线斜率不存在， ∴直线的方程为x＝－5. ④由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1，2)， ∴直线的点斜式方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 核心素养形成 17 核心素养形成 18 题型二　直线的斜截式方程　 例2　(1)直线l：y＝2x－1的斜率为________，在y轴上的截距为________． 解析　由直线的方程可知直线l的斜率为2，令x＝0，得y＝－1，故直线l在y轴上的截距为－1. 2　 －1 核心素养形成 19 核心素养形成 20 【感悟提升】直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线的方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，通常把直线的方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 核心素养形成 21 【跟踪训练】 2．(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程． 解：易知直线的斜率k＝－1，截距b＝－2，由直线方程的斜截式知，所求直线的方程为y＝－x－2. 核心素养形成 22 核心素养形成 23 (3)已知直线的方程为y＋1＝－2(x－1)，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 解：直线的方程y＋1＝－2(x－1)可化为y＝－2x＋1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，与y轴交点的坐标为(0，1)． 核心素养形成 24 随堂水平达标 1．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通过点(－2，0)的所有直线 B．通过点(2，0)的所有直线 C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线 解析：由方程y＝k(x－2)知直线过点(2，0)，且直线的斜率存在．故选C. 随堂水平达标 26 2．下列直线中，倾斜角最大的是(　　) A．y＝0 B．y＝1－x C．x＝1 D．y＝x－1 解析：易得直线y＝0的倾斜角为0°；因为直线y＝1－x的斜率为－1，所以直线y＝1－x的倾斜角为135°；易得直线x＝1的倾斜角为90°；因为直线y＝x－1的斜率为1，所以直线y＝x－1的倾斜角为45°.综上，倾斜角最大的是直线y＝1－x.故选B. 随堂水平达标 27 随堂水平达标 28 4．经过点(2，1)，且倾斜角为45°的直线的方程是(　　) A．y＝x－3 B．y＝x＋1 C．y＝－x＋3 D．y＝x－1 解析：由题意，得直线斜率为tan45°＝1，又过点(2，1)，所以直线的方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1.故选D. 随堂水平达标 29 5．与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线l的斜截式方程是______________． 随堂水平达标 30 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 斜截式方程的定义 求直线过的定点 已知点和倾斜角求参数 求直线的斜截式方程 直线的识别 已知点和法向量求直线的方程 已知直线的截距求参数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 考点 已知点和倾斜角求直线的方程 求直线的斜截式 方程 已知点和倾斜角求直线的方程 直线的识别 直线过整点问题 求直线的点斜式方程 求直线的斜截式方程 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 一、选择题 1．下面四个直线的方程中，是直线的斜截式方程的是(　　) A．x＝3 B．y＝3x－5 C．y－2＝3(x－1) D．x＝4y－1 解析：由直线的斜截式方程的定义可知选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 2．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为(　　) A．(3，1) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，3) 解析：将直线的方程y＝k(x－2)＋3化为点斜式为y－3＝k(x－2)，由点斜式可知该直线必过定点(2，3)．故选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 4．直线l的斜率为方程x2－2x＋1＝0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋5 B．y＝x－5 C．y＝x＋5 D．y＝5 解析：因为方程x2－2x＋1＝0的根为1，所以直线l的斜率k＝1，直线l的方程为y＝x＋5.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 5．(多选)直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx＋a在同一平面直角坐标系内的位置可能是(　　) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 二、填空题 6．已知P(2，3)是直线l上一点，且n＝(1，－2)是直线l的一个法向量，则直线l的方程为____________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 7．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若直线l在y轴上的截距为7，则m＝________． 解析：在直线l的方程y－m＝(m－1)(x＋1)中，令x＝0，得y＝2m－1.因为直线l在y轴上的截距为7，所以2m－1＝7，所以m＝4. 4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 三、解答题 9．写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2； (2)直线过点(3，1)且在y轴上的截距为－1. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 11．(多选)已知k∈R，b＝k2－2k＋3，则直线y＝kx＋b可能是(　　) 解析：∵b＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2，∴直线y＝kx＋b在y轴上的截距不小于2，且当b＝2时，k＝1，故D正确，B不正确；当b＝3时，k＝0或k＝2，故A，C正确．故选ACD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 12．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点； ③如果直线l经过两个不同的整点，则直线l必经过无穷多个整点； ④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充要条件是k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． ①③⑤ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 　　　　　　　　　　　　　 R 2．(直线在y轴上的截距)已知直线l：y＝2－eq \r(3)x，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距为________． 3．(直线的斜截式方程)斜率为2，过点A(0，3)的直线的斜截式方程为______________． －eq \r(3) 题型一　直线的点斜式方程　 例1　(1)(多选)已知直线的方程是y＋1＝eq \r(3)(x－2)，则(　　) A．这是直线的点斜式方程 B．直线经过点(2，1) C．直线的斜率为eq \r(3) D．直线的倾斜角为60° 解析　y＋1＝eq \r(3)(x－2)是直线的点斜式方程，故A正确；直线y＋1＝eq \r(3)(x－2)经过点(2，－1)，故B错误；直线y＋1＝eq \r(3)(x－2)的斜率为eq \r(3)，倾斜角为60°，故C，D正确．故选ACD. 解　①y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5. ②y＝2. ③x＝－1. ④直线的斜率k＝tan60°＝eq \r(3)，AB的中点为(1，4)，则该直线的方程为y－4＝eq \r(3)(x－1)，即y＝eq \r(3)x－eq \r(3)＋4. ⑤直线的一个方向向量为a＝(2，－1)，则直线的斜率k＝eq \f(－1,2)＝－eq \f(1,2)，故直线的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x＋1)，即y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2). 【感悟提升】关于点斜式方程的几点说明 (1)直线的点斜式方程使用的前提是斜率存在．当斜率不存在时，直线没有点斜式方程，其方程为x＝x0. (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝eq \f(y－y0,x－x0)不是等价的，前者表示整条直线，后者表示一条直线去掉点P(x0，y0)． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)且不垂直于x轴的无数条直线． ⑤∵倾斜角为150°， ∴直线的斜率k＝tan150°＝－eq \f(\r(3),3)， ∴直线的点斜式方程为y＋2＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)， 即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)－2. ⑥∵直线的斜率k＝eq \f(5－3,2－1)＝2， ∴直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1)， 即y＝2x＋1. 解　①由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y＝2x＋5. ②因为倾斜角为30°，所以直线的斜率为tan30°＝eq \f(\r(3),3). 由斜截式可得所求直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－2. ③由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3. (2)根据条件写出下列直线的斜截式方程． ①斜率为2，在y轴上的截距是5； ②倾斜角为30°，在y轴上的截距是－2； ③斜率为eq \r(3)，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：由于直线斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线的方程为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化为斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4. (2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线的斜截式方程． 3．(多选)关于直线的方程，下列说法中正确的是(　　) A．方程k＝eq \f(y－2,x－1)与方程y－2＝k(x－1)可表示同一条直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为eq \f(π,2)，则其方程为x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1 D．所有直线都有点斜式和斜截式方程 解析：k＝eq \f(y－2,x－1)中，x≠1，y－2＝k(x－1)中，x∈R，x的取值范围不同，不能表示同一条直线，故A不正确；B，C正确；斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，故D不正确． 解析：∵直线y＝2x＋1的斜率为2，∴直线l的斜率是－eq \f(1,2)，∴直线l的斜截式方程为y＝－eq \f(1,2)x＋4. y＝－eq \f(1,2)x＋4 3．直线y＝kx－1的倾斜角为135°，且过点P(eq \r(3)，a)，则a＝(　　) A．－eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1 C．－3 D．3 解析：因为直线y＝kx－1的倾斜角为135°，所以k＝tan135°＝－1，所以直线的方程为y＝－x－1，又该直线过点(eq \r(3)，a)，所以a＝－eq \r(3)－1. 解析：对于A，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，A不符合题意；对于B，当ab<0时，B符合题意；对于C，当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b＝0))时，C符合题意；对于D，其中一条直线的斜率不存在，D不符合题意．故选BC. 解析：因为n＝(1，－2)是直线l的一个法向量，所以直线l的斜率k＝eq \f(1,2)，又P(2，3)是直线l上一点，所以直线l的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，整理得y＝eq \f(1,2)x＋2. y＝eq \f(1,2)x＋2 8．设直线l过点(－4，0)，其倾斜角的余弦值为eq \f(4,5)，则直线l的方程为________________． 解析：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则cosθ＝eq \f(4,5)，∴sinθ＝eq \f(3,5)，tanθ＝eq \f(3,4)，即直线l的斜率为eq \f(3,4)，由直线l过点(－4，0)，得直线l的方程为y－0＝eq \f(3,4)(x＋4)，即y＝eq \f(3,4)x＋3. y＝eq \f(3,4)x＋3 解：(1)斜率k＝tan45°＝1，截距b＝2，所以直线的斜截式方程为y＝x＋2. (2)由题知直线过(3，1)，(0，－1)两点，则直线的方程为y＋1＝eq \f(1＋1,3－0)(x－0)，即y＝eq \f(2,3)x－1. 10．直线l1过点P(－1，2)，且斜率为－eq \f(\r(3),3)，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得到直线l2，求直线l1和l2的方程． 解：设直线l1的斜率为k1，倾斜角为α1，直线l2的斜率为k2，倾斜角为α2. 直线l1的方程是y－2＝－eq \f(\r(3),3)(x＋1)． 即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋2－eq \f(\r(3),3). ∵k1＝－eq \f(\r(3),3)＝tanα1，∴α1＝150°. 如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°， 得到直线l2，其倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan120°＝－eq \r(3)， ∴l2的方程为y－2＝－eq \r(3)(x＋1)，即y＝－eq \r(3)x＋2－eq \r(3). 解析：对于①，令y＝x＋eq \f(1,2)，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，取k＝eq \r(2)，b＝－eq \r(2)，直线y＝eq \r(2)x－eq \r(2)经过整点(1，0)，故②错误；对于③，设直线经过整点(x1，y1)，(x2，y2)，x1，y1，x2，y2∈Z，当x1＝x2时，直线的方程为x＝x2，经过无穷多个整点；当x1≠x2时，则直线斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)∈Q，不妨设为k＝eq \f(p,q)(p，q∈Z，q≠0)，则直线l：y－y1＝eq \f(p,q)(x－x1)，它经过(x1＋qn，y1＋pqn－1)(n∈N*)无穷多个整点，故③正确；对于④，当k，b都为有理数时，可能不经过整点，例如k＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，故④错误；对于⑤，直线y＝eq \r(2)x只经过一个整点(0，0)，故⑤正确．故所有正确命题的序号为①③⑤. 13．已知直线m的一个方向向量为v＝(3，eq \r(3))，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍．分别求满足下列条件的直线l的点斜式方程： (1)过点P(3，－4)； (2)与y轴的交点为(0，－3)． 解：∵直线m的一个方向向量为v＝(3，eq \r(3))， ∴直线m的斜率为eq \f(\r(3),3)，则倾斜角为30°， ∴直线l的倾斜角为60°，∴直线l的斜率为tan60°＝eq \r(3). (1)∵直线l过点P(3，－4)， ∴直线l的点斜式方程为y－(－4)＝eq \r(3)(x－3)． (2)∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， ∴直线l的点斜式方程为y－(－3)＝eq \r(3)(x－0)． 14．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的斜截式方程． (1)过点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). 解：(1)由题意，知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4(k≠0)， 则它在x轴、y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4， 由已知，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（3k＋4）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,k)－3))))＝6，解得k＝－eq \f(2,3)或－eq \f(8,3). ∴直线l的斜截式方程为y＝－eq \f(2,3)x＋2或y＝－eq \f(8,3)x－4. (2)设直线l在y轴上的截距为b， 则直线l的斜截式方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，解得b＝±1. ∴直线l的斜截式方程为y＝eq \f(1,6)x＋1或y＝eq \f(1,6)x－1. $$