2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率　 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量与法向量的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 核心素养：1.通过学习直线的倾斜角、直线的斜率、直线的方向向量与法向量这些概念提升数学抽象素养.2.通过利用过两点的直线的斜率公式解决问题提升数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的_____________记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为_____． (2)范围：[0，π)． 最小正角 0° 核心概念掌握 5 [点拨]　对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 核心概念掌握 6 知识点二　直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称__________为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率_________． (2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l 的斜率为k＝_____________，当x1＝x2时，直线l的斜率__________． [提醒]　(1)k的大小与A，B两点的位置无关． (2)当直线的斜率存在时，斜率是唯一的． (3)常用斜率表示直线的倾斜程度． k＝tanθ 不存在 不存在 核心概念掌握 7 [想一想]　直线的倾斜角与斜率是一一对应的吗？它们之间有什么关系？ 核心概念掌握 8 知识点三　直线的方向向量 (1)定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l_____________，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作__________． (2)性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量______都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定______． ②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝__________________ 是直线l的一个方向向量． 平行或重合 a∥l λa 共线 (x2－x1，y2－y1) 核心概念掌握 9 ③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量． ④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率_________，倾斜角为________；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而直线l的斜率k＝________，因此可知倾斜角满足tanθ＝________． 知识点四　直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l______，则称向量v为直线l的一个法向量，记作______．一条直线的方向向量与法向量互相_______． 不存在 90° 垂直 v⊥l 垂直 核心概念掌握 10 1．(直线的倾斜角)如图所示，直线l的倾斜角为________． 2．(直线的斜率)若直线的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________． 3．(直线的方向向量与法向量)已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为___________________________；一个法向量为________________________；斜率为________． 135° (－3，－1)(答案不唯一) (－1，3)(答案不唯一) 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　直线的倾斜角　 例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° 核心素养形成 13 解析　通过画图可知，当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，如图(1)；当135°≤α<180°时，倾斜角为α＋45°－180°＝α－135°，如图(2)．故选D. 核心素养形成 14 【感悟提升】求直线倾斜角的注意点 (1)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析． (2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. 核心素养形成 15 【跟踪训练】 1．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为_______________． 解析：有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 60°或120° 核心素养形成 16 核心素养形成 17 核心素养形成 18 核心素养形成 19 【跟踪训练】 2．(1)已知点P1(3，5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k＝________． 2 核心素养形成 20 (2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________． 1 核心素养形成 21 解析　由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中，当a＝0时，不成立．故选ACD. 核心素养形成 22 (2)已知v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围． 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 核心素养形成 26 题型四　三点共线问题　 例4　已知点A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)在同一直线上，求a的值． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 【跟踪训练】 4．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值． 核心素养形成 29 随堂水平达标 1．(多选)在下列四个命题中，正确的是(　　) A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0 B．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α C．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanα D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 随堂水平达标 31 随堂水平达标 32 随堂水平达标 33 3．若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，则实数m的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 随堂水平达标 34 随堂水平达标 35 随堂水平达标 36 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 求直线的法 向量 已知两点及直线的倾斜角求参数 比较斜率的大小 判断三点是否共线 求直线的斜率；求直线的倾斜角；求直线的方向向量 已知斜率相等求参数 已知直线的法向量求直线的倾斜角 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ 考点 已知三点共线求参数；已知直线的方向向量求参数 已知直线的斜率或方向向量求直线的倾斜角 求直线的斜率、倾斜角的取值范围 求直线的斜率 构造斜率公式求代数式的取值范围 已知直线的倾斜角之比求直线的斜率 求直线的斜率和倾斜角 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 一、选择题 1．已知直线l经过点A(1，2)与B(0，2)，则下列向量可作为直线l的一个法向量的是(　　) A．(－1，0) B．(0，－1) C．(1，0) D．(2，1) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 3．如图，若直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则(　　) A．k4<k3<k2<k1 B．k1<k2<k3<k4 C．k3<k4<k1<k2 D．k2<k1<k3<k4 解析：直线l3，l4的倾斜角为钝角，斜率为负，直线l1，l2的倾斜角为锐角，斜率为正，且直线l4的倾斜角大于直线l3的倾斜角，直线l2的倾斜角大于直线l1的倾斜角，所以k3<k4<0，k2>k1>0，所以k3<k4<k1<k2.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 4．(多选)下列各组点中，在同一直线上的是(　　) A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) B．(3，0)，(6，4)，(－3，－8) C．(4，5)，(3，4)，(－2，－1) D．(1，3)，(2，5)，(－2，3) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 5．(多选)已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，则下列说法正确的是(　　) A．直线AB的斜率为7 B．直线BC的倾斜角为钝角 C．若a＝(1，1)，则a是直线AC的一个方向向量 D．△ABC中，边AB上的中线的斜率为－5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 二、填空题 6．已知直线l1过点A(－1，1)和B(－2，－1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若这两条直线的斜率相等，则a的值为________． －2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 10．已知A(－3，4)，B(3，2)两点，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 (2)由(1)知tanα≤－1或tanα≥1， 又0°≤α<180°， ∴90°<α≤135°或45°≤α<90°， 又α＝90°时，直线l垂直于x轴，与线段AB有公共点，也满足要求，∴45°≤α≤135°. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 (－∞，－2] 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 14．已知坐标平面内三点A(－2，－4)，B(2，0)，C(－1，1)． (1)求直线AB的斜率和倾斜角； (2)若A，B，C，D可以构成平行四边形且点D在第一象限，求点D的坐标． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(y2－y1,x2－x1) 提示：倾斜角为直角的直线的斜率不存在，所以直线的斜率与倾斜角不是一一对应的． 直线的倾斜角α与斜率k有如下关系： 当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k≥0，且斜率k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k<0，且斜率k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝eq \f(π,2)时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． eq \f(v,u) eq \f(v,u) eq \r(3) eq \f(1,3) 题型二　直线的斜率　 例2　分别满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率． (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； (3)经过点P(－3，1)，Q(－3，10)； (4)经过点M(a，2)，N(3，6)． 解　(1)存在．直线AB的斜率k＝eq \f(5－3,4－2)＝1. (2)存在．直线CD的斜率k＝eq \f(－1－3,2－（－2）)＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3. (4)当a＝3时，直线MN的斜率不存在； 当a≠3时，直线MN的斜率k＝eq \f(4,3－a). 【感悟提升】已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1). 注意：(1)公式中x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在． (2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 解析：k＝eq \f(－3－5,－1－3)＝2. 解析：由eq \f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1. 题型三　直线的方向向量和法向量　 例3　(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0)，一个法向量为(0，1) B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝eq \f(a＋1,a) C．若直线的一个法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量 D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是互相垂直的 解　∵v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量， ∴u＝(1，－sinα)是直线l的一个方向向量， ∴k＝－sinα， 又－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，∴－1≤tanθ≤1， 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)≤θ＜π， 即斜率k的取值范围为[－1，1]， 倾斜角θ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). 【感悟提升】应用直线的方向向量和法向量的关注点 (1)直线的法向量与方向向量互相垂直． (2)若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则直线l的斜率k＝eq \f(v,u)(u≠0)． (3)若v＝(x，y)是直线l的一个法向量，则直线l的斜率k＝－eq \f(x,y)(y≠0)． (4)直线斜率与倾斜角的关系可利用正切函数y＝tanx的图象分析． 解：(1)∵A(－1，2)，B(m，3)， ∴eq \o(AB,\s\up17(→))＝(m＋1，1)， 又eq \o(AB,\s\up17(→))∥a， ∴(m＋1)×2＝1×(－2)，解得m＝－2. 【跟踪训练】 3．已知直线l通过点A(－1，2)与B(m，3)． (1)若a＝(－2，2)是直线l的一个方向向量，求m的值； (2)当m∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，－1))时，求直线AB的倾斜角θ的取值范围． (2)∵m∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，－1))，∴m＋1≠0， ∴直线l的斜率为eq \f(3－2,m＋1)＝eq \f(1,m＋1)， 又－eq \f(\r(3),3)≤m＋1<0，∴eq \f(1,m＋1)≤－eq \r(3)， 即tanθ≤－eq \r(3)，又0≤θ＜π，∴eq \f(π,2)<θ≤eq \f(2π,3)， 即直线AB的倾斜角θ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))). 解　解法一：∵5≠－4，∴三点所在直线的斜率存在， ∴kAB＝eq \f(2－1,a－5)＝eq \f(1,a－5)，kBC＝eq \f(1－2a,5－（－4）)＝eq \f(1－2a,9). ∵点A，B，C在同一直线上，∴kAB＝kBC. ∴eq \f(1,a－5)＝eq \f(1－2a,9)，解得a＝2或a＝eq \f(7,2). 解法二：∵eq \o(AB,\s\up17(→))＝(5－a，－1)，eq \o(AC,\s\up17(→))＝(－4－a，2a－2)，点A，B，C在同一直线上， ∴(5－a)×(2a－2)＝－1×(－4－a)， 即2a2－11a＋14＝0，解得a＝2或a＝eq \f(7,2). 【感悟提升】解决三点共线问题的策略 (1)A，B，C三点共线⇔A，B，C中任意两点确定的直线的斜率都相等(如kAB＝kAC)或都不存在． (2)利用向量eq \o(AB,\s\up17(→))和向量eq \o(AC,\s\up17(→))是否共线判断A，B，C三点是否共线． 解：由题意可知，kAB＝eq \f(5－1,3－1)＝2，kAC＝eq \f(7－1,a－1)＝eq \f(6,a－1)，kAD＝eq \f(b－1,－1－1)＝eq \f(1－b,2)， 所以k＝2＝eq \f(6,a－1)＝eq \f(1－b,2)， 解得a＝4，b＝－3. 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3. 解析：对于A，当0°＜α＜90°时，其斜率k＝tanα>0，A正确；对于B，若一条直线的斜率为tan(－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，则此直线的倾斜角为150°，B错误；对于C，根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角α≠90°时，直线的斜率为tanα，C正确；对于D，直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D错误．故选AC. 2．已知直线l经过A(1，3)，B(－2，4)两点，则直线l的斜率是(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．3 D．－3 解析：由题意可得直线l的斜率k＝eq \f(4－3,－2－1)＝－eq \f(1,3). 解析：因为3≠1，所以直线AB的斜率存在，A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，即eq \f(m－2,3－1)＝eq \f(m＋2－2,7－1)，解得m＝3.故选D. 4．若直线l的一个方向向量为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,7)，sin\f(π,7)))，则直线l的倾斜角θ＝________． 解析：由tanθ＝k＝eq \f(sin\f(π,7),cos\f(π,7))＝taneq \f(π,7)，且0≤θ＜π，得θ＝eq \f(π,7). eq \f(π,7) 5．若直线m的斜率k∈(－∞，－1)∪(1，eq \r(3)]，则直线m的倾斜角的取值范围是____________________． 解析：设直线m的倾斜角为α，则α∈[0，π)，斜率k＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2))).由题意，直线m的斜率k＝tanα∈(－∞，－1)∪(1，eq \r(3)]，则当tanα＜－1时，eq \f(π,2)<α<eq \f(3π,4)；当1<tanα≤eq \r(3)时，eq \f(π,4)＜α≤eq \f(π,3).综上可知，直线m的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))). eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) 解析：由eq \o(AB,\s\up17(→))＝(－1，0)，结合法向量的定义可知B正确． 2．已知两点A(2，t)，B(1，0)，t∈R，直线AB的倾斜角为120°，则实数t＝(　　) A．－eq \f(\r(3),3) B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3) 解析：由题意，知eq \f(t－0,2－1)＝tan120°＝－eq \r(3)，解得t＝－eq \r(3). 解析：对于A，eq \f(3－5,－2－（－7）)＝－eq \f(2,5)，eq \f(5－（－5）,－7－3)＝－1≠－eq \f(2,5)，故三点不共线；对于B，eq \f(0－4,3－6)＝eq \f(4－（－8）,6－（－3）)＝eq \f(4,3)，故三点共线；对于C，eq \f(5－4,4－3)＝eq \f(4－（－1）,3－（－2）)＝1，故三点共线；对于D，eq \f(3－5,1－2)＝2，eq \f(5－3,2－（－2）)＝eq \f(1,2)≠2，故三点不共线．故选BC. 解析：对于A，直线AB的斜率为kAB＝eq \f(1－2,－4－3)＝eq \f(1,7)，故A错误；对于B，直线BC的斜率为kBC＝eq \f(－1－1,0－（－4）)＝－eq \f(1,2)<0，所以直线BC的倾斜角为钝角，故B正确；对于C，直线AC的斜率为kAC＝eq \f(2－（－1）,3－0)＝1，所以直线AC的一个方向向量为(1，kAC)，即(1，1)，故C正确；对于D，设边AB的中点为D(x0，y0)，则x0＝eq \f(－4＋3,2)＝－eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，则kCD＝eq \f(\f(3,2)－（－1）,－\f(1,2)－0)＝－5，故D正确．故选BCD. 解析：由直线l1过点A(－1，1)和B(－2，－1)，得直线l1的斜率kAB＝eq \f(－1－1,－2－（－1）)＝2，又直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，得直线l2的斜率kCD＝eq \f(a－0,0－1)＝－a，因为这两条直线的斜率相等，所以－a＝2，解得a＝－2. 7．直线l的一个法向量为u＝(eq \r(3)，1)，则直线l的倾斜角为________． 解析：因为直线l的一个法向量为u＝(eq \r(3)，1)，所以直线l的一个方向向量为(－1，eq \r(3))．设直线l的倾斜角为α，则tanα＝eq \f(\r(3),－1)＝－eq \r(3)，又0≤α<π，所以α＝eq \f(2π,3). eq \f(2π,3) 8．直线l过A(2，a)，B(3，1)，C(b，－2)三点，则eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝________；若直线l的一个方向向量为m＝(2，－3)，则a＋b＝________． 解析：eq \o(AB,\s\up17(→))＝(1，1－a)，eq \o(BC,\s\up17(→))＝(b－3，－3)，∵A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up17(→))∥eq \o(BC,\s\up17(→))，∴－3－(1－a)(b－3)＝0，即(a－1)(b－3)－3＝0，∴ab－3a－b＝0，∴3a＋b＝ab，同除以ab得eq \f(3,b)＋eq \f(1,a)＝1.若m＝(2，－3)为直线l的一个方向向量，则m∥eq \o(AB,\s\up17(→))，m∥eq \o(BC,\s\up17(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－（1－a）×2＝0，,－6＋3（b－3）＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,2)，,b＝5，))∴a＋b＝eq \f(15,2). eq \f(15,2) 三、解答题 9．根据下列条件，求直线l的倾斜角． (1)斜率为－eq \f(\r(3),3)； (2)经过A(－2，0)，B(－5，3)两点； (3)一个方向向量为eq \o(P1P2,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2\r(3),3))). 解：(1)设直线l的倾斜角为α， ∵直线l的斜率为－eq \f(\r(3),3)，∴tanα＝－eq \f(\r(3),3)， 又0≤α＜π，∴α＝eq \f(5π,6). (2)由已知得直线l的斜率k＝eq \f(3－0,－5－（－2）)＝－1， 设直线l的倾斜角为α，则tanα＝－1， ∵0≤α＜π，∴α＝eq \f(3π,4). (3)由直线l的一个方向向量为eq \o(P1P2,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2\r(3),3)))，可得斜率k＝eq \f(\f(2\r(3),3),2)＝eq \f(\r(3),3)， 设直线l的倾斜角为α，则tanα＝eq \f(\r(3),3)， ∵0≤α＜π，∴α＝eq \f(π,6). 解：(1)如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，直线PB的斜率kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1， ∵l与线段AB相交， ∴k≥kPB或k≤kPA， 则k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 11．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|，|BiBi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m，最短拉索P1A1满足|OP1|＝60 m，|OA1|＝96 m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索P10B10所在直线的斜率为(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(5,16) C.eq \f(25,64) D.eq \f(2,5) 解析：由题意，得|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝96＋9×16＝240 m，|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝60＋9×4＝96 m，故B10(－240，0)，P10(0，96)，则kP10B10＝eq \f(0－96,－240－0)＝eq \f(2,5).故选D. 12．已知点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，若x1∈[0，1)，则eq \f(y1＋1,x1－1)的取值范围为______________． 解析：eq \f(y1＋1,x1－1)表示点M(x1，y1)与点A(1，－1)所连直线的斜率k，由点M(x1，y1)是函数y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如图所示，可得C(0，1)，B(1，e)，则kAC＝－2，所以k≤－2，即eq \f(y1＋1,x1－1)的取值范围为(－∞，－2]． 13．已知直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，直线l2的斜率为eq \f(3,4)，求l1，l3，l4的斜率． 解：设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α，2α，3α，4α. 由0≤4α<π，得0≤α<eq \f(π,4). 由已知，得tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(3,4)， 解得tanα＝eq \f(1,3)(tanα＝－3舍去)，则 tan3α＝tan(α＋2α)＝eq \f(tanα＋tan2α,1－tanαtan2α)＝eq \f(13,9)，tan4α＝eq \f(2tan2α,1－tan22α)＝eq \f(24,7)， 即直线l1，l3，l4的斜率分别为eq \f(1,3)，eq \f(13,9)，eq \f(24,7). 解：(1)由题意可知直线AB的斜率为eq \f(－4－0,－2－2)＝1，直线的倾斜角的范围为[0，π)，所以直线AB的倾斜角为eq \f(π,4). (2)因为点D在第一象限，所以eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))， 设D(x，y)，则(x＋1，y－1)＝(4，4)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝4，,y－1＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5，))故点D的坐标为(3，5)． $$