1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第一章　空间向量与 立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第2课时　空间向量的数量积 课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影的意义． 教学重点：1.空间向量夹角的概念.2.空间向量数量积的概念、性质及计算方法． 教学难点：投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题． 核心素养：1.通过对空间向量数量积的概念、性质的学习提升数学抽象素养.2.通过运用空间向量的数量积求空间向量的夹角、证明垂直提升数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 [0，π] 〈a，b〉 a⊥b 零 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 |a||b|cos〈a，b〉 0 b a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积 a在e上的投影a′的数量 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 a·b＝0 |a|2 a2 ≤ λ(a·b) b·a a·c＋b·c 核心概念掌握 9 核心概念掌握 10 核心概念掌握 11 核心概念掌握 12 2 核心概念掌握 13 核心素养形成 题型一　空间向量的夹角 90° 120° 核心素养形成 15 核心素养形成 16 【感悟提升】　 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． 核心素养形成 17 核心素养形成 18 题型二　空间向量数量积的计算　 例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： 核心素养形成 19 核心素养形成 20 【感悟提升】空间向量数量积的运算方法 (1)直接利用空间向量数量积的定义并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积的步骤 核心素养形成 21 核心素养形成 22 核心素养形成 23 题型三　空间向量数量积的应用 核心素养形成 24 (2)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________． 解析　∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，则a2＋2a·b＋b2＝576，∴2a·b＝576－132－192＝46.又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22. 22 核心素养形成 25 核心素养形成 26 核心素养形成 27 【感悟提升】　 利用空间向量的数量积可以求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题等． 核心素养形成 28 核心素养形成 29 核心素养形成 30 核心素养形成 31 (3)(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，则下列结论正确的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|－|b|<|a－b| C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直 D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：对于A，由空间向量数量积的定义可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故A错误；对于B，由于空间向量a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故|a|－|b|<|a－b|，故B正确；对于C，因为[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(c·b)a－(c·a)b与c垂直，故C正确；由空间向量数量积的运算律可知D正确．故选BCD. 核心素养形成 32 随堂水平达标 1．对于空间向量a，b，c和实数λ，下列命题为真命题的是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，但向量a和b可能均不为零向量，A为假命题；B为真命题；对于C，当a2＝b2时，只能推得|a|＝|b|，而不能得到a＝b或a＝－b，C为假命题；对于D，当a·b>0时，〈a，b〉也可能为0，D为假命题．故选B. 随堂水平达标 34 随堂水平达标 35 随堂水平达标 36 随堂水平达标 37 随堂水平达标 38 5．已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝________． 随堂水平达标 39 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 空间向量数量积的性质 空间向量数量积的计算 空间向量的垂直；空间向量的夹角 空间向量数量积的计算 空间向量 的模 空间向量的模 投影的数量 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 考点 空间向量数量积的计算；空间向量的模 空间向量数量积的计算 空间向量数量积的计算 空间向量数量积的计算；空间向量的夹角 空间向量数量积的计算；空间向量 的模 空间向量的夹角；空间向量数量积的计算 空间向量的垂直；空间向量的夹角 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 一、选择题 1．下列命题正确的是(　　) A．|a|a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b| 解析：根据空间向量数量积的性质可判断出D正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 二、填空题 6．已知空间向量a，b，c两两的夹角均为60°，其模均为1，则|a＋2b－3c|＝________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 1，2，3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 三、解答题 9．已知a，b是空间向量，且〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4.求： (1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)． 解：(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6. (2)a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16. (3)(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2－4|b|2＋4a·b＝3×9－4×16＋4×(－6)＝－61. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　空间向量的夹角 空间中，给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，则大小在__________内的∠AOB称为a与b的夹角，记作__________．特别地，如果〈a，b〉＝________，则称向量a与b垂直，记作__________；约定__________向量与任意向量都垂直． eq \f(π,2) [点拨]　(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的． (3)对空间任意两向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉； ③〈eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(AC,\s\up17(→))〉＝〈eq \o(BA,\s\up17(→))，eq \o(CA,\s\up17(→))〉＝π－〈eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(CA,\s\up17(→))〉． 知识点二　空间向量的数量积 (1)定义：a·b＝________________．规定零向量与任意向量的数量积为_______． (2)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与_______所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝eq \o(A′C′,\s\up17(→))，因为eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(A′C′,\s\up17(→))，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝_______． (3)几何意义：a与b的数量积等于_____________________________________．特别地，a与单位向量e的数量积等于____________________________． eq \o(AB,\s\up17(→)) [提醒]　(1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定． (2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b. (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|). 知识点三　空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔____________________． (2)a·a＝___________＝___________． (3)|a·b|___________|a||b|. (4)(λa)·b＝___________． (5)a·b＝___________ (交换律)． (6)(a＋b)·c＝_________________(分配律)． [拓展]　(1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)． (2)|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2). [提醒]　|a·b|≤|a||b|中，当且仅当a，b共线时等号成立． 1．(空间向量的夹角)若△ABC为正三角形，则eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(BC,\s\up17(→))的夹角为(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6) 2．(空间向量数量积的性质)(多选)已知空间向量a，b，c，下列结论正确的是(　　) A.eq \r(a·a)＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 3．(空间向量的数量积运算)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，则a·b＝________． 4．(空间向量的投影)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，则eq \o(OA1,\s\up17(→))在eq \o(AC,\s\up17(→))上的投影为________；eq \o(DG,\s\up17(→))在平面ABCD上的投影的数量为________． 3eq \r(3) eq \o(OA,\s\up17(→)) 例　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(C1B,\s\up17(→))的夹角〈eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(C1B,\s\up17(→))〉＝________；向量eq \o(A1B,\s\up17(→))与eq \o(B1D1,\s\up17(→))的夹角〈eq \o(A1B,\s\up17(→))，eq \o(B1D1,\s\up17(→))〉＝________． 解析　如图，连接A1D，BD.∵AB⊥平面BCC1B1，又C1B⊂平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，故〈eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(C1B,\s\up17(→))〉＝90°，∵eq \o(B1D1,\s\up17(→))∥eq \o(BD,\s\up17(→))，∴〈eq \o(A1B,\s\up17(→))，eq \o(B1D1,\s\up17(→))〉＝〈eq \o(A1B,\s\up17(→))，eq \o(BD,\s\up17(→))〉＝180°－∠A1BD，∵△A1BD为等边三角形，∴∠A1BD＝60°，∴〈eq \o(A1B,\s\up17(→))，eq \o(B1D1,\s\up17(→))〉＝120°. 【跟踪训练】 1．在正四面体A－BCD中，E，F分别是AC，AD的中点，则eq \o(BC,\s\up17(→))与eq \o(EF,\s\up17(→))的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：由题意，可得eq \o(EF,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up17(→))，所以〈eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(EF,\s\up17(→))〉＝〈eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))〉＝180°－〈eq \o(CB,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))〉＝180°－60°＝120°. (1)eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(BA,\s\up17(→))；(2)eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(BD,\s\up17(→))；(3)eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(DC,\s\up17(→))；(4)eq \o(BF,\s\up17(→))·eq \o(CE,\s\up17(→)). 解：　(1)eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(BA,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(BA,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up17(→))|·|eq \o(BA,\s\up17(→))|cos〈eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(BA,\s\up17(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1×cos60°＝eq \f(1,4). (2)eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up17(→))||eq \o(BD,\s\up17(→))|·cos〈eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(BD,\s\up17(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1×cos0°＝eq \f(1,2). (3)eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up17(→))||eq \o(DC,\s\up17(→))|·cos〈eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(DC,\s\up17(→))〉＝eq \f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq \f(1,4). (4)eq \o(BF,\s\up17(→))·eq \o(CE,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→)))·eq \f(1,2)(eq \o(CB,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→)))＝eq \f(1,4)[eq \o(BD,\s\up17(→))·(－eq \o(BC,\s\up17(→)))＋eq \o(BA,\s\up17(→))·(－eq \o(BC,\s\up17(→)))＋eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(CA,\s\up17(→))]＝eq \f(1,4)×[－eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))－eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＋(eq \o(CD,\s\up17(→))－eq \o(CB,\s\up17(→)))·eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))]＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq \f(1,8). 【跟踪训练】 2．(1)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \o(AO1,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：eq \o(AO1,\s\up17(→))＝eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1O1,\s\up17(→))＝eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(A1B1,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→)))＝eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→)))，eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))，则eq \o(AO1,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(AA1,\s\up17(→))·(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→)))＋eq \f(1,2)(|eq \o(AB,\s\up17(→))|2＋2eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＋|eq \o(AD,\s\up17(→))|2)＝1.故选C. (2)已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E是AD的中点，则eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(CE,\s\up17(→))＝(　　) A．1 B．－1 C.eq \r(3) D．－eq \r(3) 解析：如图，eq \o(CE,\s\up17(→))＝eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(AE,\s\up17(→))，所以eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(CE,\s\up17(→))＝eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(AE,\s\up17(→))＝2×2×cos60°＋2×1×cos120°＝1.故选A. eq \f(3π,4) 例3　(1)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________． 解析　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2,2×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4). (3)如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则向量eq \o(PC,\s\up17(→))在eq \o(BC,\s\up17(→))上的投影为________． eq \f(3,2) eq \o(BC,\s\up17(→)) 解析　∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，eq \o(PC,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝(eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(PA,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝0＋6×6×eq \f(1,2)＋62＝54.向量eq \o(PC,\s\up17(→))在eq \o(BC,\s\up17(→))上的投影为eq \f(\o(PC,\s\up17(→))·\o(BC,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up17(→))|))·eq \f(\o(BC,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up17(→))|))＝eq \f(54,36) eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \f(3,2) eq \o(BC,\s\up17(→)). 解析　由eq \o(A1C,\s\up17(→))＝eq \o(A1C1,\s\up17(→))＋eq \o(A1A,\s\up17(→))，eq \o(AB1,\s\up17(→))＝eq \o(A1B1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→))，而A1C1⊥A1A，A1B1⊥A1A且∠B1A1C1＝60°，则eq \o(A1C,\s\up17(→))·eq \o(AB1,\s\up17(→))＝(eq \o(A1C1,\s\up17(→))＋eq \o(A1A,\s\up17(→)))·(eq \o(A1B1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→)))＝eq \o(A1C1,\s\up17(→))·eq \o(A1B1,\s\up17(→))－eq \o(A1C1,\s\up17(→))·eq \o(A1A,\s\up17(→))＋eq \o(A1A,\s\up17(→))·eq \o(A1B1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→))2＝2－0＋0－4＝－2，显然|eq \o(A1C,\s\up17(→))|＝|eq \o(AB1,\s\up17(→))|＝2eq \r(2)，则cos〈eq \o(A1C,\s\up17(→))，eq \o(AB1,\s\up17(→))〉＝eq \f(\o(A1C,\s\up17(→))·\o(AB1,\s\up17(→)),|\o(A1C,\s\up17(→))||\o(AB1,\s\up17(→))|)＝－eq \f(1,4). (4)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则eq \o(A1C,\s\up17(→))与eq \o(AB1,\s\up17(→))夹角的余弦值为________． －eq \f(1,4) 【跟踪训练】 3．(1)如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，O2，O1分别为上、下底面圆的圆心，且〈eq \o(O2M,\s\up17(→))，eq \o(O1N,\s\up17(→))〉＝120°，则|eq \o(MN,\s\up17(→))|＝(　　) A.eq \r(65) B．5eq \r(2) C.eq \r(35) D．5 解析：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴eq \o(MO2,\s\up17(→))·eq \o(O2O1,\s\up17(→))＝0，eq \o(O2O1,\s\up17(→))·eq \o(O1N,\s\up17(→))＝0，∵eq \o(MO2,\s\up17(→))·eq \o(O1N,\s\up17(→))＝3×5×cos60°＝eq \f(15,2)，eq \o(MN,\s\up17(→))＝eq \o(MO2,\s\up17(→))＋eq \o(O2O1,\s\up17(→))＋eq \o(O1N,\s\up17(→))，∴eq \o(MN,\s\up17(→))2＝(eq \o(MO2,\s\up17(→))＋eq \o(O2O1,\s\up17(→))＋eq \o(O1N,\s\up17(→)))2＝eq \o(MO2,\s\up17(→))2＋eq \o(O2O1,\s\up17(→))2＋eq \o(O1N,\s\up17(→))2＋2eq \o(MO2,\s\up17(→))·eq \o(O2O1,\s\up17(→))＋2eq \o(O2O1,\s\up17(→))·eq \o(O1N,\s\up17(→))＋2eq \o(MO2,\s\up17(→))·eq \o(O1N,\s\up17(→))＝9＋16＋25＋15＝65，∴|eq \o(MN,\s\up17(→))|＝eq \r(65). (2)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则eq \o(BD,\s\up17(→))与eq \o(AC,\s\up17(→))夹角的余弦值为(　　) A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,4) C．－eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(2),8) 解析：eq \o(BD,\s\up17(→))＝eq \o(OD,\s\up17(→))－eq \o(OB,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))－eq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→))，∵|eq \o(BD,\s\up17(→))|＝eq \f(\r(3),2)，|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝1，且eq \o(BD,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up17(→))－\o(OB,\s\up17(→))))·(eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))·eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \o(OB,\s\up17(→))·eq \o(OC,\s\up17(→))－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up17(→))2＋eq \o(OA,\s\up17(→))·eq \o(OB,\s\up17(→))＝eq \f(1,2)×1×1×cos60°－1×1×cos60°－eq \f(1,2)×12＋1×1×cos60°＝－eq \f(1,4)，∴cos〈eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(AC,\s\up17(→))〉＝eq \f(\o(BD,\s\up17(→))·\o(AC,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(BD,\s\up17(→))||\o(AC,\s\up17(→))|))＝eq \f(－\f(1,4),\f(\r(3),2)×1)＝－eq \f(\r(3),6).故选C. 2．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(A1C1,\s\up17(→)) B.eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(C1A1,\s\up17(→)) C.eq \o(BC,\s\up17(→))与eq \o(C1B,\s\up17(→)) D.eq \o(BC,\s\up17(→))与eq \o(AD1,\s\up17(→)) 解析：把两个向量平移到同一个起点，易知eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(A1C1,\s\up17(→))的夹角为45°，eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(C1A1,\s\up17(→))的夹角为135°，eq \o(BC,\s\up17(→))与eq \o(C1B,\s\up17(→))的夹角为135°，eq \o(BC,\s\up17(→))与eq \o(AD1,\s\up17(→))的夹角为45°.故选AD. 3．已知正四面体ABCD的棱长为2，则向量eq \o(AB,\s\up17(→))在向量eq \o(CA,\s\up17(→))上的投影为(　　) A．－eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→)) B.eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→)) C．2eq \o(AC,\s\up17(→)) D．2eq \o(CA,\s\up17(→)) 解析：由题意，知△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，所以向量eq \o(AB,\s\up17(→))与向量eq \o(CA,\s\up17(→))的夹角为120°，所以向量eq \o(AB,\s\up17(→))在向量eq \o(CA,\s\up17(→))上的投影为－eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up17(→)). 4．(多选)如图，M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的棱OA和BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，则(　　) A.eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up17(→)) B．|eq \o(OP,\s\up17(→))|＝eq \f(4,3) C.eq \o(OP,\s\up17(→))·eq \o(OA,\s\up17(→))＝2 D．向量eq \o(OP,\s\up17(→))在eq \o(OA,\s\up17(→))上的投影的数量为eq \f(3,2) 解析：由题意，得eq \o(MP,\s\up17(→))＝2eq \o(PN,\s\up17(→))，即eq \o(OP,\s\up17(→))－eq \o(OM,\s\up17(→))＝2(eq \o(ON,\s\up17(→))－eq \o(OP,\s\up17(→)))，eq \o(OP,\s\up17(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OM,\s\up17(→))＋eq \f(2,3) eq \o(ON,\s\up17(→))＝eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up17(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up17(→))))＝eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up17(→))，故A正确；因为eq \o(OP,\s\up17(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)\o(OA,\s\up17(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up17(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up17(→)))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,36) eq \o(OA,\s\up17(→))2＋eq \f(1,9) eq \o(OB,\s\up17(→))2＋eq \f(1,9) eq \o(OC,\s\up17(→))2＋eq \f(1,9) eq \o(OA,\s\up17(→))·eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \f(1,9) eq \o(OA,\s\up17(→))·eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \f(2,9) eq \o(OB,\s\up17(→))·eq \o(OC,\s\up17(→))＝eq \f(17,9)，所以|eq \o(OP,\s\up17(→))|＝eq \f(\r(17),3)，故B错误；eq \o(OP,\s\up17(→))·eq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)\o(OA,\s\up17(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up17(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up17(→))))·eq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up17(→))2＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up17(→))·eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up17(→))·eq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \f(1,6)×4＋eq \f(1,3)×2＋eq \f(1,3)×2＝2，故C正确；向量eq \o(OP,\s\up17(→))在eq \o(OA,\s\up17(→))上的投影的数量为eq \f(\o(OP,\s\up17(→))·\o(OA,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up17(→))|))＝eq \f(2,2)＝1，故D错误．故选AC. 解析：因为a，b，c是两两垂直的单位向量，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0，所以|a－2b＋3c|＝eq \r(a2＋4b2＋9c2－4a·b＋6a·c－12b·c)＝eq \r(1＋4＋9)＝eq \r(14). eq \r(14) 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则 eq \o(AC1,\s\up17(→))·eq \o(BD,\s\up17(→))＝(　　) A．－9 B．－3 C．3 D．9 解析：eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝0，eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AA1,\s\up17(→))＝0，eq \o(AA1,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝0，则eq \o(AC1,\s\up17(→))·eq \o(BD,\s\up17(→))＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AA1,\s\up17(→)))·(eq \o(AD,\s\up17(→))－eq \o(AB,\s\up17(→)))＝－eq \o(AB,\s\up17(→))2＋eq \o(AD,\s\up17(→))2＝－1＋4＝3.故选C. 3．已知a，b是空间向量，若|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．135° D．45° 解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝a2－b·a＝12－eq \r(2)×1×cosθ＝0，∴cosθ＝eq \f(\r(2),2).∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.故选D. 4．如图，三棱锥A－BCD的各棱长都是a，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→)) B．2eq \o(AD,\s\up17(→))·eq \o(BD,\s\up17(→)) C．2eq \o(FG,\s\up17(→))·eq \o(CA,\s\up17(→)) D．2eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(CB,\s\up17(→)) 解析：由题意，知三棱锥A－BCD为正四面体，∵E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，∴EF⊥FG，且EF＝FG＝eq \f(1,2)a.对于A，2eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(AC,\s\up17(→))＝2a2cos120°＝－a2；对于B，2eq \o(AD,\s\up17(→))·eq \o(BD,\s\up17(→))＝2a2cos60°＝a2；对于C，2eq \o(FG,\s\up17(→))·eq \o(CA,\s\up17(→))＝2×eq \f(1,2)a2cos180°＝－a2；对于D，2eq \o(EF,\s\up17(→))·eq \o(CB,\s\up17(→))＝2×eq \f(1,2)a2cos120°＝－eq \f(1,2)a2.故选B. 5．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→))，eq \o(AA1,\s\up17(→))两两的夹角均为60°，且|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝1，|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝2，|eq \o(AA1,\s\up17(→))|＝3，则|eq \o(AC1,\s\up17(→))|＝(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 解析：如图，∵eq \o(AC1,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CC1,\s\up17(→))，∴eq \o(AC1,\s\up17(→))2＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CC1,\s\up17(→)))2＝eq \o(AB,\s\up17(→))2＋eq \o(BC,\s\up17(→))2＋eq \o(CC1,\s\up17(→))2＋2eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＋2eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(CC1,\s\up17(→))＋2eq \o(BC,\s\up17(→))·eq \o(CC1,\s\up17(→))＝1＋4＋9＋2×1×2×cos60°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝25，∴|eq \o(AC1,\s\up17(→))|＝5.故选A. 解析：单位向量a，b，c两两的夹角均为60°，则a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos60°＝eq \f(1,2)，所以|a＋2b－3c|＝eq \r(（a＋2b－3c）2)＝eq \r(a2＋4b2＋9c2＋4a·b－6a·c－12b·c)＝eq \r(1＋4＋9＋2－3－6)＝eq \r(7). eq \r(7) 7．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝1，AD＝2，AA′＝3，则向量eq \o(AC′,\s\up17(→))在eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→))，eq \o(AA′,\s\up17(→))上的投影的数量分别为________． 解析：非零向量a在非零向量b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝|a|·eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a·b,|b|)，eq \o(AC′,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AA′,\s\up17(→))，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AA′,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))·eq \o(AA′,\s\up17(→))＝0，因此，向量eq \o(AC′,\s\up17(→))在eq \o(AB,\s\up17(→))上的投影的数量为eq \f(\o(AC′,\s\up17(→))·\o(AB,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up17(→))|))＝eq \f(（\o(AB,\s\up17(→))＋\o(AD,\s\up17(→))＋\o(AA′,\s\up17(→))）·\o(AB,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up17(→))|))＝|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝1；向量eq \o(AC′,\s\up17(→))在eq \o(AD,\s\up17(→))上的投影的数量为eq \f(\o(AC′,\s\up17(→))·\o(AD,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up17(→))|))＝eq \f(（\o(AB,\s\up17(→))＋\o(AD,\s\up17(→))＋\o(AA′,\s\up17(→))）·\o(AD,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up17(→))|))＝|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝2；向量eq \o(AC′,\s\up17(→))在eq \o(AA′,\s\up17(→))上的投影的数量为eq \f(\o(AC′,\s\up17(→))·\o(AA′,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(AA′,\s\up17(→)))|)＝eq \f(（\o(AB,\s\up17(→))＋\o(AD,\s\up17(→))＋\o(AA′,\s\up17(→))）·\o(AA′,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(AA′,\s\up17(→))|))＝|eq \o(AA′,\s\up17(→))|＝3. eq \r(2) 8．已知正四面体O－ABC的棱长为1，则(eq \o(OA,\s\up17(→))－eq \o(OB,\s\up17(→)))·(eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(CB,\s\up17(→)))＝________，|eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))|＝________． 解析：(eq \o(OA,\s\up17(→))－eq \o(OB,\s\up17(→)))·(eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(CB,\s\up17(→)))＝eq \o(BA,\s\up17(→))·(eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(CB,\s\up17(→)))＝eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(CA,\s\up17(→))＋ eq \o(BA,\s\up17(→))·eq \o(CB,\s\up17(→))＝1×1×cos60°＋1×1×cos120°＝0.因为|eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))|2＝(eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→)))2＝eq \o(OC,\s\up17(→))2＋eq \o(OB,\s\up17(→))2＋eq \o(OA,\s\up17(→))2＋2eq \o(OC,\s\up17(→))·eq \o(OB,\s\up17(→))－2eq \o(OC,\s\up17(→))·eq \o(OA,\s\up17(→))－2eq \o(OB,\s\up17(→))·eq \o(OA,\s\up17(→))＝12＋12＋12＋2×12×cos60°－2×12×cos60°－2×12×cos60°＝2，所以|eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))|＝eq \r(2). 10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4. 求：(1)eq \o(AB1,\s\up17(→))·eq \o(CD,\s\up17(→))； (2)eq \o(AB1,\s\up17(→))·eq \o(CD1,\s\up17(→))； (3)eq \o(BD1,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→)). 解：如图所示，|eq \o(AB1,\s\up17(→))|＝2eq \r(2)，|eq \o(BD1,\s\up17(→))|＝eq \r(22＋22＋42)＝2eq \r(6). (1)连接DC1. ∵eq \o(AB1,\s\up17(→))＝eq \o(DC1,\s\up17(→))，∴〈eq \o(AB1,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))〉＝〈eq \o(DC1,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))〉＝180°－∠C1DC＝135°， eq \o(AB1,\s\up17(→))·eq \o(CD,\s\up17(→))＝|eq \o(AB1,\s\up17(→))||eq \o(CD,\s\up17(→))|cos135°＝2eq \r(2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－4. (2)∵四边形CDD1C1为正方形， ∴DC1⊥CD1，∴CD1⊥AB1，∴eq \o(AB1,\s\up17(→))·eq \o(CD1,\s\up17(→))＝0. (3)解法一：∵eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))，∴〈eq \o(BD1,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→))〉＝〈eq \o(BD1,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))〉＝∠D1BC. 在Rt△D1BC中，cos∠D1BC＝eq \f(BC,BD1)＝eq \f(4,2\r(6))＝eq \f(\r(6),3)， ∴eq \o(BD1,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝|eq \o(BD1,\s\up17(→))||eq \o(AD,\s\up17(→))|cos∠D1BC＝2eq \r(6)×4×eq \f(\r(6),3)＝16. 解法二：∵eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))，∴eq \o(BD1,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(BD1,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→)). 又eq \o(BD1,\s\up17(→))在eq \o(BC,\s\up17(→))上的投影为eq \o(BC,\s\up17(→))，∴eq \o(BD1,\s\up17(→))·eq \o(BC,\s\up17(→))＝|eq \o(BC,\s\up17(→))|2＝16，即eq \o(BD1,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝16. 11．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中的真命题是(　　) A．(eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→)))2＝3eq \o(AB,\s\up17(→))2 B.eq \o(A1C,\s\up17(→))·(eq \o(A1B1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→)))＝0 C.eq \o(AD1,\s\up17(→))与eq \o(A1B,\s\up17(→))的夹角为60° D．正方体的体积为|eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AA1,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))| 解析：如图所示，(eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→)))2＝(eq \o(AA1,\s\up17(→))＋eq \o(A1D1,\s\up17(→))＋eq \o(D1C1,\s\up17(→)))2＝eq \o(AC1,\s\up17(→))2＝3eq \o(AB,\s\up17(→))2，故A为真命题；eq \o(A1C,\s\up17(→))·(eq \o(A1B1,\s\up17(→))－eq \o(A1A,\s\up17(→)))＝eq \o(A1C,\s\up17(→))·eq \o(AB1,\s\up17(→))＝0，故B为真命题；eq \o(AD1,\s\up17(→))与eq \o(A1B,\s\up17(→))的夹角是eq \o(D1A,\s\up17(→))与eq \o(D1C,\s\up17(→))夹角的补角，而eq \o(D1C,\s\up17(→))与eq \o(D1A,\s\up17(→))的夹角为60°，故eq \o(AD1,\s\up17(→))与eq \o(A1B,\s\up17(→))的夹角为120°，故C为假命题；正方体的体积为|eq \o(AB,\s\up17(→))||eq \o(AA1,\s\up17(→))||eq \o(AD,\s\up17(→))|，故D为假命题．故选AB. 12．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1＝8，∠ADC＝eq \f(2π,3)，点P满足eq \o(AP,\s\up17(→))＝meq \o(AB,\s\up17(→))＋neq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AA1,\s\up17(→))，其中m，n∈[0，1]．若m2＋n2＝1－mn，则AP＋PC1的最小值为________． 4＋6eq \r(3) 解析：由题设，易得点P在平面A1B1C1D1内，且eq \o(A1P,\s\up17(→))＝meq \o(AB,\s\up17(→))＋neq \o(AD,\s\up17(→))，则eq \o(A1P,\s\up17(→))2＝m2eq \o(AB,\s\up17(→))2＋n2eq \o(AD,\s\up17(→))2＋2mneq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝36(m2＋n2＋mn)＝36，得|eq \o(A1P,\s\up17(→))|＝6.由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质，得AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1P，则AP＝eq \r(64＋36)＝10.因为PC1＝A1P＋PC1－A1P≥A1C1－6＝6eq \r(3)－6，所以AP＋PC1的最小值为10＋6eq \r(3)－6＝4＋6eq \r(3). 13．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝2eq \r(2)，AD1＝2eq \r(5)，∠BAD＝60°. 求：(1)eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))； (2)∠DAA1. 解：(1)eq \o(AB,\s\up17(→))·eq \o(AD,\s\up17(→))＝|eq \o(AB,\s\up17(→))||eq \o(AD,\s\up17(→))|cos∠BAD＝4×2×cos60°＝4. (2)因为ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以eq \o(AD1,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AA1,\s\up17(→))， 所以eq \o(AD1,\s\up17(→))2＝(eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AA1,\s\up17(→)))2＝eq \o(AD,\s\up17(→))2＋eq \o(AA1,\s\up17(→))2＋2eq \o(AD,\s\up17(→))·eq \o(AA1,\s\up17(→))＝4＋8＋2eq \o(AD,\s\up17(→))·eq \o(AA1,\s\up17(→))＝20，得eq \o(AD,\s\up17(→))·eq \o(AA1,\s\up17(→))＝4，又cos∠DAA1＝eq \f(\o(AD,\s\up17(→))·\o(AA1,\s\up17(→)),\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up17(→))||\o(AA1,\s\up17(→))|))＝eq \f(4,2×2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以∠DAA1＝eq \f(π,4). 14．如图，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：eq \o(AO,\s\up17(→))⊥eq \o(BO,\s\up17(→))； (2)求〈eq \o(DM,\s\up17(→))，eq \o(AO,\s\up17(→))〉． 解：(1)证明：设eq \o(VA,\s\up17(→))＝a，eq \o(VB,\s\up17(→))＝b，eq \o(VC,\s\up17(→))＝c，正四面体的棱长为1， 则a·b＝a·c＝b·c＝eq \f(1,2)，eq \o(VD,\s\up17(→))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，eq \o(AO,\s\up17(→))＝eq \o(VO,\s\up17(→))－eq \o(VA,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(VD,\s\up17(→))－eq \o(VA,\s\up17(→))＝eq \f(1,6)(b＋c－5a)，eq \o(BO,\s\up17(→))＝eq \o(VO,\s\up17(→))－eq \o(VB,\s\up17(→))＝eq \f(1,2) eq \o(VD,\s\up17(→))－eq \o(VB,\s\up17(→))＝eq \f(1,6)(a＋c－5b)， 所以eq \o(AO,\s\up17(→))·eq \o(BO,\s\up17(→))＝eq \f(1,36)(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝eq \f(1,36)(18a·b－9|a|2)＝eq \f(1,36)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18×\f(1,2)－9))＝0，所以eq \o(AO,\s\up17(→))⊥eq \o(BO,\s\up17(→)). (2)eq \o(DM,\s\up17(→))＝eq \o(DV,\s\up17(→))＋eq \o(VM,\s\up17(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＋eq \f(1,2)c＝eq \f(1,6)(－2a－2b＋c)， 所以|eq \o(DM,\s\up17(→))|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)（－2a－2b＋c）))\s\up12(2))＝eq \f(1,2). 又|eq \o(AO,\s\up17(→))|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)（b＋c－5a）))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)， eq \o(DM,\s\up17(→))·eq \o(AO,\s\up17(→))＝eq \f(1,6)(－2a－2b＋c)·eq \f(1,6)(b＋c－5a)＝eq \f(1,4)， 所以cos〈eq \o(DM,\s\up17(→))，eq \o(AO,\s\up17(→))〉＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2)×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2). 又〈eq \o(DM,\s\up17(→))，eq \o(AO,\s\up17(→))〉∈[0，π]，所以〈eq \o(DM,\s\up17(→))，eq \o(AO,\s\up17(→))〉＝eq \f(π,4). $$