2.5.2 椭圆的几何性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.5.2　椭圆的几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解椭圆的简单应用． 教学重点：1.椭圆的几何性质.2.利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响． 核心素养：通过利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　椭圆的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 知识点二　椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． 　(2)明确a，b，c的几何意义，a是半长轴长，b是半短轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a． (3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c． 知识点三　椭圆的离心率对椭圆形状的影响 (1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝.∵a>c>0，∴0<e<1. (2)＝＝＝，e越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁；反之，e越趋近于0，则的值越大，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2. [拓展]　(1)椭圆离心率是焦距与长轴长的比，也可以形象地理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度．如图，由椭圆的定义，椭圆的离心率e一般有以下几种表达方式： ①e＝＝cosα； ②e＝＝； ③e＝＝； ④e＝＝. (2)椭圆＋＝1(a>b>0)与椭圆＋＝λ和椭圆＋＝λ(a>b>0，λ>0)的离心率相同． 1．(椭圆横、纵坐标的范围)椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A．|x|≤3，|y|≤5 B．|x|≤，|y|≤ C．|x|≤5，|y|≤3 D．|x|≤，|y|≤ 答案：C 2．(椭圆的离心率)已知椭圆C：＋＝1，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．(椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点)椭圆＋＝1和＋＝1(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 答案：C 题型一　椭圆的几何性质　 例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． [解]　椭圆的方程可化为＋＝1， ∵m－＝>0，∴m>. ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝， c＝＝. 由e＝，得＝，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，，四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，. 【感悟提升】用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 【跟踪训练】 1．(1)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的焦距是8，则椭圆的长轴长为(　　) A．40 B．4 C．2 D．20 答案：B 解析：由题意得m＝4＋16＝20，则椭圆的半长轴长为2，长轴长为4.故选B. (2)对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述，正确的是(　　) A．范围相同 B．顶点坐标相同 C．焦点坐标相同 D．离心率相同 答案：D 解析：令c＝.椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c，0)，(c，0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b，0)，(b，0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝.综上所述，二者只有离心率相同． 题型二　利用椭圆的几何性质求标准方程　 例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； (3)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－)． [解]　(1)若焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1，得a＝3， ∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1； 若焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(3，0)，∴＝1，得b＝3， 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由已知，有解得 b2＝a2－c2＝9. 若焦点在y轴上，则＋＝1； 若焦点在x轴上，则＋＝1. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)由椭圆＋＝1，得a2＝4，b2＝3， ∴c2＝a2－b2＝1，e＝. 当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， ∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 【感悟提升】利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤如下： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． 【跟踪训练】 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在x轴上，焦距为8，离心率为； (2)椭圆过点(3，0)，离心率e＝； (3)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2. 解：(1)由题意，可知2c＝8，e＝＝， 得a＝6，c＝4，从而b2＝a2－c2＝20， 又长轴在x轴上， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)若焦点在x轴上，则a＝3， 由e＝＝，得c＝，所以b2＝a2－c2＝3， 此时椭圆的标准方程为＋＝1； 若焦点在y轴上，则b＝3， 由e＝＝＝＝，得a2＝27， 此时椭圆的标准方程为＋＝1. 故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1， 可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)， 故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝， 又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6， 故椭圆的标准方程为＋x2＝1. 题型三　椭圆的离心率问题　 例3　(1)已知正方形ABCD，以A，C两点为焦点的椭圆恰好过正方形四边的中点，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. [解析]　以正方形的中心为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为t(t>0)，则|AD|＝t，|DM|＝|MC|＝t，|AM|＝t，|AC|＝t，椭圆中2a＝|AM|＋|MC|＝t＋t，2c＝|AC|＝t，故离心率e＝＝＝＝.故选C. [答案]　C (2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点P，满足＋＝，则椭圆C的离心率的取值范围为________． [解析]　＋＝＝＝，即|PF1|·|PF2|＝2ac，|PF1|·|PF2|≤＝＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立．|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(2a－|PF1|)＝－|PF1|2＋2a·|PF1|，由于a－c≤|PF1|≤a＋c，所以当|PF1|＝a－c或|PF1|＝a＋c时，有最小值，为－(a－c)2＋2a(a－c)＝－a2＋2ac－c2＋2a2－2ac＝a2－c2＝b2，所以|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]，则b2≤2ac≤a2，即即解得－1≤e≤. [答案]　 【感悟提升】求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 【跟踪训练】 3．(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，如果C上存在一点Q，使∠F1QF2＝120°，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设O为原点，当Q是椭圆上、下顶点时，∠F1QF2最大，∴120°≤∠F1QF2<180°，∴60°≤∠F1QO<90°，∴sin60°≤sin∠F1QO<sin90°，∵|F1Q|＝a，|F1O|＝c，∴≤<1，∴椭圆的离心率e的取值范围为.故选D. (2)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，|AB|∶|AF2|∶|BF2|＝3∶4∶5，则椭圆的离心率为________． 答案： 解析：因为F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，|AB|∶|AF2|∶|BF2|＝3∶4∶5，所以AB⊥AF2，不妨设|AB|＝3k，|AF2|＝4k，|BF2|＝5k，由椭圆的定义可得3k＋4k＋5k＝4a，解得a＝3k，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝6k－4k＝2k，|F1F2|2＝4c2＝|AF1|2＋|AF2|2＝4k2＋16k2＝20k2，解得c＝k，所以e＝＝＝，即椭圆的离心率为. (3)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是________． 答案： 解析：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，由＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝∈. 题型四　椭圆的实际应用问题　 例4　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的半长轴长、半短轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． [解]　探测器的运行轨道方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝. ∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， ∴a＝438，c＝396. 于是b2＝a2－c2＝35028. ∴探测器的运行轨道方程为＋＝1. 设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)， 则x＋y＝ab≈81975.1，＋＝1，解得x0≈239.7，y0≈156.6. ∴－R≈187. 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． 【感悟提升】解决和椭圆有关的实际问题的思路 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 【跟踪训练】 4．已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km. (1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？ 解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则F1(－1，0)，F2(1，0)． 设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)，则由已知得|PF1|＋|PF2|＝4. 由椭圆定义知点P在以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆上，此时a＝2，c＝1，则b＝. 所以点P的轨迹方程为＋＝1(y≠0)， 同理点Q的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． (2)S▱PF1QF2＝|F1F2|·|yP|≤2c·b＝2(km2)， 所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2 km2. 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 答案：D 解析：由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上，所以c＝＝＝，故焦点坐标为(0，±)． 2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：由题意知，2a＝12，＝，所以a＝6，c＝2，所以b2＝a2－c2＝32.又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在x轴或y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选C. 3．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 答案：CD 解析：椭圆C：16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝.故选CD. 4．已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)的离心率为，则椭圆的短轴长为________． 答案：2 解析：根据题意可得离心率e＝＝＝＝，解得b＝1，所以椭圆的短轴长为2b＝2. 5．如图，把椭圆C：＋＝1的长轴AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，P3，P4，P5，F是椭圆C的右焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＝________． 答案：30 解析：由椭圆的对称性可知，|P1F|＋|P5F|＝|P2F|＋|P4F|＝2|P3F|＝12，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＝30. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 考点 长轴长；短轴长 利用离心率判断椭圆的形状 利用椭圆的离心率求参数 离心率；焦点三角形面积的最值 求椭圆的离心率；与椭圆有关的距离问题 椭圆中距离的最值问题 离心率；焦点三角形的周长 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 求离心率的取值范围 长轴长；短轴长；离心率；待定系数法求椭圆的标准方程 定义法求椭圆的标准方程；与椭圆有关的距离问题 求椭圆的离心率 求离心率平方的取值范围 离心率；与椭圆有关的距离问题 椭圆的顶点、离心率；与椭圆有关的存在性问题 一、选择题 1．椭圆＋y2＝1(m>0)的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　) A. B. C．2 D．4 答案：D 解析：因为椭圆＋y2＝1(m>0)的焦点在x轴上，所以a2＝m，b2＝1，因为长轴长是短轴长的2倍，所以2a＝4b＝4，所以a＝2，得m＝4.故选D. 2．下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：由椭圆的性质知，离心率越小，椭圆越接近圆，四个椭圆的离心率分别为，，，，其中离心率最小的为，所以椭圆＋＝1的形状与圆更接近．故选C. 3．(新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. 4．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积的最大值为4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D 解析：由已知e＝＝，得c＝a，故b＝＝a，∵S△PF1F2＝|F1F2||yP|＝×2c|yP|≤bc，即(S△PF1F2)max＝bc＝4，∴a×a＝4，得a2＝8，故b2＝a2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选D. 5．(多选)某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动(俗称“踩刹车”)后，以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道(火星的球心为椭圆的一个焦点)，环绕周期为t s．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为m km，则(　　) A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为vt km C．火星半径为 km D．近火星点与远火星点的距离为 km 答案：ABD 解析：如图，以线段MN的中点为原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则可设椭圆轨道的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由已知m＋R＝a＋c，n＋R＝a－c，所以2a＝m＋n＋2R，2c＝m－n，故离心率为＝，A正确；以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道，环绕周期为t s，所以环绕的圆形轨道的周长为vt km，半径为 km，所以火星半径为 km，所以B正确，C错误；近火星点与远火星点的距离为2a＝m＋n＋2R＝m＋n＋2＝m－n＋，D正确．故选ABD. 二、填空题 6．如果P是椭圆＋＝1上一动点，F1是椭圆的左焦点，那么|PF1|的最大值是________，最小值是________． 答案：10　2 解析：由椭圆方程＋＝1，可得a2－b2＝36－20＝16，则c＝4.当点P位于右端点时，|PF1|取得最大值，为a＋c＝6＋4＝10；当点P位于左端点时，|PF1|取得最小值，为a－c＝6－4＝2. 7．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过其左焦点的直线l交椭圆E于A，B两点，若△F2AB的周长为16，则椭圆E的标准方程为________． 答案：＋＝1 解析：因为△F2AB的周长为16，所以4a＝16，故a＝4，又椭圆E的离心率为，所以c＝2，b＝2，故椭圆E的标准方程为＋＝1. 8．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 答案： 解析：解法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|<a.∵F1(－c，0)，F2(c，0)，∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)．∵∠F1MF2＝90°，∴·＝－(c＋x0)(c－x0)＋y＝0，即x＋y＝c2.又点M在椭圆上，即y＝b2－x，∴x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0<e<1，∴≤e<1，故椭圆的离心率e的取值范围是. 解法二：设点M的坐标是(x0，y0)，由解法一，可得消去y0，得x＝，∵0≤x<a2，∴由②得c2－b2<c2，此式恒成立．由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，则e2＝≥.又0<e<1，∴e∈.综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是. 解法三：设椭圆的一个短轴端点为P，∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，∴∠F1PF2≥90°，则c≥b(∠F1MF2最大时，M为短轴端点)，∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0<e<1，∴≤e<1，故椭圆的离心率e的取值范围为. 三、解答题 9．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为F1(－2，0)，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过点P(2，2)，离心率为，焦点在y轴上； (3)与椭圆＋＝1有相同的长轴，与椭圆＋＝1的短轴长相等． 解：(1)根据题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题设，得解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)根据题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题设，得解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)因为与椭圆＋＝1有相同的长轴，所以可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆＋＝1的长轴长为10，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a＝5，b＝3. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 10．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里的地方发现过鱼群．以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问能否确定P处的位置(点P的坐标)? 解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆， 则c＝2，a＝4，故b2＝a2－c2＝12， ∴曲线C的标准方程是＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，∴|PA|∶|PB|＝5∶3， 又|PA|＋|PB|＝8，∴|PA|＝5，|PB|＝3， 设P(x，y)，由|PB|＝3，得＝3， 由得或 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且|AF1|＝3|BF1|，若|OA|＝|OF2|，其中O为坐标原点，则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由椭圆的对称性可得|AF2|＝|BF1|，则|AF1|＋|AF2|＝3|AF2|＋|AF2|＝4|AF2|＝2a，所以|AF2|＝a，|AF1|＝a，又|OA|＝|OF2|＝|OF1|，所以∠F1AF2＝90°，所以|AF1|2＋|AF2|2＝a2＋a2＝a2＝|F1F2|2＝4c2，所以e＝＝＝.故选C. 12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e，点T(b，0)，若椭圆C上存在四个不同的点到点T的距离相等，则e2的取值范围为__________． 答案： 解析：设椭圆上的点为P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝b2－x，所以|TP|＝＝，－a≤x0≤a，要满足题意，由二次函数的对称性可知需在(－a，a)内对于|TP|总能取到两个不同的x0的值，即等价于二次函数图象的对称轴在(－a，a)内即可，所以－a<－<a，即－a<<a，即－c2<ba<c2，即－c2<<c2，化简得c4＋a2c2－a4>0，即＋－1>0，即e4＋e2－1>0，解得e2>，又因为e∈(0，1)，所以e2∈. 13．如图，人们打算对长方形地块ABCD进行开发建设，其中|AB|＝10百米，|BC|＝8百米，长方形各边的中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段HF上且长度为6百米，椭圆的离心率为.同时计划修一条长为6百米的路MN(其中M，N分别在线段AB，AD上，路的宽度忽略不计)，并在△AMN内修建花圃． (1)求椭圆上的点到直线AB的最短距离； (2)求线段MN的中点到椭圆中心的距离的最小值． 解：(1)以椭圆的中心为坐标原点，HF，EG所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得，离心率e＝＝， 2a＝6，所以a＝3，c＝， 又因为a2＝b2＋c2，解得b＝， 所以椭圆上的点到直线AB的最短距离d＝4－百米． (2)设线段MN的中点为Q，由AM⊥AN知|AQ|＝|MN|＝3， 由圆的定义知，点Q在以A为圆心，3为半径的圆上， 则点Q的运动轨迹为(x＋5)2＋(y＋4)2＝9(x>－5，y>－4)， 所以线段MN的中点到椭圆中心的距离的最小值为－3＝－3百米． 14．已知椭圆C的焦点在x轴上，F1，F2分别为其左、右焦点，对称中心为坐标原点，四个顶点围成的四边形的面积为16，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)在椭圆C上是否存在第一象限的点P，使得cos∠F1PF2＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为椭圆C的焦点在x轴上，对称中心为坐标原点， 所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 因为四个顶点围成的四边形的面积为16，离心率为， 所以有解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)假设存在，坐标为P(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，显然m>n， 由椭圆的定义可知，m＋n＝2a＝8， 由(1)可知，c＝＝＝2， 由余弦定理可知，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2⇒16＝m2＋n2－2mn×⇒16＝(m＋n)2－2mn－2mn×⇒16＝64－mn⇒mn＝15， 因为cos∠F1PF2＝， 所以∠F1PF2为锐角， 所以sin∠F1PF2＝ ＝＝， S△PF1F2＝mnsin∠F1PF2＝×2c×y0⇒15×＝4y0⇒y0＝3， 把y0＝3代入＋＝1中，得x0＝2或x0＝－2(舍去)， 所以椭圆C上存在第一象限的点P，使得cos∠F1PF2＝，此时点P的坐标为(2，3)． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$