第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 一　空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)在空间中，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)，始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的，两个向量相等的充要条件是大小相等、方向相同． (2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 2．空间向量的运算 (1)空间向量可以进行加减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律． (2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义． 3．空间向量中的一些重要结论 (1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0. (2)空间向量共面的充要条件：a，b，c共面⇔c＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)． (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc. (4)空间向量的数量积及夹角公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝(a≠0且b≠0)． 二　空间向量的坐标表示 1．空间直角坐标系 在空间任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，记作Oxyz.在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 2．空间向量的直角坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；λa＝(λa1，λa2，λa3)；＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔＝＝(b1b2b3≠0)． 3．有关公式 (1)模：|a|＝＝. (2)夹角：cos〈a，b〉＝ ＝(a≠0且b≠0)． 三　运用向量方法研究平行与垂直 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量且两条直线无公共点． 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． 证明线面平行只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 证明线面垂直只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明面面平行只需证明两个平面的法向量平行． 证明面面垂直只需证明两个平面的法向量垂直． 四　用向量方法求空间角和距离 1．求两异面直线所成的角 利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线所成的角θ的范围是，故实质上应有cosθ＝|cos〈a，b〉|. 2．求线面角 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|. 3．求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个半平面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 4．空间中两点之间的距离 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝. 5．点到直线的距离 点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离，这一距离也等于||. 6．点到平面的距离的求法 点P到它在一个平面α内射影的距离，称为点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的一个法向量，则点P到平面α的距离d＝. 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量基本定理，两个向量的数量积，这是立体几何的重点内容． 1．向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求． 典例1　已知三棱锥O－ABC中，M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.(b＋c－a) B.(a＋b＋c) C.(a－b＋c) D.(c－a－b) [解析]　＝(＋)，所以＝－＝－(＋)＝(c－a－b)． [答案]　D 【素养提升】用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． 2．空间向量的数量积 正确运用数量积公式及性质求角及距离． (1)向量a，b的数量积a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉； (2)向量的数量积的性质 ①a⊥b⇔a·b＝0； ②|a|2＝a·a； ③|a·b|≤|a||b|； ④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a； ⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 典例2　已知长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积： (1)·；(2)·；(3)·. [解]　如图，设＝a，＝b，＝c， 则由题意，得|a|＝|c|＝2，|b|＝4，||＝2，〈，〉＝45°，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝||||cos〈，〉＝2×2×＝4. (2)·＝b·＝|b|2＝16. (3)·＝·＝－|a|2＋|b|2＝2. 【素养提升】求两个向量a，b的数量积的两种类型 (1)结合图形确定向量a，b的模及〈a，b〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性． (2)选定一组基向量表示向量a，b，从而把a，b的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求，此种情况常用到数量积的运算律． 3．共线向量、共面向量 运用共线向量基本定理和共面向量定理可以解决立体几何中的平行问题和共面问题． 典例3　如图，已知▱ABCD，从平面ABCD外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k. 求证：(1)E，F，G，H四点共面； (2)平面ABCD∥平面EFGH. [证明]　(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋， 又因为＝－＝k－k＝k＝k(＋)＝k(－＋－)＝－＋－＝＋， 所以E，F，G，H四点共面． (2)因为＝－＝k(－)＝k，且由(1)可得＝k，于是EF∥AB，EG∥AC，又EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面ABCD∥平面EFGH. 【素养提升】共面向量定理的应用之一是证明四点共面．本题考查利用共面向量定理证四点共面及利用共线向量基本定理证线线平行，从而证明面面平行，使问题变得更简单． 二、立体几何中的向量方法 在用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题时，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立空间直角坐标系)利用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离)，最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题． 1．利用向量证明平行问题 (1)若直线a⊄平面α，直线a的一个方向向量为a，平面α的一个法向量为n，且a⊥n，则a∥α. (2)若u，v分别是平面α，β的一个法向量，且u∥v，则α∥β. 典例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D. [证明]　(1)以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)． 由正方体的性质知，AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量． 由于＝(0，1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. (2)因为＝(0，1，－1)，＝(0，2，0)， 设平面MNP的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以取n＝(1，0，0)， 因为＝2n，所以∥n， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 【素养提升】 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，且两条直线无公共点． (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． (3)证明面面平行的方法 ①转化为线线平行、线面平行处理； ②证明这两个平面的法向量是共线向量． 2．利用向量证明垂直问题 (1)若直线a的一个方向向量为a，直线b的一个方向向量为b，且a⊥b，则a⊥b. (2)若直线m的一个方向向量为m，平面α的一个法向量为n，且m∥n，则m⊥α. (3)若u，v分别是平面α，β的一个法向量，且u⊥v，则α⊥β. 典例5　(1)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝AD＝2，DC＝4，M为CE的中点． 求证：①BM⊥DC； ②BC⊥平面BDE. [证明]　①因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥DC，DC⊂平面ABCD， 所以DC⊥平面ADEF， 又DE⊂平面ADEF，所以DC⊥DE， 又在正方形ADEF中，AD⊥DE， 所以DA，DC，DE两两互相垂直． 以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)， 因为M为EC的中点， 所以M(0，2，1)， 故＝(－2，0，1)，＝(0，4，0)， 所以·＝0， 故⊥，即BM⊥DC. ②由①得＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)， 所以·＝－4＋4＝0， 则⊥，即BC⊥DB， 又·＝0，故⊥，即BC⊥DE， 又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE， 所以BC⊥平面BDE. (2)如图所示，△ABC是正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD. 求证：平面DEA⊥平面ECA. [证明]　以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2， 则CE＝2，BD＝1，C(0，0，0)，A(，1，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)． 所以＝(，1，－2)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－1)． 设平面ECA与平面DEA的法向量分别为 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 则 即 解得 不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1，2)， 因为n1·n2＝1×＋(－)×1＋0×2＝0，所以n1⊥n2. 所以平面DEA⊥平面ECA. 【素养提升】 (1)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． (2)证明线面垂直的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； ②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． (3)证明面面垂直的方法 ①转化为证明线面垂直； ②证明两个平面的法向量互相垂直． 3．利用空间向量求空间角 (1)用方向向量的夹角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角，则它的补角等于异面直线所成的角． (2)直线与平面所成的角用向量来求时，得到的不是线面角，而是线面角的余角(或线面角的余角的补角)．应注意到线面角的取值范围为. (3)用法向量求二面角时，应结合图形来判断求出的是二面角的平面角，还是它的补角． 典例6　如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°.求： (1)直线AD与直线BC所成角的大小； (2)直线AD与平面BCD所成角的大小； (3)平面ABD与平面BCD所成角的余弦值． [解]　在平面ABC内过B点作z轴垂直于BC，在平面BCD内过B点作x轴垂直于BC. ∵平面ABC⊥平面DBC， ∴∠xBz＝90°. 如图，建立空间直角坐标系Bxyz. 设AB＝a， 则A，C(0，a，0)，D， ∴＝，＝(0，a，0)，＝. (1)∵·＝0，∴AD⊥BC， ∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°. (2)设直线AD与平面BCD所成的角为θ1， ∵n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量， ∴sinθ1＝|cos〈，n〉|＝＝＝. ∴θ1＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°. (3)设m＝(x，y，z)是平面ABD的一个法向量，则 ∴ 取x＝1，则y＝，z＝1，∴m＝(1，，1)． ∴cos〈m，n〉＝＝＝. 设平面ABD与平面BCD所成的角为θ2，则cosθ2＝|cos〈m，n〉|＝. 【素养提升】用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成的角：两异面直线所成角的范围为，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量的夹角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的一个法向量n与直线a的一个方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sinθ＝|cos〈n，a〉|求θ. (3)二面角：如图，有两个半平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则二面角和法向量n1与n2的夹角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角，同时要注意二面角和平面与平面所成角的范围不同，二面角是不小于0°，不大于180°；平面与平面所成角是不小于0°，不大于90°. 4．利用空间向量求距离 (1)用向量法求两点间的距离主要是坐标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求)，利用向量模的定义求解． (2)用向量法求点到直线的距离时，不用找到点在直线上的射影，直接按用向量法求点到直线的距离的一般步骤来求就行，同时直线上的点可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也可以任意取． (3)用向量法求点到平面的距离直接按用向量法求点到平面距离的一般步骤求解即可． (4)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解． 典例7　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，且∠A1AC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，P为AB的中点，Q为A1C1的中点． (1)求证：PQ∥平面B1BCC1； (2)求点B1到直线PQ的距离； (3)求点B1到平面PQC的距离． [解]　(1)证明：由题知四边形ACC1A1为菱形，△ABC，△A1B1C1都为等边三角形，连接CA1， 所以△ACA1为等边三角形，取AC的中点O，连接OA1，OB，则OA1⊥AC，OB⊥AC， 又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，OA1⊂平面A1ACC1， 所以OA1⊥平面ABC，故可建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示， 则B(，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，2，)，P，Q(0，1，)， 所以＝(－，1，0)，＝ (－，2，)，＝. 设m＝(x，y，z)是平面B1BCC1的一个法向量， 则 取x＝1，得y＝，z＝－1， 则m＝(1，，－1)， 故m·＝－＋－＝0， 即m⊥， 又PQ⊄平面B1BCC1，故PQ∥平面B1BCC1. (2)由(1)知，B1(，1，)， 则＝(，0，0)， 所以点B1到直线PQ的距离为 ＝3－＝. (3)由(1)知＝(0，0，)， 设n＝(a，b，c)是平面PQC的一个法向量， 则 取b＝1，得a＝，c＝0，则n＝(，1，0)， 所以点B1到平面PQC的距离为＝. 【素养提升】求点面距的三种常见方法 (1)作点到面的垂线段，求出垂线段的长度即为点到平面的距离． (2)等体积法． (3)向量法．该方法在容易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$