第二章 直线与圆的方程 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 1．直线的倾斜角与斜率的对应关系 (1)任何直线都有倾斜角，但并非任何直线都有斜率． (2)直线的倾斜角α满足{α|0°≤α<180°}．当α＝0°时，k＝0，直线与y轴垂直；当α＝90°时，直线的斜率不存在，直线与x轴垂直．当0°<α<90°时，斜率k＝tanα>0；当90°<α<180°时，k＝tanα<0. (3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)． 2．直线的几种方程及比较 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 ＋＝1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 特殊直线 x＝a (y轴：x＝0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 y＝b (x轴：y＝0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0 注意：过点P(x0，y0)的直线可分为两类：一类是斜率存在的直线，其方程可设为y－y0＝k(x－x0)；另一类是斜率不存在的直线，其方程为x＝x0. 3．两条直线的平行与垂直 直线方程 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件 l1∥l2⇔k1＝k2 且b1≠b2 l1∥l2 ⇔A1B2－A2B1＝0， 且B1C2－B2C1≠0 或A1C2－A2C1≠0 垂直的等价条件 l1⊥l2⇔k1k2 ＝－1 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 注意：一般式情况下，两条直线平行的条件可依据“＝≠”进行记忆，若A2B2C2≠0，解题时可直接应用此条件． 4．距离问题 类型 已知条件 公式 两点间的距离 A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝ 点到直线的距离 P(x0，y0)， l：Ax＋By＋C＝0 d＝ 两条平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0) d＝ 注意：对于特殊情况下的距离问题，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合． 5．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆． (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程． 6．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上； ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上． (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F>0，则该点在圆外；若满足φ(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F<0，则该点在圆内； ②若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内． 注意：若点P是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离dmax＝|PC|＋r；最小距离dmin＝|PC|－r. 7．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即判断出交点的个数)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断)． (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离． (2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形． (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线． ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意． (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数． 8．圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r1，r2的大小关系来判断)． (1)求两圆相交时的公共弦长，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用两圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长． (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 一、直线的倾斜角与斜率问题 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性，是做题的易错点，应引起特别的重视． 典例1　已知坐标平面内的三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围． 解：(1)由斜率公式，得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝. 因为tan0°＝0，所以直线AB的倾斜角为0°； 因为tan60°＝， 所以直线BC的倾斜角为60°； 因为tan30°＝， 所以直线AC的倾斜角为30°. (2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在△ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为. 【素养提升】　斜率与倾斜角之间的关系 当直线的倾斜角α＝0°时，斜率k＝0，直线与x轴平行或重合； 当0°<α<90°时，斜率k>0，且随着倾斜角增大，k值增大； 当α＝90°时，斜率k不存在(此时直线是存在的，直线与x轴垂直)； 当90°<α<180°时，斜率k<0，且随着倾斜角增大，k值增大． 注意：直线越陡，斜率的绝对值越大． 二、直线方程五种形式的应用 直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论． 典例2　已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(－1，1)，C(9，－3)，求： (1)BC边上的中线所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线的方程； (3)∠BAC的平分线所在直线的方程． 解：(1)因为BC的中点为(4，－1)， 所以BC边上的中线所在直线的方程为＝， 整理可得5x＋2y－18＝0. (2)因为kBC＝－，所以BC边上的高所在直线的斜率为，所以BC边上的高所在直线的方程为y－4＝(x－2)，整理可得5x－2y－2＝0. (3)因为kAB＝1，kAC＝－1，所以kAB＋kAC＝0， 结合图形，可得∠BAC的平分线所在直线的方程为x＝2. 【素养提升】　 (1)直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) y＝－x－ (B≠0) ＋＝1 (ABC≠0) 　　(2)直线方程的一般式与四种特殊形式之间的转化关系(如图) 三、直线的平行与垂直问题 考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可直接利用系数满足的条件处理． 典例3　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0，① 又点(－3，－1)在直线l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a， ∴l1的斜率也存在，且＝1－a，易知a≠0，且a≠1， 故b＝，l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0. ∵原点到l1，l2的距离相等， ∴4＝，解得a＝2或a＝. 因此或经检验符合题意． 【素养提升】　已知两条直线平行或垂直求解参数时，应先考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形．此外，已知两条直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零． 四、距离问题 在应用点到直线的距离公式时，要注意直线方程必须化为一般形式．而在应用两条平行直线的距离公式时，要注意两条直线方程必须化为一般形式，且两条直线方程中x和y的系数必须对应相等．高考中对本部分的考查常结合圆的知识进行，如直线与圆相交、相切等． 典例4　若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－m－2间的距离不大于，则m的取值范围是(　　) A．[－11，－1] B．[－11，0] C．[－1，＋∞) D．[－11，－6)∪(－6，－1] 答案：D 解析：直线y＝－2x－m－2可化为2x＋y＋m＋2＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，由题意知0<≤，即0<|m＋6|≤5，解得－11≤m≤－1，且m≠－6. 【素养提升】　 (1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为对应相等才能套用公式． (2)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． 五、对称问题 在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称． 1．中心对称 (1)两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点．特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)． (2)两条直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等． 2．轴对称 (1)两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程． (2)两条直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称． ①当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上； ②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离． 典例5　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程． 解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 所以点P′的坐标为(－2，7)． (2)解法一：设直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于直线l的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立． 则 解得 把(x1，y1)代入y＝x－2，整理得7x2＋y2＋22＝0，所以l2的方程为7x＋y＋22＝0. 解法二：因为直线l：y＝3x＋3与直线y＝x－2相交， 且交点为. 在直线y＝x－2上取点B(0，－2)， 则点B关于直线l：y＝3x＋3的对称点为B′(－3，－1)， 所以直线y＝x－2关于直线l的对称直线经过点及B′(－3，－1)， 由两点式得所求直线的方程为7x＋y＋22＝0. (3)设直线l关于点A(3，2)的对称直线为l′， 由于l∥l′，可设l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)． 由点到直线的距离公式得 ＝， 即|b＋7|＝10，解得b＝－17或b＝3(舍去)． 所以直线l′的方程为y＝3x－17， 即所求直线的方程为3x－y－17＝0. 【素养提升】　对称问题包括点关于点、点关于直线、直线关于点、直线关于直线以及曲线关于点、直线的对称．其中点关于点、点关于直线对称是所有对称中的两种最基本的对称，应该重点掌握，并能够把其他对称都转化成这两种对称．由于对称问题综合运用了两条直线垂直、平行的判定，点到直线的距离公式等知识点，因此，对称问题一直是考查的重点． 六、圆的方程问题 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．确定圆的方程时，要学会选择合适的圆的方程，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就更简捷．如果题中给出圆心的坐标或圆心的特殊位置和半径时，一般选择标准方程，否则，选择一般方程． 典例6　已知圆心在直线x＋y－1＝0上，且过点A(2，2)的圆C1与直线3x－4y＋5＝0相切，其半径小于5. (1)求圆C1的方程； (2)若圆C2与圆C1关于直线x＋2y－2＝0对称，求圆C2的方程． 解：(1)由圆心在直线x＋y－1＝0上， 可设点C1(a，1－a)． 因为圆C1过点A(2，2)，且与直线3x－4y＋5＝0相切， 所以＝， 整理，得(a－2)(a－62)＝0. 因为圆C1的半径小于5， 所以a＝2， 即C1(2，－1)， 则圆C1的半径r＝3， 所以圆C1的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9. (2)因为圆C2与圆C1关于直线x＋2y－2＝0对称， 所以点C1，C2所在直线的方程为y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0. 设点C2(m，2m－5)， 由题意可知，点C2到直线x＋2y－2＝0的距离等于点C1到直线x＋2y－2＝0的距离， 所以＝， 解得m＝或m＝2(舍去)， 所以点C2， 所以圆C2的方程为＋＝9. 【素养提升】　求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解． 七、圆的几何性质的运用　　 圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对称中心，任意一条直径所在的直线是对称轴．圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等，解题时可充分利用这些性质． 典例7　已知圆M：x2＋y2＝m，圆N：x2＋y2－6x－6y＋16＝0，圆N上存在点P，过P作圆M的两条切线PA，PB，若∠APB＝90°，则m的取值范围为(　　) A．[2，4] B．[4，8] C．[2，16] D．[4，16] 答案：D 解析：圆N：x2＋y2－6x－6y＋16＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝2，因为∠APB＝90°，所以四边形MAPB是正方形，所以|MP|＝，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程为x2＋y2＝2m.又因为点P在圆N上，所以圆N与圆x2＋y2＝2m有公共点，所以|－|≤3≤＋，解得4≤m≤16.故选D. 【素养提升】　过圆外一点引圆的切线，有两条，且切线长相等，解题时充分利用圆的这一性质可以减少运算量． 八、数形结合思想 根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合． 典例8　(多选)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列说法正确的是(　　) A．x2＋y2的最大值是＋1 B.的最大值是2＋ C．过点(0，)作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0 D．|x－y＋3|的最小值是2－ 答案：BC 解析：因为x2＋y2－2x－2＝0⇒(x－1)2＋y2＝3，所以圆C的圆心C(1，0)，半径为r＝.对于A，x2＋y2表示圆上的点P(x，y)到定点O(0，0)距离的平方，如图1所示，所以x2＋y2的最大值为(|OC|＋r)2＝(1＋)2＝4＋2，故A错误；对于B，表示圆上的点(x，y)与点M(－1，－1)的连线的斜率，如图2所示，设k＝，即kx－y＋k－1＝0，由圆心C(1，0)到直线kx－y＋k－1＝0的距离d＝≤r，即≤，解得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，故B正确；对于C，过点(0，)作曲线C的切线，其斜率存在，故可设切线方程为y＝mx＋，由圆心到直线的距离d＝r，得＝，解得m＝，所以切线方程为y＝x＋，即x－y＋2＝0，故C正确；对于D，|x－y＋3|＝×表示圆上任意一点Q到直线x－y＋3＝0的距离的倍，如图3所示，又圆心C到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2，所以圆上任意一点Q到直线x－y＋3＝0的距离的最小值为d－r＝2－，所以|x－y＋3|的最小值为(2－)＝4－，故D错误．故选BC. 【素养提升】　利用类比、联想、化归的思想方法是解决本例的突破口，x2＋y2表示动点(x，y)与原点O(0，0)距离的平方；表示动点(x，y)与定点(－1，－1)连线的斜率；|x－y＋3|＝×表示动点(x，y)到直线x－y＋3＝0的距离的倍．这些方法直观简捷，充分体现了“数形结合”思想的优越性． 九、分类讨论思想 分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．如用待定系数法求直线方程时通常要分斜率存在和不存在两种情况讨论；在用二元二次方程表示圆时要分类讨论． 典例9　已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程． 解：圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5， ①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0. 由题意可知＋＝52， 解得k＝－. 即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0， 综上所述，直线l的方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0. 【素养提升】　在求直线方程时，根据题意不确定斜率是否存在，要分斜率存在与斜率不存在这两种情况进行讨论． 十、函数与方程思想 函数与方程思想的应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点、圆与圆的交点、与圆有关的最值问题等都要用到函数与方程思想． 典例10　当k为何值时，圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0的圆心距最短？并判断此时两圆的位置关系． 解：两圆的标准方程分别是C1：(x＋k)2＋y2＝1，C2：x2＋(y＋k＋1)2＝1. 圆心分别是C1(－k，0)，C2(0，－k－1)，且两圆的半径均为1， 则圆心距|C1C2|＝＝＝. 所以当k＝－时，圆心距有最小值， 且|C1C2|min＝. 因为0<<2，所以此时两圆相交． 【素养提升】　求与圆有关的最值问题时，除了可以利用几何性质求解以外，还可以利用函数这一有利工具．通过函数求最值具有普遍性，本例中把一般方程化为标准方程后，发现k只与圆心有关，而与半径无关，因此k的取值范围是全体实数，为后面利用一元二次函数求最值提供了条件． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$