2.3.4两条平行线间的距离学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.3.4两条平行线间的距离 1、 学习目标： 1.掌握两条平行直线间距离的定义 2.能推导并熟练运用两条平行直线间距离公式计算距离 3.体会转化与化归的数学思想，提升数学运算和逻辑推理能力 二、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定一条直线？ 问题2：给定一点和一条斜率，如何表示直线上任意一点之间的关系？ （2） 新知导航： 两条平行直线间的距离 1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的________的长． 2.两条平行直线间的距离：两条平行直线与之间的距离为________________. 3.根据两条平行直线间距离的含义，在直线 上任取一点 ，点 到直线 的距离就是直线 与直线 间的距离．这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． （3） 应用举例 例1：已知两条平行直线，，求与间的距离． 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、求平行线间的距离 【分析】在上选取一点，如与坐标抽的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离．或者直接利用平行线间距离公式求解. 【详解】设与x轴的交点为A，则A． 点A到直线的距离 所以与间的距离为． 或者，，故平行线间的距离为 跟踪训练1：求下列各对平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求平行线间的距离 【分析】由平行直线间的距离公式可直接求解. 【详解】（1）根据两条平行直线间的距离公式，得 ． 即与间的距离为． （2）将所给直线方程化为一般式，得，． 根据两条平行直线间的距离公式，得 ． 即与间的距离为． （3）将直线的方程化简，得． 根据两条平行直线间的距离公式，得 ． 即与间的距离为． 例2：已知两条平行直线与间的距离为3，求C的值． 【答案】或 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可. 【详解】因为两条平行直线与间的距离为3， 所以，解得或. 跟踪训练2：已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 例3：已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平行线间的距离、由距离求已知直线的平行线 【分析】（1）由平行线间距离公式求距离； （2）设的方程为），再根据平行线间距离公式求解． 【详解】（1）易知与平行，所以两平行直线与间的距离． （2）由与平行，可设的方程为）． 由题意知与之间的距离为，所以有，解得或（舍去）， 所以的方程为． 跟踪训练3：已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由两条直线垂直求方程、由距离求已知直线的平行线 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. （4） 随堂检测 1．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 3．到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】设出直线方程，根据平行线间的距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 4.若两条平行直线：与：间的距离为2，则 . 【答案】或 【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】根据两平行线见距离公式运算求解. 【详解】由题意可得：，解得或. 故答案为：或. 5.平行于直线，且与它距离为的直线方程是 . 【答案】或 【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】设所求直线方程为，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故答案为：或． 3、 数学情境 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可. 【详解】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 则由平行线间的距离公式得，得 故选：B. 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.3.4两条平行线间的距离 1、 学习目标： 1.掌握两条平行直线间距离的定义 2.能推导并熟练运用两条平行直线间距离公式计算距离 3.体会转化与化归的数学思想，提升数学运算和逻辑推理能力 二、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定一条直线？ 问题2：给定一点和一条斜率，如何表示直线上任意一点之间的关系？ （2） 新知导航： 两条平行直线间的距离 1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的________的长． 2.两条平行直线间的距离：两条平行直线与之间的距离为________________. 3.根据两条平行直线间距离的含义，在直线 上任取一点 ，点 到直线 的距离就是直线 与直线 间的距离．这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． （3） 应用举例 例1：已知两条平行直线，，求与间的距离． 跟踪训练1：求下列各对平行直线间的距离： (1)，；(2)，；(3)，． 例2：已知两条平行直线与间的距离为3，求C的值． 跟踪训练2：已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 例3：已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离；(2)求直线的方程． 跟踪训练3：已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. （4） 随堂检测 1．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4.若两条平行直线：与：间的距离为2，则 . 5.平行于直线，且与它距离为的直线方程是 . 3、 数学情境 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $