第一章 空间向量与立体几何 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教A版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．空间向量中的一些重要结论 空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0. 空间向量共面的充要条件：p，a，b共面⇔p＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)． 空间向量的数量积及夹角公式：a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝. 空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．空间向量的坐标表示及运算 这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正交基底{i，j，k}按右手系排列，各坐标轴的正方向与i，j，k同向． 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，O(0，0，0)，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； λa＝(λa1，λa2，λa3)； ＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔＝＝(b1，b2，b3≠0)； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝ ＝； |AB|＝. 3．运用向量方法研究平行与垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，直线l1的方向向量为b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(以下相同) 线线平行：l∥l1⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． 线线垂直：l⊥l1⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 线面平行：若l⊄α，则l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. 线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝λμ⇔a1＝λa3，b1＝λb3，c1＝λc3(λ∈R)． 面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4(λ∈R)． 面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 4．用向量方法求空间距离和角 (1)求点到直线的距离 点P到直线l的垂线段的长度叫做点P到直线l的距离．若A，Q为直线l上的点，且PQ⊥l，则点P到直线l的距离d＝|PQ|＝. (2)求点到平面的距离 点P到它在一个平面α内射影的距离，叫做点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝. (3)求两条异面直线所成的角 利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两条异面直线所成的角θ的范围是，故实质上应有cosθ＝|cos〈a，b〉|. (4)求直线与平面所成的角 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|. (5)求平面与平面的夹角 用向量法求平面与平面的夹角也有两种方法：一种方法是利用二面角的平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小，若二面角为锐角，则平面与平面的夹角为该角，若二面角为钝角，则平面与平面的夹角为它的补角；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与平面与平面的夹角的大小相等或互补． 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量基本定理、两个向量的数量积，这是学习空间向量与立体几何的基础，也是空间向量与立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化为向量代数运算． 1．空间向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求． 典例1 　(1)如图，在正三棱台ABC－A1B1C1中，AC＝2A1C1，P为A1B1的中点，Q为PC的中点，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为(　　) A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D.a＋b＋c 答案：B 解析：由题意，可得＝＋＝＋＝＋＝c＋a，而＝＋＝b＋＝a＋b＋c.故选B. (2)(多选)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，△A1BD的重心为G，则(　　) A.∥ B．若M为BC的中点，则＝＋2 C.＝(＋) D.＋＝ 答案：AC 解析：对于A，设O为BD的中点，因为G为△A1BD的重心，所以＝＝×(＋)＝(＋－2)，则＝＋＝(＋＋)，又＝＋＋，所以＝3，故∥，故A正确；对于B，＝＋＋，＝＋，故2－＝－＝，故B错误；对于C，由A项可知＝(＋)，故C正确；对于D，＋＝(＋＋)＋(＋＋)＝2，故D错误．故选AC. 【素养提升】　解决空间向量线性运算问题的方法及技巧 (1)进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． (2)与空间向量的线性运算相关的结论 ①位置向量：＝－. ②在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有＝＋＋. ③若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. ④若O为空间中任意一点，则 a．点P是线段AB中点的充要条件是＝(＋)； b．若G为△ABC的重心，则＝(＋＋)． 2．空间向量的数量积 正确运用空间向量的数量积公式及性质求角及距离． (1)空间向量a，b的数量积a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． (2)空间向量的数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a. 典例2　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AC1＝. (1)求侧棱AA1的长； (2)若M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求·的值及异面直线AC1与MN所成角的大小． 解：(1)设侧棱AA1＝x， ∵在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，且∠BAA1＝∠DAA1＝60°， ∴2＝2＝1，2＝x2，·＝0，·＝，·＝， 又＝＋＋， ∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝26， ∴x2＋2x－24＝0，∵x>0，∴x＝4， 即侧棱AA1的长为4. (2)∵＝＋＋， ＝＝(－)， ∴· ＝(＋＋)·(－) ＝(2－2＋·－·) ＝×(1－1＋2－2)＝0， ∴异面直线AC1与MN所成角的大小为90°. 【素养提升】　 (1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如|a|2＝a2，a在b上的投影向量的长度为等． 3．共线向量、共面向量 运用共线向量的充要条件和共面向量的充要条件可以解决立体几何中的平行问题和共面问题． 典例3　如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)． (1)向量是否与向量，共面？ (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？ 解：(1)因为＝k，＝k， 所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k， 所以由共面向量的充要条件知向量与向量，共面． (2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内， 又由(1)知与，共面， 所以MN∥平面ABB1A1. 【素养提升】　 (1)空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 二、立体几何中的向量方法 空间向量要解决的问题主要是用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立空间直角坐标系)利用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离)，最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题． 1．利用空间向量证明平行关系 若直线a⊄平面α，其方向向量为a，平面α的法向量是n，且a⊥n，则a∥α. 若u，v分别是平面α，β的法向量，且u∥v，则α∥β. 典例4　如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证： (1)PB∥平面EFG； (2)平面EFG∥平面PBC. 证明：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直． 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 证法一：＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)， 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则n＝(1，0，1)， ∵＝(2，0，－2)，∴·n＝0，∴n⊥， ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG. 证法二：＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)． 设＝s＋t， 即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)， ∴解得s＝t＝2， ∴＝2＋2，又与不共线， ∴，与共面． ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG. (2)由(1)知＝(0，1，0)，＝(0，2，0)， ∴＝2，∴BC∥EF. 又BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG， ∴BC∥平面EFG. 又PB∥平面EFG，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴平面EFG∥平面PBC. 【素养提升】　利用空间向量证明平行关系的方法 (1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个与直线的方向向量共线的向量； ③利用共面向量的充要条件，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示． (3)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． 2．利用空间向量证明垂直关系 用向量法证线面垂直，一是通过数量积证直线的方向向量与平面内的两个不共线向量垂直，二是证平面的法向量与直线的方向向量平行；证面面垂直可证两个平面的法向量垂直． 典例5　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． (1)求证：EF⊥DA1； (2)求证：DA1⊥平面ABC1. 证明：(1) 如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则E(2，2，1)，F(1，1，2)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)， 所以＝(－1，－1，1)， ＝(2，0，2)， ·＝－1×2＋(－1)×0＋1×2＝0， 所以EF⊥DA1. (2)由(1)知＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)， 设平面ABC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝0，z＝1， 即n＝(1，0，1)， 又＝(2，0，2)，显然＝2n， 故DA1⊥平面ABC1. 【素养提升】　利用空间向量证明垂直关系的方法 (1)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (2)线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直． (4)相互转化 线线垂直⇌线面垂直⇌面面垂直． 3．利用空间向量求空间距离 (1)空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，其中两点距与点面距为高考重点考查内容，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解． (2)两点距一般利用向量模求解，即利用两点间距离公式，而点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解． 典例6 　(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．BE与B1C所成角的正弦值是 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 答案：ACD 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E. 对于A，＝，＝(0，1，－1)，设BE与B1C所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝，sinθ＝＝，故A正确；对于B，易知＝＝，因为AB⊥平面A1ADD1，A1D⊂平面A1ADD1，所以AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离为d1＝＝＝，故B错误；对于C，因为A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥CD1，因为CD1⊂平面B1CD1，A1B⊄平面B1CD1，所以A1B∥平面B1CD1，同理可证BD∥平面B1CD1，又A1B∩BD＝B，A1B，BD⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，所以n＝(1，1，1)，所以点D1到平面A1BD的距离d2＝＝＝，故C正确；对于D，因为＝＋＋，所以＝，＝(1，0，0)，则＝，所以点P到直线AB的距离为d3＝＝＝，故D正确．故选ACD. 【素养提升】　 (1)用向量法求点到平面的距离 如图，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，点A到平面α的距离||＝.事实上，∵cos〈，n〉＝，∴||＝|||cos〈，n〉|＝||＝. (2)利用空间向量求点到直线的距离一般直接套用点到直线的距离公式求解． 4．利用空间向量求角 利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围以及空间角与向量夹角的关系． 典例7　如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC＝2AB＝2AD＝4BE，平面PAB⊥平面ABCD. (1)求证：DE⊥平面PAC； (2)若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PCD夹角的余弦值． 解：(1)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AB⊥PA，∴PA⊥平面ABCD. 又AB⊥AD，故可建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，不妨设BC＝4，AP＝λ(λ＞0)，则有A(0，0，0)，D(0，2，0)，E(2，1，0)，C(2，4，0)，P(0，0，λ)， ∴＝(2，4，0)，＝(0，0，λ)，＝(2，－1，0)， ∴·＝4－4＋0＝0，·＝0， ∴DE⊥AC，DE⊥AP且AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC， ∴DE⊥平面PAC. (2)由(1)知，平面PAC的一个法向量是＝(2，－1，0)，又＝(2，1，－λ)， 设直线PE与平面PAC所成的角为θ， ∴sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝， 解得λ＝±2. ∵λ＞0，∴λ＝2，即P(0，0，2)， 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(2，2，0)，＝(0，－2，2)． 由n⊥，n⊥，可得 不妨令x＝1，则n＝(1，－1，－1)， ∴|cos〈n，〉|＝＝＝， ∴平面PAC与平面PCD夹角的余弦值为. 【素养提升】　利用空间向量求角的注意点 (1)异面直线所成的角：两条异面直线所成角的范围为，需找到两条异面直线的方向向量，借助方向向量的夹角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦值cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉． (3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β的夹角和法向量n1与n2的夹角相等或互补． 5．利用空间向量解决探索性问题 探索性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性． 典例8　如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点． (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求出线段AS的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz. 依题意，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，N(1，1，1)，E. ∴＝，＝(－1，0，1)． ∵cos〈，〉＝＝－， 故异面直线NE与AM所成角的余弦值为. (2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN. ∵＝(0，1，1)，可设＝λ＝(0，λ，λ)(0≤λ≤1)． 又＝， ∴＝＋＝. 由ES⊥平面AMN，得 即 故λ＝，此时＝，||＝. 经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN. 故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝. 【素养提升】　有关是否存在一点使得直线与平面之间满足垂直或平行的探索性问题，解答时，先建立空间直角坐标系，再假设存在这样的点，设出该点的坐标，将直线与平面的垂直、平行关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组)．若方程(组)有解，则点存在；否则，点不存在． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$