专题1-2 空间向量大题专练（斜棱柱不规则体建系，距离，角度，存在性问题，最值等11类大题）-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019）

【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 专题1-2 空间向量11类大题综合归类 总览 题型解读 重点题型 【题型1】求点到平面距离 1 【题型2】求线面角 4 【题型3】求面面角，二面角 7 中档题型 【题型4】斜棱柱建系问题 10 【题型5】斜棱锥建系问题 13 【题型6】台体建系问题 14 【题型7】不规则几何体体建系 15 【题型8】已知点到平面距离求其它量 17 【题型9】已知线面角求其它量 18 【题型10】已知二面角求其它量 21 【题型11】最值与范围问题 24 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求点到平面距离 点到平面的距离 如图已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 1. （22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 【巩固练习1】（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【巩固练习2】（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点． (1)证明：平面ABP； (2)若，求点P到平面BCE的距离． 【巩固练习3】（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【题型2】求线面角 1、求线面角的步骤 1、在底面选择合适的点作为原点建立空间坐标系（一般为直角的顶点） 2、写出相关点的坐标，个别特殊点要用到中点坐标公式或向量之间的倍数关系来得出坐标（如例1） 3、写出相关向量坐标， 4、设法向量，赋值得出平面的一个法向量 5、结合线面角公式计算求值 若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 直线与平面所成的角为， 2、直线与平面所成角公式的解释 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①，②.（注意此公式中最后的形式是：） 思考：为什么要加绝对值？ 2. （24-25高三上·山东烟台·开学考试）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面BDEF； (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 3. （高二下·广东·期末）四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面． (1)求证：； (2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值． 【巩固练习1】（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习2】如图，在直三棱柱中，，点到平面的距离为分别为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习3】在长方体中，，，E为中点． (1)证明：； (2)求DE与平面所成角的正弦值． 【巩固练习4】（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【题型3】求面面角，二面角 1、公式：若,分别为面，的法向量 二面角的平面角为，则 平面与平面所成角为，则 2、面面角与二面角公式推导 如图，若于G，于H，平面PHG交于E，则∠HEG为二面角的平面角，∠HEG+∠HPG=180°. 若,分别为面，的法向量，则 ①设二面角的平面角为，则 ②设平面与平面所成角为，则 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。 4. （24-25高三上·湖北·开学考试）如图，长方体中，点分别在上，且，. (1)求证：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 5. （23-24高二下·广东深圳·期末）在三棱锥 中， 平面 分别是 的中点，点 在棱 上，且 . (1)求证: 平面 ; (2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 6. （2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 7. （2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【巩固练习1】（高二下·广东深圳·期末）如图，已知三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，是边长为2的正三角形，且平面平面.      (1)证明：平面平面； (2)若，点为的中点，点为圆上一点，且与位于直径的两侧，当平面时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【巩固练习2】如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． (1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； (2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 【巩固练习3】（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 模块二 中档题型 【题型4】斜棱柱建系问题 斜棱柱这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以从以下几方面思考： 1、如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找z轴 2、让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度 3、借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标 4、结合已知的线面垂直通过做垂线，来得出线面垂直（如第二题） 8. （23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 9. 如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 10. 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AC=2BD=2AA1=4，AC1⊥CC1，AA1⊥BD，E是侧棱BB1上一点.    (1)若BE＝B1E，证明：CC1⊥平面AC1E； (2)若，求二面角的余弦值. 【巩固练习1】如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【巩固练习2】（23-24高二上·广东深圳·期中）在斜三棱柱中，，，. (1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点； (2)求直线AC1与平面所成角的余弦值． 【巩固练习3】如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【题型5】斜棱锥建系问题 斜面型棱锥， 不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：一半从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高，在底面寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系 11. 如图（1），在平面五边形中，，将沿折起得到四棱锥，如图（2），满足，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习1】（重庆·高二统考期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【题型6】台体建系问题 台体建系型方法 正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴。 非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维 12. 如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点． (1)证明：平面BCD； (2)若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值． 【巩固练习1】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【题型7】不规则几何体体建系 不规则几何体型建系 不规则几何体建系型思维： 1、多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”。 2、如有垂线，则可以垂线型建系。 3、无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点。 13. （2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【巩固练习1】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 【巩固练习2】如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点． (1)若点N为的中点，求证：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【巩固练习3】如图，在正四棱锥中，，已知，，其中分别为的中点. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【题型8】已知点到平面距离求其它量 14. （23-24高三上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 15. 如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点. (1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值； (2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值. 【巩固练习1】（2024·福建泉州·模拟预测）在四棱锥中，．    (1)求证： (2)当点到平面的距离为时，求直线与平面所成的角的正弦值． 【巩固练习2】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 【题型9】已知线面角求其它量 16. （2025·广东深圳·一模）如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． (1)求证：平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 17. 如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积. 18. （23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【巩固练习1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知四棱锥中，平面底面为的中点，为棱上异于的点． (1)证明：； (2)试确定点的位置，使与平面所成角的余弦值为． 【巩固练习2】（2025·安徽·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面为中点．    (1)求证：平面； (2)点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【巩固练习3】如图，四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【巩固练习4】在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．    (1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明． 【题型10】已知二面角求其它量 已知二面角的题，建系计算稍微复杂，可以先尝试几何法，比如2021年新高考1卷的立体几何大题几何法比建系计算方便很多 几何法补充：三垂线法求二面角、面面角 使用前提：已知其中某个平面的垂线段 具体步骤 （1）已知AB垂直平面β，垂足为B（l⊥AB） （2）过垂足B作交线l的垂线BO（l⊥OB） （3）易知l⊥平面AOB，则∠AOB即为所求， 且△AOB为直角三角形，邻比斜即可 19. （23-24高二下·湖南长沙·期末）由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. (1)求证：平面； (2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 20. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【巩固练习1】（2025·江苏南通·一模）如图，四边形为菱形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 【巩固练习2】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【巩固练习3】（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接    (1)证明：平面 (2)点P在棱上，当二面角为时，求EP的长． 【题型11】最值与范围问题 一、函数法 大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值 二、解不等式法 利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解 三、变量分析法 在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题 21. 如图，在四棱锥中，，，.平面平面，为等边三角形，点是棱上的一动点. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 22. 如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.    (1)当平面时，求的值； (2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围. 23. 如图甲，在矩形ABCD中，，E为线段DC的中点，沿直线AE折起，使得，如图乙. (1)求证：平面： (2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求的取值范围. 24. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【巩固练习1】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【巩固练习2】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【巩固练习3】如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）． （1）若平面CFG，请确定点P的位置； （2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值． 【巩固练习4】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，.    (1)证明：面面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（新高考） 专题1-2 空间向量11类大题综合归类 总览 题型解读 重点题型 【题型1】求点到平面距离 1 【题型2】求线面角 8 【题型3】求面面角，二面角 17 中档题型 【题型4】斜棱柱建系问题 29 【题型5】斜棱锥建系问题 38 【题型6】台体建系问题 42 【题型7】不规则几何体体建系 46 【题型8】已知点到平面距离求其它量 52 【题型9】已知线面角求其它量 58 【题型10】已知二面角求其它量 68 【题型11】最值与范围问题 78 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求点到平面距离 点到平面的距离 如图已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 1. （22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （2）结合（1）中结论，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为为直三棱柱，所以平面. 因为，所以. 可以以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系. 不妨设，则，，， 所以，， 设平面的法向量为，所以，、令，则，，即， 取平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角为， 所以，解得. 即长为. （2）由（1）知平面的一个法向量为. 因为， 所以点到平面的距离为. 【巩固练习1】（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】 （1）以所在的直线为轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论. （2）利用向量法求得平面的法向量，根据距离的向量求法求点到平面的距离． 【详解】（1） 证明：平面，为正方形，以所在的直线为轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系． 由已知可得，，，， 为的中点， ， 所以 ， ， ， 所以 ，所以， 又点为中点，，所以， ，平面 ，平面，      又因为平面,故平面平面． （2） 设平面的法向量为，则 令，则 ，， ，设点到平面的距离为d， ,点到平面的距离为． 【巩固练习2】（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点． (1)证明：平面ABP； (2)若，求点P到平面BCE的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平行四边形，则可得平面. （2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可. 【详解】（1）设为的中点，连接,， 是的中点，， ,且， ， 四边形是平行四边形，， 又平面平面, 平面. （2）由于侧棱平面，面， ，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系, ，， ，，，， ，，， 设平面的法向量, 则有，即， 令,则， 点到平面的距离. 【巩固练习3】（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有，即点到平面的距离为. 【题型2】求线面角 1、求线面角的步骤 1、在底面选择合适的点作为原点建立空间坐标系（一般为直角的顶点） 2、写出相关点的坐标，个别特殊点要用到中点坐标公式或向量之间的倍数关系来得出坐标（如例1） 3、写出相关向量坐标， 4、设法向量，赋值得出平面的一个法向量 5、结合线面角公式计算求值 若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 直线与平面所成的角为， 2、直线与平面所成角公式的解释 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①，②.（注意此公式中最后的形式是：） 思考：为什么要加绝对值？ 2. （24-25高三上·山东烟台·开学考试）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面BDEF； (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合菱形性质，利用线面垂直的判定定理求解即可； （2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角即可. 【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 且O为AC中点，，， 又，平面BDEF，∴平面BDEF． （2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且， 为等边三角形， ∵O为BD中点，∴，又，平面ABCD， 平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直， ∴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示， 设，∵四边形ABCD为菱形，，． 为等边三角形，∴． ， ∴，， 设平面ABF的法向量为，则 令，解得， 设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：． 3. （高二下·广东·期末）四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面． (1)求证：； (2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】（1）证明：因为，，， 由余弦定理， 所以，则，所以，即， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面，又平面，所以； （2）解：如图建立空间直角坐标系，则、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【巩固练习1】（23-24高二下·广东·期末）如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取上的点，使，可得，则由线线平行可证线面平行； （2）取中点，连，根据题意可证，平面，所以以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【详解】（1）取上的点，使， 则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）取中点，连，因为，所以， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设为平面的法向量， 则，可取， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习2】如图，在直三棱柱中，，点到平面的距离为分别为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设的中点为，连接，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据向量法即可证明； （2）根据向量法即可求出. 【详解】（1）因为，所以， 设的中点为，连接， 则，又点到平面的距离为1， 即，所以， 又因为三棱柱是直三棱柱，为的中点， 所以，又平面， 故平面，而均在平面内， 故两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 所以，所以； （2）因为，故， 又，故，设平面的法向量为， 则即 取，则,设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值是. 【巩固练习3】在长方体中，，，E为中点． (1)证明：； (2)求DE与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)DE与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，结合数量积的性质证明AC⊥D1E； （2）求直线的方向向量和平面的法向量，求两向量的夹角可得DE与平面AD1E所成角的正弦值． 【详解】（1）由已知两两垂直，以为轴正方向建立空间直角坐标系， 因为，，E为中点． 所以， 所以， 所以，所以， 所以 （2）由（1）， 设平面的法向量为，则，故， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线DE与平面所成角为，则 ， 所以DE与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习4】（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，由线面垂直得到，结合是正三角形，故，并得到为等边三角形，，故，即，结合，得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式得到答案. 【详解】（1）连接，因为平面，平面， 所以，，， 由勾股定理得，， 因为，所以. 又四边形是菱形，，所以是正三角形， 所以. 由，得是正三角形，. 所以，即. 由平面，平面，可得. 因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，所以， 则， ， .设是平面的一个法向量，由得 取，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【题型3】求面面角，二面角 1、公式：若,分别为面，的法向量 二面角的平面角为，则 平面与平面所成角为，则 2、面面角与二面角公式推导 如图，若于G，于H，平面PHG交于E，则∠HEG为二面角的平面角，∠HEG+∠HPG=180°. 若,分别为面，的法向量，则 ①设二面角的平面角为，则 ②设平面与平面所成角为，则 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。 4. （24-25高三上·湖北·开学考试）如图，长方体中，点分别在上，且，. (1)求证：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）因为平面平面，所以， 又且，平面，所以平面， 且平面，故，同理，， 平面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 在平面中， 设平面的一个法向量为， 则，可取 由（1）知，平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则 故所求的夹角的余弦值为. 5. （23-24高二下·广东深圳·期末）在三棱锥 中， 平面 分别是 的中点，点 在棱 上，且 . (1)求证: 平面 ; (2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用线面平行的判定可得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，利用公式求出即可 【详解】（1）连接AP并延长交BD于点N，连接NC， 过点M作BD的平行线交AN于点E， 因为，且M，P分别是 的中点， ，即，又因为， 所以，又因为平面，平面， 所以 平面 ； （2）取CD的中点T，连接，则， 设，以T为坐标原点，分别以TB，TD，垂直于平面的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 那么， 设平面的法向量为，， 所以， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为平面的法向量为， ， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 6. （2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 7. （2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 【巩固练习1】（高二下·广东深圳·期末）如图，已知三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，是边长为2的正三角形，且平面平面.      (1)证明：平面平面； (2)若，点为的中点，点为圆上一点，且与位于直径的两侧，当平面时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明平面PAC即可； （2）建立空间直角坐标系，运用空间向量求解. 【详解】（1）   的中点为等边三角形，， 平面平面，平面平面平面， 平面， 为圆的直径，， 又平面PAC，平面，平面PAC； 平面平面平面； （2）连接OE，OF，由三角形中位线的性质可知， 又平面平面平面， 平面平面平面， 平面平面，平面平面， 由题可知，则，取中点，连接，则平面平面， 由（1）可知平面，即PM，MO，AC两两垂直，以M为原点，如下图：建立空间直角坐标系，   ， ， 设平面的一个法向量，则，即， 令，则， 由（1）可知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 【巩固练习2】如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． (1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； (2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过作下底面的垂线交下底面于点，过作的平行线，交圆于，，即可求出结果； （2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面和平面，利用面面角的向量法，即可求出结果. 【详解】（1）是的中点，． 要满足平面，需满足， 又平面，平面平面 如图，过作下底面的垂线交下底面于点， 过作的平行线，交圆于，，则线段即点的轨迹． （2）易知可以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 母线长为，母线与底面所成角为45°，，，，， 取的位置如图所示，连接， ，，即， 则，，，，， 则，，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面所成的角为，则 ， ． 【巩固练习3】（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据题意证明直线与两个平面的交线垂直，再利用面面垂直的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，取棱靠近的三等分点， 连结，则是的中点， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 所以，因为，所以， 设，因为， 所以，作，连接， 则，因为，所以． 在中，由余弦定理得， ． 又面， 平面，因为面，所以． 又由平面平面，平面平面， 平面得证. （2）由（1）知，．以为原点， 的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 令． 设平面的法向量为， 则即令，可得． 连接，此时，，由余弦定理得， 所以，所以， 因为平面，所以， 因为面，， 所以面，故平面的一个法向量为． 设平面和平面的夹角为，则， 平面和平面夹角的余弦值为． 模块二 中档题型 【题型4】斜棱柱建系问题 斜棱柱这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以从以下几方面思考： 1、如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找z轴 2、让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度 3、借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标 4、结合已知的线面垂直通过做垂线，来得出线面垂直（如第二题） 8. （23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形， 因为为中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，因为，，所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为 9. 如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理进行证明； （2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解． 【详解】（1） 取的中点，连接． 因为侧面是菱形，，所以是正三角形， 因为是中点，所以． 因为是中点，，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为斜三棱柱，所以，所以． （2）因为平面平面，所以平面，因为平面，所以． 又因为平面平面，所以平面． 以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以，， 设平面的一个法向量为， 则即． 取，则，所以． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，所以． 又， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 10. 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AC=2BD=2AA1=4，AC1⊥CC1，AA1⊥BD，E是侧棱BB1上一点.    (1)若BE＝B1E，证明：CC1⊥平面AC1E； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设，交于点，连接，，可证，，进而可证平面，进而，，可证结论； （2）过作，垂足为，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：如图，设，交于点，连接，，   因为四边形是菱形，，，所以，. 因为，，平面，，所以平面， 因为平面，所以，连接，，所以， 因为，所以，所以. 因为，所以，所以.因为，平面，， 所以平面. （2）过作，垂足为，因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面. 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，因为，所以，    则，所以.易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以. 设二面角的大小为， 所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【巩固练习1】如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，． (1)证明：． (2)若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，，将线线垂直转换为线面垂直，即平面，通过线面垂直的判断定理证明即可； （2）先证明平面ABC，再建立空间直角坐标系求出各点的坐标，求出二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式即可得出结果. 【详解】（1）证明：取AB的中点，连接，，因为M为AC的中点，所以， 又，所以， 因为，所以，所以M，N，，四点共面， 因为，，，平面，平面， 所以平面，所以. （2）因为平面，所以， 又，，所以， 因为，，所以在中，，则， 由平面，可得.因为，所以平面ABC， 以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，以经过点且垂直于方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则由，可得， 令，得， 由题可知，平面的一个法向量为， ， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【巩固练习2】（23-24高二上·广东深圳·期中）在斜三棱柱中，，，. (1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点； (2)求直线AC1与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）法一：取线段的中点，连接，应用线面垂直的性质及判定证得平面，即可得结论；法二：利用空间向量加减几何意义、数量积运算律证得、，即得平面，即可得结论； （2）法一：设，作平面，连接，则即为直线AC1与平面所成角，结合已知、等体积法相关线段长，即可求角的余弦值；法二：应用向量法求线面角即可. 【详解】（1）法一：取线段的中点，连接， 由题意，故，则，于是， 而，则，为等边三角形且为的中点，故， ∵，且面，则面，面， ∴， ∵且为的中点， ∴，又，，且面， ∴面，面，则， 又，且面， ∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M； 法二：取线段的中点，设，，， 由题意得，，故， 由，故，则， ∵，， ∴，代入化简，得， ∵，∴，即， 同理，又，面， ∴平面，即在底面ABC上的射影是线段BC中点M； （2）法一：设，作平面，连接，    则即为直线AC1与平面所成角， 在中，，，， ∴， 由（1）得，，∴， ，由（1）易知：平面与之间的距离为1， 由，则，解得， 在中，， ，直线AC1与平面所成角的余弦值为. 法二：如图，以M为坐标原点建立空间直角坐标系，    则，故， 设面的法向量，则，令，即， 又， 设线AC1与面所成角为且，则， ，直线AC1与平面所成角的余弦值为. 【巩固练习3】如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)1 ；(2) 【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离； （2）空间向量法求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）在平行六面体中，是三棱柱， ， 设点到平面的距离为，则，所以， 即点到平面的距离为1． （2）在中，，所以是菱形，连接交于，则， 由（1）知点到平面的距离为1，所以平面． 设点在直线上射影为点， 则，且， 所以和重合，即． 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 根据，则， ，设平面的一法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角正弦值为．    【题型5】斜棱锥建系问题 斜面型棱锥， 不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：一半从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高，在底面寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系 11. 如图（1），在平面五边形中，，将沿折起得到四棱锥，如图（2），满足，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意及向量的关系可得的长度，可得，可得，再由勾股定理可得，进而可证得平面，进而可证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而可得所求的线面所成角的正弦值. 【详解】（1），， 且，可得， ，， 所以，① 所以， 在中，， 所以， 所以平面， 所以，② 又平面，③ 由①②③可得平面， 平面， 所以平面平面； （2）过作交于， 由①可得两两相互垂直， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令， 即， 则， 所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习1】（重庆·高二统考期末）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    【题型6】台体建系问题 台体建系型方法 正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴。 非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维 12. 如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点． (1)证明：平面BCD； (2)若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO.根据题意得到和，利用线面垂直的判定得到平面CBD，然后利用中位线定理得到四边形EFGO为平行四边形，进而得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用空间向量的夹角公式进而求解. 【详解】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO ． 在菱形ABED中，． 因为平面ABED，平面ABED，所以．又因为，平面CBD，所以平面CBD．因为，且，， 所以，且，所以四边形EFGO为平行四边形，所以， 所以平面CBD． （2）如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图． 设，则，，，， 设平面ACD的一个法向量为，由得，取， 因为，记直线FG与平面ACD所成角为，则， 所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是． 【巩固练习1】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可用未知数表示出直线与平面所成的角的正弦值，计算即可得解. 【详解】（1）连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    （2）正四棱台中，上下底面中心的连线底面， 底面为正方形，故， 故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系， 由，侧面与底面所成角为， 则， 则，，， 假设在线段上存在点满足题设，则， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 故， 解得或（舍），故， 故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， 此时线段的长为.    【题型7】不规则几何体体建系 不规则几何体型建系 不规则几何体建系型思维： 1、多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”。 2、如有垂线，则可以垂线型建系。 3、无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点。 13. （2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 【巩固练习1】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面； （2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为. 【详解】（1）证明：连接，如下图（1）中所示：因为四边形为平行四边形，所以是中点， 又点为线段的中点，则，且,又且，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；    （2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由平面⊥平面，，可知， 均为边长为2的正三角形，则有， 设，则， 为平面的法向量，所以， 解得（其中舍去）,所以， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取． 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取所以． 所以二面角的正弦值为．即二面角的正弦值为. 【巩固练习2】如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点． (1)若点N为的中点，求证：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）连接，，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面． （2）根据题意，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，，因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）解：取的中点O，连接，因为侧面为菱形，且， 所以在中，，解得，所以'，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，过O作的垂线，交于H并延长， 分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则，故，，，，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则 ，即， 取，可得， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，所以， 则，故平面与平面夹角的余弦值为． 【巩固练习3】如图，在正四棱锥中，，已知，，其中分别为的中点. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，证明四边形和四边形为平行四边形，进而证得，，即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，连接， 由题意可得为的中点， 因为为的中点， 所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为为的中点， 所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以； （2）由题意知平面，， 如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系， 因为，， 所以， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 【题型8】已知点到平面距离求其它量 14. （23-24高三上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，. (1)证明：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）建系，分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明； （2）设出点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点坐标，再代入线面角的向量公式求出即可. 【详解】（1） 证明：在直三棱柱中，，平面， 所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则点，，，，， 则，，， 设，则， 设平面和平面的法向量分别为， 则，取，则； ，取，则， 因为， 所以平面平面. （2）设点， 由，得平面的法向量， 由得点到平面的距离， 解得， 由，得，直线与平面所成的角的正弦值为. 15. 如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点. (1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值； (2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)存在，(2) 【分析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，由此可得出结论； （2）过点在平面内作，垂足为点，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，求出的值，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、， 则，又因为，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，，因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面，因此，线段上是否存在点，且当时，平面. （2）过点在平面内作，垂足为点，连接， 由，，，所以，， 所以，，所以，，过点在平面内作，垂足为点， 因为，，，、平面， 所以，平面，因为平面，则， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为点到平面的距离为，即， 且，所以， 由图可知，为锐角，所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，，设平面的法向量，则， 取，则，， 所以，， 因为，因此，与平面所成角的正弦值为. 【巩固练习1】（2024·福建泉州·模拟预测）在四棱锥中，．    (1)求证： (2)当点到平面的距离为时，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）为中点，平面，以为原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直； （2）求平面的法向量，由点到平面的距离，求出，向量法求直线与平面所成的角的正弦值． 【详解】（1），为中点，连接，则， ，，则， 又，，平面，则有平面， 平面，则平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面， 以为原点，为轴，为轴，平面内垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 有，，， 所以，即. （2）时，设， 则， ， 平面的一个法向量为，则有， 令，则，得， 点到平面的距离为，则有，解得， 所以，，， ，所以直线与平面所成的角的正弦值为. 【巩固练习2】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，通过证明平面，证得； （2）以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，向量法求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为，连接. 因为，，所以， 又因为，，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以.① 平面，平面，， 为正方形，，平面中，， 又，即有，所以四边形是矩形. 因为，，所以， 又由已知得，，所以四边形为矩形，所以.② 由①②， 结合， 平面， 所以平面，平面，所以. （2），由（1）可知，又因为，所以. 以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得. 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成的角为. 【题型9】已知线面角求其它量 16. （2025·广东深圳·一模）如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． (1)求证：平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接EM，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面PQM的法向量，设出点的坐标，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【详解】（1）连接EM，由，得， 又，则四边形为平行四边形， 由点E和M分别为AP和BQ的中点，得且， 而，F为CD的中点，则且， 四边形为平行四边形，则，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC． （2）由平面，，得直线两两垂直， 以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面PQM的法向量，则， 取，得， 设，即， 则，， 由直线DN与平面PMQ所成的角为，得， 即，整理得，而，解得， 所以. 17. 如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果. 【详解】（1）连接， 分别是线段的中点，， 底面四边形为正方形，， 平面，平面，， 又，平面，平面， ，平面， 又平面，平面平面. （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得：，，； 设直线与平面所成角为， ， 解得：或（舍），， 平面，平面，； ，，平面，平面， 到平面的距离为， .    18. （23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得. （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 【巩固练习1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知四棱锥中，平面底面为的中点，为棱上异于的点． (1)证明：； (2)试确定点的位置，使与平面所成角的余弦值为． 【答案】(1)证明见解析 (2)位于棱靠近的三等分点 【分析】（1）连接交于点，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取的中点，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立，利用线面角公式代入即可求解． 【详解】（1）如图，连接交于点． 因为为的中点，，所以． 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）如图，取的中点，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设， 所以， 所以，即． 则， 设平面的法向量为，则 即取， 设与平面所成的角为， 由，得． 所以， 整理得， 因为，所以，即， 故当位于棱靠近的三等分点时，与平面所成角的余弦值为． 【巩固练习2】（2025·安徽·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面为中点．    (1)求证：平面； (2)点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可. 【详解】（1）由题意：，同理， 又．而，即 又平面平面，平面平面平面， 平面平面，又，且面面平面． （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设，有， 取面的一个法向量， 则， 故． 令是平面的一个法向量，则，即 令，有，则 故平面与平面夹角的余弦值为． 【巩固练习3】如图，四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，由空间向量列式求解． 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，    依题意得 ． 设平面的法向量，则 令，则， 平面的一个法向量为． 设平面的法向量，则令， 则， 平面的一个法向量为． 于是 平面与平面夹角的余弦值为. （2），设存在符合题意的点，且，则． 平面的一个法向量为， 设为直线与平面所成的角， 则    ，或（舍去） 存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 【巩固练习4】在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．    (1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件及勾股定理和逆定理，利用矩形的性质及线面垂直的的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的共线定理，求出点的坐标，分别求出直线BE的方向向量和平面QAD的法向量，再利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【详解】（1）由题意知，，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE， 故有，易得，BD＝2，， 在△ABD中，∵，∴BD⊥AD． 因为四边形BDEN为矩形，则BD⊥DE， 又，平面ADE，平面ADE， 故BD⊥平面ADE． 因为平面ADE， 所以BD⊥AE． （2）存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处． 证明如下：以点D为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 所以，， 设，其中，解得， 故， 设平面QAD的法向量为， 则 即令y＝1，则，z＝－2λ， 故， 因为直线BE与平面QAD所成的角为60°， 所以，解得或， 故存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处． 【题型10】已知二面角求其它量 已知二面角的题，建系计算稍微复杂，可以先尝试几何法，比如2021年新高考1卷的立体几何大题几何法比建系计算方便很多 几何法补充：三垂线法求二面角、面面角 使用前提：已知其中某个平面的垂线段 具体步骤 （1）已知AB垂直平面β，垂足为B（l⊥AB） （2）过垂足B作交线l的垂线BO（l⊥OB） （3）易知l⊥平面AOB，则∠AOB即为所求， 且△AOB为直角三角形，邻比斜即可 19. （23-24高二下·湖南长沙·期末）由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. (1)求证：平面； (2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：将几何体补成四棱柱，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行； 法二：得到两两垂直，建立空间直角直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到，得到结论； （2）设，作出辅助线，找到二面角的平面角为，根据正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面与平面夹角的余弦值，求出答案； 【详解】（1）法一：将几何体补成四棱柱， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又， 故，， 故四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 平面. 法二：∵四边形是菱形， ∴⊥， 又平面，平面， ∴，， 故两两垂直， 以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 其中， 则，设， 由得， 由得， 则， 设平面的法向量为， 则，取，得， ， 又平面， 平面. （2）设，取的中点，则， 又四边形是菱形，， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 故面， 因为平面， 则， 因为且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 又，故四边形为平行四边形， 故，，故. 所以为二面角的平面角. 则，其中，故， 故， 设平面的法向量为， 则取，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为， 平面与平面夹角为. 20. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质证明，利用勾股定理证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）不妨设， 因为平面平面，故， 在中，， 由余弦定理，， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； （2）由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， ，所以， 设，则，即， 所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得，故． 【巩固练习1】（2025·江苏南通·一模）如图，四边形为菱形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2). 【分析】（1）通过线面垂直得出线线垂直，再证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）由二面角定义得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的边角关系得出线段长度，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的的余弦值 【详解】（1）∵平面且平面 ∴， 在菱形中，，且平面， ∴平面 又∵平面 ∴平面平面. （2）∵平面且平面,平面 ∴，，即二面角是， ∴， 取与交点为，设， 则， ∴，∴， 以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，， ， ∴. 所以所成角的余弦值为.      【巩固练习2】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 【详解】 （1） 取中点，连接， 分别为的中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 【巩固练习3】（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，在正三棱柱中，，点D，E，F分别在棱，，上，，为中点，连接    (1)证明：平面 (2)点P在棱上，当二面角为时，求EP的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，即可得到，，从而得到四边形为平行四边形，则，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面的法向量为和平面的法向量为，利用，求出a的值，即可求出结果． 【详解】（1）取中点，连接，， 又为中点，所以为梯形的中位线， 所以，， 又，故，且， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 故平面 （2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，，，设， 可得，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则有，即， 取，则，，得， 又，即， 取，则，，得， 由二面角为，得， 即，解得，故 【题型11】最值与范围问题 一、函数法 大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值 二、解不等式法 利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解 三、变量分析法 在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题 21. 如图，在四棱锥中，，，.平面平面，为等边三角形，点是棱上的一动点. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ) 作中点，连接交于点，先证四边形是菱形，进而得到，再通过面面垂直的性质定理即可得到平面； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法表示出直线与平面所成角的正弦值，根据表达式，即可求出最大值. 【详解】解：（Ⅰ）证明：如图所示： 作中点，连接交于点， 则由知：且， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， 故， 在中，分别为的中点， 故, 即， 又平面平面，平面平面， 平面； （Ⅱ）如上图所示：以点为原点，分别以，所在的直线为轴，轴，以过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意知，，，， 过点作直线与垂直，且. 平面，平面平面， 平面， 又， 即， 点在线段的中垂线上， 由对称性可知：，，三点共线， 由，得：， ， 又由，得：， 点的坐标为， ，， 设平面的法向量 ， 即， 令，则， 设，则， 则， 设直线与平面所成角为，则 .当时取等号， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 22. 如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.    (1)当平面时，求的值； (2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)(2)是， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解， （2）由法向量的夹角即可求解二面角. 【详解】（1）取的中点，连接并延长与相交，因为，，所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以即是平面的一个法向量， 因为平面，所以，，解得； （2）   由（1）知，是平面的一个法向量， 同理可求平面的一个法向量为， ，即随着值的变化，二面角的大小为定值. 且，所以二面角的正弦值为. 23. 如图甲，在矩形ABCD中，，E为线段DC的中点，沿直线AE折起，使得，如图乙. (1)求证：平面： (2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取线段的中点，由题可得，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，利用向量夹角公式进而即得. 【详解】（1）连接，取线段的中点，连接， 在Rt中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中， ， 又平面， 平面，又平面 ∴平面平面， 在中，， ， ∵平面平面平面， 平面； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 平面的法向量可取， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以， 令，则， 所以， 又，所以 24. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2）在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. （3）因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 【巩固练习1】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； 法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证； 法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，， 又平面，平面， 平面 平面，又平面， 由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，， 又平面平面. 法二：由平面，平面， 又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 又平面平面. 法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为    ，即 不妨取，则，则 所以平面的一个法向量为 ，，，平面 （2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或） 点到F到平面的距离= （3） 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量 （或者由（1）中待定系数法求出法向量）； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 【巩固练习2】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； 法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证； 法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，， 又平面，平面， 平面 平面，又平面， 由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，， 又平面平面. 法二：由平面，平面， 又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 又平面平面. 法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为   ，即不妨取，则，则 所以平面的一个法向量为 ，，，平面 （2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或） 点到F到平面的距离=（3） 设，则，； 由（1）知：平面平面的一个法向量 （或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面的法向量， 则，令，则； ，令，则；， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 【巩固练习3】如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）． （1）若平面CFG，请确定点P的位置； （2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）为的中点；（2）． 【分析】（1）连接，先证平面，若平面，平面与平面相交，必有，再由，可知为的中点； （2）以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，连接， ∵，，∴， ∴， ∵，∴， ∴．∴， ∵平面，平面，∴平面， 若平面，又由，平面， 平面与平面相交，必有， 又∵，∴为的中点； （2）因为，，两两垂直， 我们可以以C为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，可得各点坐标如下： ，，，，，． 设（），有， 又由，有， 设平面的法向量为， 由，，有， 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 由， ，， 有， 设，有， ， 由二次函数的性质可知，当时，， 时，的最大值为． 【巩固练习4】（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，.    (1)证明：面面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，由题设可得、，再应用线面、面面垂直的判定证结论； （2）过做交于点，由面面垂直性质有面，则即为直线与平面所成角，并证明为的重心，结合已知求得，构建空间直角坐标，设，应用向量法求面面角的正弦值关于的表达式，进而求其最值. 【详解】（1）连接交于点，连接. 因为是菱形，所以， 为的中点，，所以. 又面，且， 所以平面，又平面， 所以，平面平面.    （2）过做交于点， 面面，，面面，面， 所以面，则即为直线与平面所成角， ， 面，面，则， 为的交点，为等边三角形，所以为的重心， ，则， 在中，解得， 以为原点，所在直线为轴建立如下图坐标系， 故， 则，    设平面的一个法向量为，则，令，故． 设，则，， 设平面的一个法向量为，则，令，故． 设平面与平面夹角为，于是， 令，则， 当，即时，， 此时 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$