专题07 二次函数与反比例函数（山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 二次函数与反比例函数（原卷版） 考点1 二次函数的性质 1．（2021·山西·中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 考点2 抛物线与坐标轴的交点 1．（2022·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论．D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 考点3 二次函数与实际问题 1．（2020·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 3．（2024·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 考点4 二次函数与几何图形综合 1．（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．        (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 2．（2022·山西·中考真题）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 3．（2021·山西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 4．（2020·山西·中考真题）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．    （1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 考点5 反比例函数的性质 1．（2020·山西·中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A． B． C． D． 3．（2021·山西·中考真题）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小 考点6 反比例函数与实际问题 1．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 2．（2022·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa． 考点7 反比例函数与一次函数综合 1．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．时，随的增大而增大 2．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴的交点坐标为和 4．（2025·山西晋中·二模）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 6．（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山西运城·模拟预测）已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D．或 10．（2025·山西运城·模拟预测）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 11．（2025·山西长治·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 12．（2025·山西大同·三模）已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 13．（2025·山西长治·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 14．（2025·山西晋中·二模）在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流与电阻关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山西·模拟预测）物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（    ） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 16．（2025·山西太原·一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 17．（2025·山西·一模）已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 19．（2025·山西·三模）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 20．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 21．（2025·山西朔州·三模）在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为 ． 22．（2025·山西·模拟预测）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为 ． 23．（2025·山西晋中·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，则的值为 ． 24．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 三、解答题 25．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 26．（2025·山西大同·三模）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 27．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图、这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： （2）对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 28．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践 问题背景： 如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分． 数据收集： 车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐． 问题解决： 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求点到地面的距离． (2)若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 29．（2025·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 30．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习． 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长（单位：m）的变化而变化 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：． 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：． 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系 物理学知识 研究步骤： 1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中． 2．根据电路图连接实验器材，图略． 3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据． 解决问题： (1)在素材1中，当___________m时，场地的面积最大． (2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由． (3)①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值． ②在①的条件下，电流表A的值为___________ 31．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． 32．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 33．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 34．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标． (2)当的面积等于的面积的时，求m的值． (3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标； (3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由． 36．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 37．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 38．（2024·山西大同·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，E是第一象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接． (1)求点B的坐标及抛物线的函数表达式 (2)当时， ①求点D的坐标； ②抛物线上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接． (1)求点A和点C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（2024·山西运城·模拟预测）学科实践 驱动任务：跳长绳（又名跳大绳）是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某学校准备在运动会上组织跳长绳比赛，比赛要求：每班需要报名跳绳同学6人，摇绳同学2人；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳．为在跳长绳比赛中取得好成绩，九（1）班数学研习小组协助本班进行队列方案的确定．        研究步骤： ①如图，研习小组测得摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，当绳子摇至最高处时，可近似地看作一条抛物线，此时绳子最高点距离地面2米； ②参加比赛的6名跳绳队员中，男生、女生各3名，男生身高均在1.70~1.80米，女生身高一人为1.7米，两人都为1.65米； ③为保证跳绳队员的安全，要求跳绳队员之间的距离至少0.5米． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出对应抛物线的函数表达式； (2)研习小组决定以最高的男生站在摇绳队员的中点，将参赛队员按“中间高，两边低”的方式排列，请计算长绳能否顺利甩过所有队员的头顶； (3)为了更顺利地完成跳绳，请你求出左边第一名队员站立位置的取值范围． 42．（2024·山西晋中·二模）学科实践 设计“抛物线型”花边 驱动任务 花边历史悠久，最早出现于14世纪，工艺种类不胜枚举．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边． 研究步骤 （1）认识模具，建立模型． 社团小组的同学们首先制作了一个“抛物线型”的模具，该模具的高度为24cm，并将其模具放置在了平面直角坐标系中（如图1），准备利用该模具设计“抛物线型”花边． （2）摆放模具，制定方案． 同学们尝试在长为120cm，宽为24cm的矩形纸片上摆放该模具，经过讨论交流形成了以下两个方案． 方案一：如图2，将该模具完全放入矩形纸片中，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将模具的一部分放入矩形纸片中，绘制出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为h． （3）实施方案，展示作品． …… 问题解决 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： 任务一：求出图1的平面直角坐标系中抛物线模具的函数表达式； 任务二：若采用研究步骤中的方案二进行设计，请你通过计算确定当时一排中最多可摆放的花边个数． 43．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G． (1)求点C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值． (3)在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 45．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 46．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 47．（2025·山西晋中·一模）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)与之间的函数表达式为____________． (2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 48．（2025·山西长治·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第三象限内交于点，与x轴交于点B，且横坐标为3． (1)请自接写出k，n的值． (2)若C为第一象限内反比例函数图象上一点，且点C的纵坐标为4，连接，求的面积． 49．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 50．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为． (1)设点A的坐标为则点的坐标为 ； (2)①求反比例函数的表达式； ②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 51．（2024·山西大同·模拟预测）根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量m，物体的加速度a有如下关系：．所以，当物体所受的力F一定时，物体的加速度a是它的质量m的反比例函数，其函数表达式为．请解答下列问题： (1)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车哪辆车的加速度大，为什么？ (2)已知小车的质量，用F（单位：）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用F（单位：）推车，加速度a的值． 52．（2024·山西忻州·三模）阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 53．（2024·山西晋中·三模）阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 54．（2024·山西临汾·二模）阅读与思考 下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过程．今天、爸爸计划在农村老家用栅栏围建一块的蔬菜种植基地，于是我也积极参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法： 办法一：利用一次函数与反比例函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得与的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形． 办法二：利用二次函数表达式解决，假设存在这样的矩形、设矩形的其中一条边长为，矩形的面积为，根据题意，可得到二次函数，当时，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形． 任务： (1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可） A．方程思想    B．统计思想    C．函数思想    D．数形结合思想 (2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______． (3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由． 55．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数与反比例函数（解析版） 考点1 二次函数的性质 1．（2021·山西·中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 考点2 抛物线与坐标轴的交点 1．（2022·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进行分析： （1）时，抛物线开口向上． ①当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）． ②当时，有．∵，∴顶点纵坐标． ∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程有两个相等的实数根． ③当时， …… （2）时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 【答案】(1)AC (2)分析见解析；作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想； （2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答； （3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可． 【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想， 故答案为：AC； （2）解：a>0时，抛物线开口向上． 当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒ ∵a>0， ∴顶点纵坐标﹒ ∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）： ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根． （3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等） 【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键． 考点3 二次函数与实际问题 1．（2020·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案． 【详解】解：依题意得：=，=， 把=，=代入得 当时， 故小球达到的离地面的最大高度为： 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题． 2．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 3．（2024·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 考点4 二次函数与几何图形综合 1．（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．        (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①2或3或；②，S的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由得，当时，． 解得． ∵点A在轴正半轴上． ∴点A的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将代入，得． ∴点C的坐标为； （2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为． ∴点的坐标分别为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． 如图，当点在直线上方时，．    ∵， ∴． 解得． 如图2，当点在直线下方时，．    ∵， ∴． 解得， ∵， ∴． 综上所述，的值为2或3或； ②解：如图3，由（1）得，．    ∵轴于点，交于点，点B的坐标为， ∴． ∵点在直线上方， ∴． ∵轴于点， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵轴， ∴四边形为矩形． ∴． 即． ∵， ∴当时，S的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键． 2．（2022·山西·中考真题）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为； (2) (3)存在；m的值为4或 【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式； （2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为． 设直线BC的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为﹒ （2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D， ∴点P的坐标为，， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，． 过点C作于点G，则． ∵， ∴四边形CODG是矩形， ∴ ，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即，   ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴． 当时，﹒ ∴点P的坐标为． （3）解：存在；m的值为4或． 分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H， ∵过点P作直线，交y轴于点F， ∴ ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，．   根据勾股定理，在中，， 在中，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； ②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示， 同理可得，，，，， ∴ ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； 综上，m的值为4或 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键． 3．（2021·山西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）①存在，点的坐标为或；②． 【分析】（1）分别令和时即可求解，，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可； （2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：（1）当时，，解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． 同理可得直线的函数表达式为：； （2）①存在．设点的坐标为，其中， ∵点，点的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解，得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或； ②由题意可得如图所示： 由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为， ∴点，， ∴， 设点， ∵， ∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∴联立直线l与直线AC的解析式得：， 解得：， ∴， ∴点， ∵点是直线下方抛物线上的一个动点，且， ∴点M在点N的上方才有可能， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴由两点距离公式可得． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键． 4．（2020·山西·中考真题）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．    （1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或． 【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式； （2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案； （3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）令 ，， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：． （2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为 ，． ， ， 分两种情况： ①当时，得． 解得：，（舍去） 当时，． 点的坐标为 ②当时，得． 解得：，（舍去） 当时， 点的坐标为． 当点是线段的三等分点时，点的坐标为或    （3）解：直线与轴交于点， 点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点． 过点作直线，垂足为．则， ， ． 即 ． 又，， ． 连接，点的坐标为，点的坐标为， 轴 ． ，． ． ． 点的坐标为． ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为， 则， ，． ． 即 ． 又，， ．． 由①可知，．． ． ． 点的坐标为 点的坐标为或．    【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键． 考点5 反比例函数的性质 1．（2020·山西·中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系． 【详解】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限， 观察图像：当时， 则． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 2．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，再进行判断求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2021·山西·中考真题）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可． 【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意； B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意； C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意； D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键． 考点6 反比例函数与实际问题 1．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 2．（2022·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa． 【答案】400 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当S=0.25时，． 故答案为：400 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 考点7 反比例函数与一次函数综合 1．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线与轴的交点坐标即可判断A、B；根据抛物线的对称性即可判断C；根据二次函数的图象与性质即可判断D． 【详解】解：A、二次函数图象与轴的负半轴相交，所以，故A错误，不符合题意； B、二次函数图象与轴有两个交点， ，故B错误，不符合题意； C、与关于对称轴直线对称， ， 当时，， ∴当时，，即，故C错误，不符合题意； D、结合图象可知时，图象呈上升趋势，所以随的增大而增大，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义、二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次函数的定义得到，由二次函数的图象与轴有交点，利用求出的取值范围即可． 【详解】解：二次函数， ，即， 二次函数的图象与轴有交点， ， 解得：， 综上所述，的取值范围是且． 故选：D． 3．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题． 求出解析式根据抛物线的开口方向，对称轴，增减性，对称性逐一判断，即得． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， A、抛物线开口向上，∴A不正确： B、对称轴为直线，∴B不正确： C、当时，y随x的增大而增大，∴C正确： D、关于的对称点为，∴D不正确． 故选：C． 4．（2025·山西晋中·二模）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较比较二次函数值的大小关系，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； 故选D． 5．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际问题，先计算出水面的纵坐标，然后求出水位上升2.7米后，点，的横坐标，然后求出水面宽即可． 【详解】解：∵水面宽米， ∴点的横坐标为， ∴， 当水位上升2.7米后，， 令，则， 解得，， ∴水面宽等于， 故选：A． 6．（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 7．（2025·山西运城·模拟预测）已知，两点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数函数值的比较，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，函数增减性是解题的关键． 根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 离对称轴直线越远，函数值越小， ，， ， 故选：B． 8．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点， ∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为， ∴，，，分别是的横坐标， ∴根据图象可知：， 故选：． 9．（2024·山西阳泉·模拟预测）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称，直角坐标系中点的特征，二次函数的顶点坐标，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用轴对称求出和的值，再利用点E到x轴的距离小于它到y轴的距离排除不合题意的和的值，最后直接求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：∵点E，F关于y轴对称，点，点， ∴， 解得或， ∴或， ∵点E到x轴的距离小于它到y轴的距离， ∴不合题意，舍去， ∴，， ∴二次函数， ∴其顶点坐标为， 故选：B． 10．（2025·山西运城·模拟预测）用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器．根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率（单位：）可近似地看成吸管长度（单位：）的反比例函数．甲、乙两种材质的吸管乐器频率关于吸管长度的函数图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短 B．对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长 C．长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大 D．对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． 根据反比例函数图象性质逐项判断即可． 【详解】解：A、频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短，正确，故此选项符合题意； B、对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越短，原说法以错误，故此选项不符合题意； C、长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率小，原说法以错误，故此选项不符合题意； D、对于甲材质吸管乐器，长度越短，频率越大，原说法以错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 11．（2025·山西长治·三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为，，即可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，由此即可判断． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象与轴无交点，故B选项不符合题意； ∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，故A选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意； ∴如果点和点均在该函数的图象上，那么， 故选：D． 12．（2025·山西大同·三模）已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数（）的性质．解题关键在于先根据值判断函数在相应象限的单调性，再依据已知点横坐标的大小关系及点所在象限，利用函数单调性来比较纵坐标的大小．对于反比例函数（），当时，在每个象限内，随的增大而减小；当时，在每个象限内，随的增大而增大．在函数中，，所以此函数在每个象限内随的增大而减小．已知，这表明点和都在第一象限．由于在第一象限内该反比例函数随增大而减小，且 ，从而得出出与的大小关系． 【详解】解：对于反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小． ∵，说明点，都在第一象限，又在第一象限内随增大而减小， ∴当 时， ， 故选：B． 13．（2025·山西长治·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的解析式．将点代入即可得到答案． 【详解】解：将代入得， ． 故选：D． 14．（2025·山西晋中·二模）在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流与电阻关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定．依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）．根据图象及物理学知识，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，得，再运用数形结合思想得当时，得，故，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 当时，结合图象得， 则， 故选：A 15．（2025·山西·模拟预测）物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（    ） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数关系的实际应用，以及科学记数法的运算能力．根据题目中给出的光子能量与波长成分比例关系，确定比例系数后，代入新波长求解对应的能量． 【详解】根据反比例关系，则，代入紫光波长米，得焦耳， 故选：A． 16．（2025·山西太原·一模）“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品，但并非真正意义的无糖．现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料，它们的含糖浓度（含糖浓度= ）与饮料质量之间的关系，可近似地用如图的反比例函数图象表示，其中甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B．丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C．甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D．丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，先理解含糖浓度与饮料质量的乘积就是值，再结合的实际意义为甜味剂质量，得出甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的；再观察函数图象，得出，即可作答． 【详解】解：∵含糖浓度（含糖浓度=）与饮料质量之间的关系：甲、乙饮料与的关系满足，丙、丁饮料与的关系满足， ∴甲、乙饮料含甜味剂质量是相同的，丙、丁饮料含甜味剂质量是相同的； 由函数图象得出， 即丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多， 故选：D 17．（2025·山西·一模）已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式；设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中，得到关于m的方程，解方程即可求得m的值，从而得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中， 得，即， 解得：， ∴， 即函数解析式为； 故选：B． 18．（2025·山西忻州·模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出与的函数关系式. 根据杠杆原理得出与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可． 【详解】解：根据杠杆原理可得，， ， 是的反比例函数， 选项、不符合题意； ，， 选项不符合题意；选项符合题意； 故选：． 二、填空题 19．（2025·山西·三模）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，求得，即可求解． 【详解】解：依题意，当时， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 20．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销售的最大利润为 元． 【答案】2450 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键；先求出每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，再求出日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系，根据日销售利润等于日销售数量与每件利润的积，得到二次函数，由二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设每件的利润y（元）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图1知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得， ∴； 设日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系为， 由图2知，函数图象过点， 把这两点坐标分别代入上述解析式中，得：， 解得：， ∴； 设日销售利润为w，则， 即， ∵， ∴当时，有最大利润，且最大利润为2450元； 故答案为：2450． 21．（2025·山西朔州·三模）在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式成为解题的关键． 设该函数的解析式为，将A点代入即可求得k，然后求得当动力为时的函数值即可． 【详解】解：设该函数的解析式为，将A点代入可得：， 解得：， ∴设该函数的解析式为， 当时，． 故答案为：10． 22．（2025·山西·模拟预测）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．由题意得，待定系数法求得解析式，进而将代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，将代入得． 当时，． ，当时，随的增大而减小，且， ． 故答案为：． 23．（2025·山西晋中·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为， 点在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 又， ， ， 点在函数的图象上， ， （函数图象经过第二象限）， ， 故答案为：． 24．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点分别作轴于点B，轴于点C，，分别与反比例函数交于E，F两点．若四边形的面积为16，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可． 【详解】解：∵E，F两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，轴,轴, ∴，， ∵四边形的面积为16， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 25．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以元/个的价格购入一批儿童礼品．在销售前，销售经理进行了市场调研． 调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据： 销售单价x/元 … … 日销售数量y/个 … … 建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于x的函数表达式为_________． 问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润为元，求m的值． 【答案】（1）一次，；（2）儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）2 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值，解答关键是列出函数表达式再求解． （1）先判定为一次函数，再利用待定系数法求解； （2）设日销售利润为元，根据“利润=单件利润×销售量”求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解； （3）设日销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量销售量求出关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】建立模型： （1）解：一次，设这个一次函数解析式为， 则，解得：， 所以这个一次函数解析式为； 故答案为：一次，； 问题解决： （2）设日销售利润为元． 根据题意得． ，当时，有最大值，最大值为． 答：儿童礼品的销售单价定为元时，日销售利润最大，最大日销售利润为元． （3）设捐赠后，日销售利润为元， 根据题意得． ， 当时， 有最大值，最大值为． 的最大值为， ． 解得，． 当时，，，符合题意． 当时，，，不符合题意，舍去． 答：的值为2． 26．（2025·山西大同·三模）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 【答案】(1) (2)不能 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法，勾股定理，解直角三角形； （1）通过待定系数法将点坐标代入抛物线中计算即可； （2）将起火点高度代入抛物线方程，求出的解与16作比较，从而确定水流是否能到达； （3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与10进行比较即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上， 代入中得， ， 解得：； （2）解：不能，理由如下： ∵ ∴抛物线解析式为： ∵该楼距离地面21米处出现一个起火点， ∴代入抛物线中， 得：， 整理： 解得：， ∴， ∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点； （3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且， 设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米． 则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：， 根据题意得： 当时， ，即， 解得：， 当时， ，伸缩臂长为米， ∵，符合题意． 当时， ，伸缩臂长为米， ∵>10， 不符合题意，舍去． 故伸缩臂应伸长米． 27．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图、这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： （2）对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，篮球不能投进篮圈，理由见解析；（2）①他应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入；②体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）①设小明带球向正前方移动米，得到移动后的抛物线解析式，代入点坐标即可求解； ②将代入①中解析式即可． 【详解】解：（1）由题意得， 抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得：， 该抛物线的函数表达式为：， 当时，， ∴此时篮球不能投进篮圈； （2）①设小明带球向正前方移动米， 由题意可得移动后的抛物线为：， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 他应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入； ②由①知抛物线的函数表达式为：， 当时， ， ， 体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 28．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践 问题背景： 如图为一汽车停车棚及它的侧面示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分． 数据收集： 车棚与支柱的交点到地面的距离为，棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是，棚顶右端点距离支柱的水平距离是，车位的长为．已知棚顶的边缘与车位的边缘平齐． 问题解决： 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求点到地面的距离． (2)若一辆货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 【答案】(1)点到地面的距离为 (2)该货车能完全停到车棚内，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得点的坐标为，可设横截面所在抛物线的表达式为．把代入计算，得，故，因为棚顶右端点距离支柱的水平距离是，所以把，即可作答． （2）依题意，把，得．此时．因为，所以该货车能完全停到车棚内，即可作答． 【详解】（1）解：棚顶的最高点的竖直高度是，距离支柱的水平距离是， 点的坐标为． 可设横截面所在抛物线的表达式为． 车棚与支柱的交点到地面的距离为， 点的坐标为． 把，得． 解得． 横截面所在抛物线的表达式为． 棚顶右端点距离支柱的水平距离是， 点的横坐标为6， 把， 得． 点到地面的距离为． （2）解：该货车能完全停到车棚内． 理由：． 把， 得． ∴． ， 该货车能完全停到车棚内． 29．（2025·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)①反比例；② (2)①；②球发出时在竖直方向上的速度应调节为 【分析】本题考查了反比例函数的图像及求解析式，二次函数的应用，熟练掌握反比例函数图像与二次函数的性质是解题的关键． （1）①根据图像可直接得出结论； ②设关于的函数表达式为，根据图象得，当时，，利用待定系数法即可求得答案； （2）①根据表中数据可知，当时，，代入求得、的值即可得到答案； ②由题可知，，，把落点的坐标为，代入，解之得到即可． 【详解】（1）解：①根据图3该函数的图像可知，是的反比例函数． 故答案为：反比例； ②设关于的函数表达式为 根据图象得，当时，， ∴ 解得 ∴关于的函数表达式为． （2）解：①根据表中数据得，该抛物线的对称轴为，即，且当时，， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． ②由题可知，落点的坐标为，，， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴，（舍去） ∴球发出时在竖直方向上的速度应调节为． 30．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习． 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长（单位：m）的变化而变化 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：． 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：． 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系 物理学知识 研究步骤： 1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中． 2．根据电路图连接实验器材，图略． 3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据． 解决问题： (1)在素材1中，当___________m时，场地的面积最大． (2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由． (3)①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值． ②在①的条件下，电流表A的值为___________ 【答案】(1)15 (2)和的积最大，理由见解析 (3)①当时，有最大值，此时最大值为；②2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键． （1）根据题意，矩形一边长，则另一边长为，则有，结合二次函数的性质即可获得答案； （2）设其中一个因数为，则另一个因数为，所以（，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案； （3）设，则，总电流为，则有，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设结合二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）（1）根据题意，矩形一边，则另一边长为，所以，，所以，当，场地的面积S最大，最大为225平方米； 故答案为：15． 所以取50或51时，最大为2550； （2）（2）和的积最大，理由如下：设其中一个因数为，则另一个因数为，则（，且为正整数），对称轴为，因为是正整数，且，所以取50或51时，最大为2550． （3）（3）设，则，，设总电流为，则， 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小， 设 ，则抛物线开口向下，且， 当时，取最大值为25，此时取最小值为A，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等， 当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A． 31．（2025·山西朔州·一模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)点时， 的面积最大为 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出的面积是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可解答； （2）求得点的坐标，得到的长度，即可解答； （3）过点作的平行线交直线于点，设的横坐标为，求得的长，进而表示出的面积，利用二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：把代入函数解析式， 可得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为平行四边形， 根据勾股定理可得， ， 平行四边形为菱形； （3）解：设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点作的平行线交直线于点， 设点，则点， ， ， 当，即时， 的面积最大为． 32．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，． (1)求该抛物线的表达式及直线的表达式． (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值． (3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为：；直线的解析式为 (2) (3)或或 【分析】（）待定系数法即可求出二次函数解析式，再求出点A的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的表达式； （2）过点作轴于点，交于点，由（1）知直线的解析式为，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移个单位得到，，勾股定理分别表示出，，，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； ∵与轴交于点，， 当时，， 解得：， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由（1）知直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为； （3）解：∵抛物线， 将该抛物线向左平移个单位，得到，对称轴为直线， 由（2）知点D的横坐标为2，则， ， 点向左平移个单位得到， ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴， ∴， ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点， 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 33．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 34．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标． (2)当的面积等于的面积的时，求m的值． (3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2)1 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，令，可得点C的坐标． （2）过点P作x轴的垂线，交于点E．利用待定系数求出直线的函数表达式，设点P的坐标为，则点E的坐标为，用含m的式子表示出，再根据点的坐标计算出，即可求解． （3）分两种情况：①当为边时，点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，同样点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，由此列方程组；当为对角线时，由中点公式列方程组． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 解得 抛物线的函数表达式为 令，则． 点C的坐标为． （2）解：如图，过点P作x轴的垂线，交于点E． 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ． ， ． 的面积等于的面积的， ， 解得或（舍去）， 的值为1． （3）解：存在，点M的坐标为或或或． 当时，点， 设点，点 ①当为边时， 点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点，同样点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点， 故或， 解得或或或， 故点M的坐标为或或或． 当为对角线时， 由中点公式得，方程无解． 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像中的面积问题，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合与及分类讨论思想是解题的关键． 35．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标； (3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或． (3)有，P点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线经过点，点，用待定系数法即可求解； （2）分点M在第一象限和第四象限两种情况根据45度角的特征列方程求解即可． （3）根据垂直及对顶角相等易证证明，可得的周长：的周长，求出直线的解析式，设，，的周长为z，表示出的长，利用的周长：的周长列出关于z的函数解析式，再运用二次函数最值求解即可． 【详解】（1）由题意得：，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点． （2）①当点在第一象限时， 设）， 过点作轴， ∵，， ∴， 解方程得：或， 不合题意，舍去． 故 ， ∴； 当点在第四象限时，同理可得： 解方程得：或， 不合题意，舍去． 故， ∴ 综上或． （3）的周长有最大值．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长：的周长， ∵， ∴， ∴的周长， ∵直线过和， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，的周长为z， ， ∴， ∴， ∵， ∴z有最大值，此时， 当时，， 故P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 36．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 37．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式 (2)3 【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题． 38．（2024·山西大同·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，E是第一象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接． (1)求点B的坐标及抛物线的函数表达式 (2)当时， ①求点D的坐标； ②抛物线上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①   ②存在；或 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，利用得出关于m的方程是解答本题的关键： （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）①过点E作轴于点H．证明得，求出，得出，再求出直线CE的函数表达式为，可求出点；②由分两种情况讨论，求出直线的函数表达式为，设，根据题意列方程求解即可 【详解】（1）解：对于，当时，． 解得． ∴． 把，分别代入，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：①当时，． ∴． ∴． 如图1，过点E作轴于点H． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 把代入，得． 解得，． ∵点E在第一象限， ∴． 设直线CE的函数表达式为． 把，分别代入，得 解得． ∴直线CE的函数表达式为． 当时，．解得． ∴． ②存在． ∵， ∴在CE边上的高是在CE边上高的2倍． 可分为以下两种情况讨论： ⅰ当点M在直线上方时，如解图2，过点B作于点F，过点D作，且，过点G作，与抛物线交于点M，则M即为符合题意的点，． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴点G在y轴上． ∴． ∵， ∴直线GM的函数表达式为． 设． 又∵点M在直线GM上， ∴． 解得或， ∴点M的横坐标为或． ⅱ当点M在直线CE下方时，同理ⅰ可得该情况不存在． 综上所述，点M的横坐标为或． 39．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接． (1)求点A和点C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)最大值为 (3)存在，或 【分析】（1）依题意，先求出，再求出，．然后运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K，证明，代入数值计算，得出，运用二次函数的图象性质，即可作答． （3）先得直线l的解析式为．设，结合相似三角形的性质与判定，当第一：点P在直线右侧时，即，化简得，，那么，即将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，得出；第二：②当点P在直线左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为，此时点P的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， ， 将代入中， 得，， ∴，． 设直线的解析式为， ， 解得． ∴直线的解析式为． ∴，， 直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K， ， ∴． ． ∵将A点横坐标代入中得， ． ． 设，则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：符合条件的点P的坐标为或． 理由如下： ， ∴直线l的解析式为． 设， ①当点P在直线右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作于点M， ∵，，， ，，， ， ． ， ． ， ． ． ． ． ，． ， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去），， ． ②当点P在直线左侧时， 由①的方法同理可得点Q的坐标为， 此时点P的坐标为 综上所述，存在这样的点P，且坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数的解析式，难度较大，熟练运用数形结合思想以及分类讨论思想是解题是关键． 40．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 41．（2024·山西运城·模拟预测）学科实践 驱动任务：跳长绳（又名跳大绳）是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某学校准备在运动会上组织跳长绳比赛，比赛要求：每班需要报名跳绳同学6人，摇绳同学2人；跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳．为在跳长绳比赛中取得好成绩，九（1）班数学研习小组协助本班进行队列方案的确定．        研究步骤： ①如图，研习小组测得摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，当绳子摇至最高处时，可近似地看作一条抛物线，此时绳子最高点距离地面2米； ②参加比赛的6名跳绳队员中，男生、女生各3名，男生身高均在1.70~1.80米，女生身高一人为1.7米，两人都为1.65米； ③为保证跳绳队员的安全，要求跳绳队员之间的距离至少0.5米． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出对应抛物线的函数表达式； (2)研习小组决定以最高的男生站在摇绳队员的中点，将参赛队员按“中间高，两边低”的方式排列，请计算长绳能否顺利甩过所有队员的头顶； (3)为了更顺利地完成跳绳，请你求出左边第一名队员站立位置的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)绳子不能顺利甩过所有队员的头顶 (3) 【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求出解析式即可； （2）以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男生站中间，女生站两边，根据各位同学的横坐标，求出纵坐标即可； （3）令，求出横坐标，再根据跳绳队员之间的距离至少0.5米确定取值范围即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系    由已知，得，在抛物线上， ∴抛物线顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）由（1），得抛物线的函数表达式为，对称轴为直线． 如图，6名参赛队员以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男生站中间，女生站两边，对称轴两侧的2名男生所在位置横坐标分别是2，3，身高1.7米的女生所在位置的横坐标为1.5或3.5，有1名身高为1.65米的女生所在位置的横坐标为1或4． 当或时，； 当或时，； 当或时，． ∴绳子能顺利甩过男队员的头顶，绳子不能顺利甩过1.65米的女队员的头顶． ∴绳子不能顺利甩过所有队员的头顶．    （3）令，则， 解得， ． 考虑右边第二名队员，当时，，高于最高队员． ∴所有队员可以从往左排列，间隔米． ∴左边第一名队员的横坐标的范围为， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意求出二次函数解析式，利用抛物线上点的坐标求解． 42．（2024·山西晋中·二模）学科实践 设计“抛物线型”花边 驱动任务 花边历史悠久，最早出现于14世纪，工艺种类不胜枚举．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边． 研究步骤 （1）认识模具，建立模型． 社团小组的同学们首先制作了一个“抛物线型”的模具，该模具的高度为24cm，并将其模具放置在了平面直角坐标系中（如图1），准备利用该模具设计“抛物线型”花边． （2）摆放模具，制定方案． 同学们尝试在长为120cm，宽为24cm的矩形纸片上摆放该模具，经过讨论交流形成了以下两个方案． 方案一：如图2，将该模具完全放入矩形纸片中，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将模具的一部分放入矩形纸片中，绘制出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为h． （3）实施方案，展示作品． …… 问题解决 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： 任务一：求出图1的平面直角坐标系中抛物线模具的函数表达式； 任务二：若采用研究步骤中的方案二进行设计，请你通过计算确定当时一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】任务一：；任务二：方案二的一排中最多可摆放10个花边 【分析】本题考查了二次函数的应用，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键． 任务一：先求得顶点A的坐标为，利用待定系数法求解即可； 任务二：画出图形，将代入抛物线解析式，求得弦长，求解即可． 【详解】解：任务一： ，， ∴顶点A的坐标为，． ∴设抛物线模具的函数表达式为， 将代入， 解得． 所以抛物线模具的函数表达式为，即； 任务二：如图， ，， 将代入抛物线解析式得：， 解，得，． ∴． （个）． 答：方案二的一排中最多可摆放10个花边． 43．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G． (1)求点C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值． (3)在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的函数表达式为 (2)当时，取最小值 (3)存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：， 【分析】（1）令时，，得出点C的坐标为，运用待定系数法解二次函数的解析式，即把，代入，解得，即可作答． （2）先求出直线的函数表达式，再运用线段和差关系得出，，，根据，得出，证明四边形是矩形，得出，再代入，构建二次函数，运用二次函数的性质进行作答即可． （3）要进行分类讨论并且作图，熟练运用数形结合思想，根据面积的割补法列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． 令时，， ∴点C的坐标为， 把，代入， 得出 解得 ∴抛物线的函数表达式； （2）解：设直线的函数表达式为 把和分别代入， 得出 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．且设点D的横坐标为m， ∴， 则 ∵， ∴ ∴在中， ∴ 如图：过点D作轴 则 ∴在中， 则 ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ 则 ∵ ∴当，有最小值，且为； （3）解：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：，，理由如下： 依题意，当时，则， 则， 设的解析式为， 把和代入， 得 解得 ∴， 则点的坐标为 当点在对称轴的左边，如图： ∴ 设点P的坐标为，此时 ∵四边形是面积为的平行四边形 ∴，且 则 ∴ 解得， 同理当点在对称轴的右边 ∴ 设点P的坐标为，此时 ∵四边形是面积为的平行四边形 ∴，且 则 ∴ 解得， 综上：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：， 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合以及图象性质，解直角三角形的相关性质，平行四边形的性质，一次函数的性质以及待定系数法解表达式，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 44．（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、 待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据两图象的交点，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标的范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 反比例函数的表达式为， ，解得， ， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象知，当，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为． 45．（2025·山西·一模）如图，反比例函数的图象经过点，，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)过点作轴于点，连接，．请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)27 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，函数与结合图形面积的计算方法是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法得到直线的解析式为，则点的坐标为，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例的函数表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为27． 46．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 【答案】(1)，，直线的函数表达式为 (2)15 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别代入点的坐标到，求出的值，设直线的函数表达式为，代入点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，先求出直线的函数表达式，得出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：代入到，得， 代入到，得， ，， 设直线的函数表达式为， 代入，得，， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：过点作轴交于点， 设直线的函数表达式为， 代入得，， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ， ， 反比例函数图象关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， 的面积为15． 47．（2025·山西晋中·一模）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)与之间的函数表达式为____________． (2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 【答案】(1) (2)托盘与点之间的距离是 (3)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【分析】（1）由表格中，即可得到与之间的函数表达式； （2）把代入求解即可得到答案； （3）由反比例函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 中数据可知，， 与之间的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：把代入，得，解得， 答：当砝码的质量为时，托盘B与点之间的距离是． （3）解：应往托盘中添加砝码． 理由如下： ∵， ∴该函数图象在第一象限内，的值随值的增大而减小， ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 48．（2025·山西长治·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第三象限内交于点，与x轴交于点B，且横坐标为3． (1)请自接写出k，n的值． (2)若C为第一象限内反比例函数图象上一点，且点C的纵坐标为4，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入得到，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）先根据反比例函数求得点的坐标，作轴交直线于点，于点F，求得，，即可求得的面积． 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积计算等知识． 【详解】（1）解：把代入得到 解得． ∴一次函数的解析式为 把代入反比例函数得到， ， 反比例函数为； （2）解：∵点C的纵坐标为4且在反比例函数的图象上， ∴， 解得 ∴点C的坐标为 作轴交直线于点，于点F， ∴点的横坐标为， ∴ ∴ 49．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 50．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为． (1)设点A的坐标为则点的坐标为 ； (2)①求反比例函数的表达式； ②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式； (3)在（2）的条件下，设点E是线段上的动点（不与点C，D重合），过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)反比例函数解析式为；直线的解析式为 (3)时，最大，最大值为 【分析】（1）利用中点坐标公式即可得出结论； （2）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论； 由，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论； （3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论． 【详解】（1）解：点C是的中点，，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ∴， 点C是的中点， ∴， 点C，在双曲线上， ∴， ∴， 反比例函数解析式为； 由知，， ，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：如图，由；（2）知，直线的解析式为， 设点， 由（2）知，，， ∴， ∵轴交双曲线于F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，最大，最大值为． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立与m的函数关系式． 51．（2024·山西大同·模拟预测）根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量m，物体的加速度a有如下关系：．所以，当物体所受的力F一定时，物体的加速度a是它的质量m的反比例函数，其函数表达式为．请解答下列问题： (1)在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空车，另一辆装有石头．用同样大小的力，向同一个方向，推这两辆小车哪辆车的加速度大，为什么？ (2)已知小车的质量，用F（单位：）的力推空车时，测得．求当这辆小车上装石块时，用F（单位：）推车，加速度a的值． 【答案】(1)空车的加速度大，理由见解析 (2)a的值为 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及求反比例函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题关键． （1）根据反比例函数的性质解析即可； （2）先求出反比例函数表达式，再求出函数值即可． 【详解】（1）解：空车的加速度大． 理由：根据牛顿第二定律，物体的加速度a和质量m成反比例，当F为定值时，物体的加速度a随质量m的增大而减小．因为装有石头小车的质量大于空车的质量，所以空车的加速度大． （2）解：由题意，得． ∵当时，． ∴． ∴函数表达式是． ∵车上装石块时． ∴． ∴． ∴加速度a的值为． 52．（2024·山西忻州·三模）阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)反比例； (3)音调“”对应吸管的长度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可与的乘积接近的定值，从而可得答案． （2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，故系数保留整数时，即可得到． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即，将代入， 可得吸管的长度． 【详解】（1）根据表中数据，可发现吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，而第三组相差太多，故第三组数据错误． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值， 故在反比例函数中（系数保留整数）， 故与的函数关系式为， 故答案为：反比例、． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即， 将代入， 可得吸管的长度， 答：音调“”对应吸管的长度． 53．（2024·山西晋中·三模）阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 【答案】任务一：（1），，函数图像见解析；（2）函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的；（3）；任务二：（1）C；（2）函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 【分析】本题主要考查了类比的数形思想，反比例函数图像的平移等知识点，掌握平移规律是解题的关键． 任务一： （1）分别令求出对应的函数值，然后再运用描点法画出另一半图像即可；（2）（3）根据函数图像解答即可； 任务二：（1）根据研究过程归纳即可解答；（2）根据（1）的相关方法即可解答． 【详解】解：任务一：（1）当时，；当时， 根据图表绘制图像如下： （2）根据函数图像可得：函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的． （3）∵函数的图像关于原点成中心对称，函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的， ∴函数的图像关于点成中心对称． 任务二：（1）本题通过研究反比例函数图像，再以此类推研究二次函数图像的性质，这中方法属于类比思想，故选B． （2）根据任务一的探究可知：函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 54．（2024·山西临汾·二模）阅读与思考 下面是小涵同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日  星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 五一假期，我班数学作业是“用函数思想解决生活中的实际问题”，并参与解决问题的全过程．今天、爸爸计划在农村老家用栅栏围建一块的蔬菜种植基地，于是我也积极参与了基地的设计建设．在规划“蔬菜基地形状”时、爸爸根据实际情况将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．现遇到的问题是：是否存在满足上述条件的矩形呢？我想到了如下解决方法： 办法一：利用一次函数与反比例函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得与的一次函数和反比例函数的表达式，再通过列表、描点、连线可得如图图象、两个函数的图象在第一象限内有交点，于是可以确定存在满足上述条件的矩形． 办法二：利用二次函数表达式解决，假设存在这样的矩形、设矩形的其中一条边长为，矩形的面积为，根据题意，可得到二次函数，当时，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形． 任务： (1)小涵同学解决矩形蔬菜基地问题中的“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有______；（从下面选项中选出两个即可） A．方程思想    B．统计思想    C．函数思想    D．数形结合思想 (2)请你直接写出“办法一”中一次函数的表达式为：______，反比例函数的表达式为：______． (3)按照小涵日记中的“办法二”解决问题：是否存在满足上述所给条件的矩形？请说明理由． 【答案】(1)C、D (2)， (3)存在，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是： （1）根据题意直接解答即可； （2）利用矩形的周长、面积即可求解； （3）先求出，把代入，得出方程，根据根的判别式判定即可． 【详解】（1）解：根据题意知：“办法一”和“办法二”，主要体现的数学思想有函数思想、数形结合思想． 故答案为：C、D； （2）解：假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，， 则，， ∴，， ∴“办法一”中一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：， 故答案为：，； （3）解：假设存在这样的矩形，且相邻两边的长分别为和， 根据题意，可得， 当时， 化简，得． 在这里，，， ． 原方程有实数根． 存在满足学校所给条件的矩形． 55．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$