第二十一章 二次函数与反比例函数（含17种题型）（知识清单）数学沪科版九年级上册

第二十一章 二次函数与反比例函数 1. 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 3. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 4. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 5. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 6. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 7. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 8. 二次函数与x轴的交点个数 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 9. 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 10 反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 11. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 12. 反比例函数的图像特征：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 14. 反比例函数的性质： 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 序号 易错点 易错题 注意事项 1 忽略二次项系数不能为0的隐含条件 1．若是关于的二次函数，则的值为 ． 2. 若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是 ． 答案：1. 2. 且 当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数. 2 记错二次函数的顶点坐标 1. 抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 2. 已知二次函数（b，c是常数），若该抛物线的顶点坐标是，则 ． 答案：1. 直线 2. 3 二次函数各项系数之间的关系 1. 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ． 答案：①③④ 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 4 二次函数平移问题 1. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为 ． 2. 平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 答案：1. 2. 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. 5 二次函数的最值问题 1. 已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 2. 已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 答案：1. 2. 或 二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 6 反比例函数定义理解偏差 1.已知与成正比例，与成反比例．当时，，．求关于的函数表达式； 答案： 反比例函数解析式的特征： 1) 等号左边是函数，等号右边是一个分式； 2）； 3） 分母中含有自变量x，且指数为1 7 反比例函数的增减性描述错误 1.对于反比例函数，下列说法中错误的是（  A  ） A．y随x的增大而减小B．图象位于一、三象限 C．图象与坐标轴无交点D．图象关于原点对称 反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提． 重难点01 二次函数的定义 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的定义，将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：A. 是二次函数，不符合题意； B. 是二次函数，不符合题意； C. 是二次函数，不符合题意； D. 不是二次函数，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 3．（2024·安徽安庆·二模）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 重难点02 二次函数的图像与性质 6．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，求反比例函数的解析式．解题的关键是掌握的顶点坐标为：． 先求抛物线的顶点坐标，顶点的横纵坐标之积即为值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴． 故选D． 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知，且点和都在这个二次函数的图象上，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．根据，即可判断选项A；把二次函数化为顶点式即可判断B，求出抛物线与x轴的交点坐标即可判断C；抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而减小，根据二次函数的对称性和增减性即可判断D． 【详解】解：A. ∵， ∴二次函数的图象的开口向下， 故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴该二次函数图象的顶点坐标是， 故选项错误，符合题意； C. 当时，， 解得， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是和， 故选项正确，不符合题意； D. ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随着x的增大而减小， ∴点关于直线的对称点为， 当时，，， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意． 故选：B 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的相等，即二次函数图象的形状、开口方向都相同，进行作答即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； B、∵， ∴与二次函数图象形状相同、但开口方向不相同， 故该选项不符合题意； C、， ∵， ∴与二次函数图象形状、开口方向都相同， 故该选项符合题意； D、∵ ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； 故选：C 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线与直线的一个交点的横坐标为m，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值．先求得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：抛物线与直线的一个交点的横坐标为m， ， ， ， 故选：D． 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，求的最小值（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象的性质，轴对称求最短距离．充分利用抛物线的对称性是解题关键．令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P．利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令抛物线与x轴的另一个交点为，即点A关于对称的点是C，连接与直线的交点即为点P． 由图象可知，， ∵对称轴是直线， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴的最小值为5． 故选：C． 重难点03 待定系数法求二次函数解析式 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据题意设二次函数的解析式（），把代入求出，即可得到答案． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式（）， 把代入得， 解得， 二次函数的解析式为． 13．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而增大 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可； （2）根据二次函数的性质求解． 【详解】（1） 解：由于抛物线经过，， 则可设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：对称轴为直线， 由于，则二次函数开口向下， 当时，函数随的增大而增大． 14．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 【答案】， 【分析】根据题意，得，，，设抛物线的解析式为,则把代入解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，求顶点坐标，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， 设抛物线的解析式为,则把代入得： ， 解得：, ∴-8, ∴． 重难点04 函数图像综合 15．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， ∵抛物线与轴交于负半轴，则， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项A符合题意． 故选：A． 16．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：联立方程组得， 解得或， 一次函数与二次函数的交点为， A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：当时，， ∴双曲线过二、四象限，排除选项B、C， 直线中的，排除选项D， 选项A符合以上推理出来的条件． 故选：A． 重难点05 二次函数图像与各项系数之间的关系 19．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，由二次函数的对称轴可得，即可判断①；设抛物线对称轴与x轴交点为，则，求出点B坐标为，即可判断②；再由二次函数的图象与性质即可判断③④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，①错误； 如图，设抛物线对称轴与x轴交点为，则， ∵．， ∴，即点B坐标为， ∴时，， ，②错误： ∵， ∴，③正确； 当时，，④错误； ∵时，y取最小值， ，即，⑤正确． 故选：B． 20．（22-23九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断②；当时，，得到，再结合和，即可判断③；当时，有最小值即可判断④；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得，图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论②③④． 故选：C． 21．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与轴交点为，，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则的取值范围为．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数上点的坐标特征等内容，根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的点的坐标特征逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线对称轴在轴左侧， ∴， ∴，故结论①正确； 对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 解得， 故结论②错误； ∵二次函数经过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③正确； ∵开口向下，当时，总有， ∴两点均在对称轴左侧， 由②知，， ∴， 故结论④错误， 综上，①③正确，共有2个； 故选：B． 22．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数的图象如图示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的是 ；（填写序号）    【答案】②③④ 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解： ①由图象可知，， ∴，故①错误， 由图象可知： ，故②正确， ∴， 故⑤错误； ③当时，，故，故③正确； 由图象可知：，， ∴， ∴，故④正确； 当时，此时，，不是最大值， 而当时，， 所以不一定成立， 故不一定成立，即不一定成立，故⑥错误． 故②③④正确． 故答案为：②③④． 重难点06 二次函数平移问题 23．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（   ） A．1， B．1，2 C．1，3 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．直接根据二次函数图象的平移规则判断即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位得到解析式， ∴，， 故选：A． 24．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个平移变换可以是（    ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，正确得出变化前后的对称轴是解题关键．利用抛物线解析式得出变化前后对称轴，由对称轴的变化来进行求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴其对称轴为：直线． ∵抛物线， ∴其对称轴为：直线， ∴抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个变换可以是向左平移个单位长度． 故选：C． 25．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），连接、，如果是等边三角形，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征；根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设A点坐标为，根据等边三角形的性质解出的值即可得到答案． 【详解】解：点A在抛物线上， 设A点坐标为， 过A作轴于C，如图， 是等边三角形， ∴，， 或（舍）， ， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 【答案】(1) (2)经过点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移： （1）抛物线的对称轴为直线，由此可解； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 解得， 的值为； （2）解：由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 可得， 将代入， 解得， 得到的新抛物线经过点． 重难点07 二次函数最值问题 27．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数（）的对称轴直线，图象具有如下性质：①当时，抛物线（）的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当时，抛物线（）的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出． 【详解】解：∵二次函数（其中是自变量）， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴时，， ∴， ∴，或（不合题意舍去）． 故选：A． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 29．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 30．（20-21九年级上·四川南充·期末）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 31．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 重难点08 二次函数与坐标轴交点问题 32．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．根据直线与二次函数的关系式得出方程，再整理并进行判断即可． 【详解】解：A．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（1）符合题意； B．由题意令得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（2）符合题意； C．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（3）符合题意； D．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（4）符合题意； 故选：D 33．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，先分情况讨论确定是一次函数还是二次函数，再求解即可． 【详解】解：当即时，是一次函数，与轴有交点； 当即时，是二次函数， ∵的图象与轴有交点， ∴一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 此时且， 综上所述，， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 35．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知关于的二次函数（为常数），求证：无论为何值时，函数图象与轴总有两个不同交点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题．根据二次函数与一元二次方程的关系及根的判别式进行证明即可． 【详解】解：∵二次函数与轴的交点，， 即， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同交点． 重难点09 二次函数与不等式 36．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集． 【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或或． 故选：D． 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．利用一次函数图象在二次函数图象上方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点，， ∴一次函数图象在二次函数图象上方时，，即， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查二次函数的性质和对应的方程，以及不等式的求解， （1）根据二次函数与x的交点即可求得方程的解： （2）结合二次函数的开口和x轴的交点即可求得不等式的解集； （3）结合二次函数的顶点和开口方向即可判定方程有实数根对应的取值范围； （4）结合二次函数的图象和与x轴的交点即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴的根为，； （2）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵，且二次函数的图象的顶点 C 的坐标为， ∴方程有实数根， 则； （4）解：∵，且二次函数的图象与 x 轴交于、， ∴当 时，则 重难点10 二次函数与实际应用 39．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用， （1）利用待定系数法法求解即可； （2）先求出、的坐标，进而即可得解； （3）理解题意求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ; （2）解：当时，， 解得， ， ∴; （3）解：根据题意知，，设与轴的交点坐标，与轴的交于点， 在中，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 故线的解析式为， 令， 解得或， 点的横坐标为， 当时，， ， ． 40．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 【答案】(1) (2)长方形花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出方程． （1）设花圃的宽为，则，即可得，根据进行计算即可得； （2）将y与x之间的函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示， 设花圃的宽为，则， ， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：∵，且， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，长方形花圃的面积最大， 最大面积为． 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． (1)若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ (2)若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 【答案】(1)的值应定为 (2)此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，解得，即可得到答案． （2）由题意得，得到，设总利润为元，得到 ，得出当时元． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得：， 解得， 要尽快清空库存， ， 答：的值应定为； （2）解：由题意得， 解得：， ， 设总利润为元， 由题意得 ， ， 当时，随的增大而增大， 当时元， 答：此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为． 42．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． (1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ (3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 【答案】(1)； (2)定价为47.5，T有最大利润为6125元； (3)380袋． 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利，一次函数的解析式以及图象性质，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋，则，再化简，即可作答． （2）根据每袋进价30元，且，则，即可作答． （3）根据每袋售价不高于46元，每天获得不低于6000元的利润，得，再结合一次函数的图象性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，当每袋售价x元时，则， 依题意，（元） 即； （2）解：依题意， ， 当时，T有最大利润为6125元； （3）解：∵每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润 ∴，且， 解得， ∴， ∵中的随的增大而减小， ∴当时，， 即． 答：超市每天至少销售大米380袋． 43．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是根据已知条件建立合适的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式，并利用函数表达式解决实际问题． （1）先根据抛物线的顶点坐标和与轴交点坐标设出抛物线表达式，代入点坐标求出表达式； （2）根据货车通行情况确定的值，代入表达式求出对应的值，与货车高度比较判断能否通行． 【详解】（1）因为抛物线顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为． 又因为抛物线过点，把代入得： ，即，解得． 所以这条抛物线的函数表达式为． （2）因为正中间有1m宽的绿化带，货车宽2m，那么货车在一侧车道行驶时，离对称轴的距离最远为， 所以当或时，代入得： 因为，所以一辆宽度为，高度为的货车能通行． 重难点11 反比例函数的定义 44．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个； 故选B． 45．（21-22九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故选B． 46．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数为反比例函数． (1)求k的值； (2)求出时，y的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查的是反比例函数的定义及反比例函数的性质，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可； （2）根据（1）中的值得出反比例函数的解析式，再求出和时的值即可． 【详解】（1）解：函数为反比例函数 且， ； （2）解：由（1）知，， 反比例函数的解析式为， 当时，；当时，， 时，． 重难点12 反比例函数的图像与性质 47．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的图象经过点，进行解答．熟练掌握该性质是关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 此函数的图象位于第二、四象限， 故选：D． 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 49．（18-19九年级上·陕西宝鸡·期末）如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．结合题意，根据反比例函数的性质可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内y都是随着x的增大而减小， ， 解得：． 故选：B． 50．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 【答案】或 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 重难点13 反比例系数k的几何意义 51．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点；的顶点在轴上，轴，点、分别在反比例函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，设交x轴于点D，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，然后结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交x轴于点D， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∵点、分别在反比例函数和的图象上， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为： 52．（20-21九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，与原点所连的线段所围成的直角三角形的面积为是解题的关键．由正比例函数与反比例函数的图象相交于两点可得，从而得到，由反比例函数的几何意义可得，由此即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点， 点关于原点对称， ， ，， ， 过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 故答案为：4． 53．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．连接，推出，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 54．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，求该反比例函数的表达式．    【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，求解反比例函数的解析式，先求解，结合，再进一步求解可得答案． 【详解】解：连接，    则， 由阴影部分的面积是圆面积的， ， ∴， ， ； 55．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 56．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了反比例函数主要考查了反比例函数中的几何意义，四边形的面积为矩形的面积减去三角形与三角形的面积，根据反比例函数中的几何意义，其面积为． 【详解】解：根据题意可得四边形的面积， 由反比例函数中的几何意义，可知其面积为． 故选：A． 57．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查已知面积求值，根据和都是等腰直角三角形可得出，设，则点B的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，即可得出结果． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， 设，则点B的坐标为， ∵与的面积之差为5， ∴，即：， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴； 故答案为：10． 58．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为20，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，， ∴，， ∴，， ∵的面积为20， ∴， 解得，（舍去）． 故答案为：． 59．（2023·安徽·一模）已知，反比例函数和反比例函数如图所示． (1)点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积； (2)直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据反比例函数比例系数与面积的关系，可得，，根据求的值，根据可得的值； （2）当时，，，，，可得点C的横坐标为，点D的横坐标为，根据，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵轴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴； （2）解：当时，，，，， ∴点C的横坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数与面积的关系，反比例函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 重难点14 反比例函数与一次函数综合 60．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， 代入得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在的图象上， ∴， ， 将，代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， 如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， ∴． 61．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可； （3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； （2）解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）解：点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 62．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由一次函数解析式求出、的坐标，进而求得点坐标，代入即可求得的值． （2）设，则，由于的值在时，随的增大而增大，随的值的增大而增大，即可得出随的增大而增大．再由点，则当时，，所以当时，S值最小，把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， ，． 为线段的中点， ∴， ， 反比例函数的图象过点， ， ∴， （2）解：点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随的增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 由（1）知，， ∴当时，， ∴当时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 63．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于，两点，点在直线上，点与点关于轴对称．    (1)若点在反比例函数的图像上，求的值． (2)若线段被反比例函数的图像分成两部分，且这两部分长度的比为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合，掌握一次函数与反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用点在函数图像上的特点求出，根据点与点关于轴对称得到点N的坐标，代入反比例函数即可解答； （2）利用点的对称点的坐标特点求出点的坐标，线段被反比例函数的图像分成两部分，并且这两部分长度的比为，设反比例函数的图像与线段交点为，分两种情况或计算即可． 【详解】（1）解：在直线的图象上， ， ， 点与点关于轴对称, ， 点在反比例函数的图像上， ， ； （2）， ， 线段被反比例函数的图像分成两部分，并且这两部分长度的比为， 设反比例函数的图像与线段交点为， ①当时，即：，   ， ， ， ②当时，即：，   ， ， ． 故的值为或． 64．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为， 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，求的值． ． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线间距离处处相等可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3．点C的横坐标为2， ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 重难点15 反比例函数与实际问题 65．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 【答案】(1) (2)从饮水机加热开始，到可以使用需要等待 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的应用，理解题意，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）分两种情况：①当时，②当时，利用待定系数法即可求出与的函数解析式； （2）令（1）中求得的函数解析式，求出的值即为需要等待的时间． 【详解】（1）解：①当时 根据图象设， 其图象过点，则   解得： ∴， ②当时 ∵整个下降过程中y与通电时间x成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温， 其图象过点， ∴，解得， ∴； 综上，y与x的函数解析式为：． （2）解：依题意，令，得，解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待10min． 66．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【答案】小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求出反比例函数式是解题的关键．根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可． 【详解】解：依题意，得， ∴． 当时，， 解得． 答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 67．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． （2）解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 68．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要8分钟即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴， ∴， 当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点， 设， 则，解得， ∴； 当时，， ∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为 （2）解：当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟）， ∵， ∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受． 重难点16 反比例函数与几何综合 69．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，是直角三角形，的两边分别与函数的图象交于B、A两点，求的值． 【答案】 【分析】过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D.根据条件得到.根据反比例函数比例系数k的几何意义得出利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题． 【详解】解：过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D， ， ， ， ， ， ， ， ． 70．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形． 【构建联系】 若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设，即，利用中点坐标公式求得点的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与、轴的交点，利用勾股定理求得，可得，过点作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 把点的坐标代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：设， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点是边的中点， ，即， 把点的坐标代入，得， 解得， ， ． （3）解：将直线向上平移6个单位得到直线， 联立，即， 设， ， 点为的中点， 点的横坐标为， 把代入，得， ， ， 过点作于点，交轴于点，交轴于点， 把代入，得； 把代入，得，解得， 直线与轴交于点， ， ， ． ， ， ， ， ， ．      【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 71．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定． （1）先由点A的坐标为，根据中点的性质得出点P的坐标，根据反比例函数的性质得出k值，即可得反比例函数的表达式； （2）先根据题意得出Q的坐标，再得各线段长，进而得，再由即可证． 【详解】（1）解：点A的坐标为，P是的中点， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）证明：当时，， 解得：， ， ∵， ，，， ，， ， 又， ． 72．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，反比例函数的解析式为； (2)或 【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式； （2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：一次函数， 当，则，当，则， ∴，， 当时，， ∴， 在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，于， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 73．（2024·安徽安庆·二模）如图，点A 、B在反比例函数 图象上，直线交x 轴于点C，过点B 作 垂足为D．已知，， 求 k 值． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，再利用三角形相似进行求解．设，则，作轴于点，证明，通过三角形相似，得到的长度，利用反比例函数表示出点的坐标，然后通过减去表示出的长度，最后根据表示出，再结合题目中，计算出． 【详解】设，则，作轴于点， 轴， ， ， ，， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 重难点17 二次函数与几何综合 74．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 75．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接，，当的面积最大时，求点坐标． ②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为；② 【分析】（1）先求出点的坐标为，再根据点，求出直线的解析式，即可求得点的坐标为，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①如图①，过点作轴交于点，先设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，列式，再利用二次函数的性质即可求解； ②如图②，由题意，根据点是抛物线上的一点，点的横坐标为，确定，根据抛物线的对称轴为直线，得出点在直线的右侧，点关于直线对称，，即可确定，，据此求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 点的坐标为， 直线经过点， ，即直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入抛物线中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①如图①，过点作轴交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ∵， ∴当时，有最大值，此时，， 点的坐标为； ②如图②，由题意得， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 点在直线的右侧， 轴， 点关于直线对称， ， ， 点在抛物线上， ， ， ． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式求解，二次函数图象和性质，一次函数的图象和性质．二次函数与三角形面积综合，解直角三角形等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用． 76．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． 将代入，则， ∴， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 77．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点P，使得以C、P、E为顶点的三角形相似，如果存在求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了待定系数法求解抛物线解析式，相似三角形的判定，二次函数的图象与性质以及解一元二次方程等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出C点坐标，即可得，，，再推出，进而可得，当时，，再由直线轴得，进而得到，则以C、P、E为顶点的三角形相似，，可得或，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：将、代入中，得： ， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：令，则， ∴， 又∵、， ∴，，， ∴，，， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴直线解析式为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以C、P、E为顶点的三角形相似，， ∴或， 当时，，， ∴， ∴点P纵坐标为4， 代入，得， 解得或(舍)； ∴； 当时，， 设，则， ∴，， ∴， 解得，与在第一象限矛盾； 综上所述，． 78．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数图象的平移变换，直线的旋转以及一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握函数交点坐标的求解方法，灵活运用平移和旋转的性质，结合一元二次方程的相关知识进行计算． （1）联立直线与抛物线的方程，得到一个一元二次方程．通过求解该方程的根，再将根代入直线方程，从而得到A，B两点的坐标．这是利用函数交点坐标满足两个函数方程的性质来求解． （2）先写出直线向上平移个单位长度后的直线方程，因为平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，所以联立它们的方程得到的一元二次方程的根的判别式为0．通过求解这个关于的方程，得出的值． （2）先求出直线与坐标轴的交点D，E的坐标，进而得到一些线段长度和角度关系．利用直线是由直线绕点顺时针旋转得到的这—条件，求出直线与坐标轴的交点F，G的坐标，从而确定直线的解析式，最后联立直线与抛物线的方程，求解得到点的坐标． 【详解】（1）联立， 得， 整理，得，解得，． ∵当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）直线向上平移个单位长度后为直线， 当直线与抛物线仅有1个公共点时， 即关于x的方程的根的判别式为0． 将方程化为一般式得， 即， 解得． （3）如图，设直线：与x轴、y轴分别交于点D，E，直线与x轴、y轴分别交于点F，G． 易求得点D，E的坐标分别为，    ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设点G的坐标为，，则点F的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入 得， 解得或（舍去）， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理，得， 解得，． 当时，， ∴点C的坐标为． 79．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M． (1)求抛物线的函数关系式及点M的坐标； (2)如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标； (3)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)抛物线的表达式为，点M的坐标为 (2)点E的坐标为或 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）由直线的表达式知，，则，则，由点D、M的坐标得的长，即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，解得，令，则， 故点A、B的坐标分别为、， ∵抛物线经过坐标原点，故， ∴将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为； 则抛物线的对称轴为，当时，， 则点M的坐标为； （2）解：如图1，过点E作轴交于点H， ∴由（1）可知：， 设点E的坐标为，则点， 则的面积， 解得， 故点E的坐标为或； （3）解：∵直线向下平移后过点， ∴设直线的表达式为， ∴，解得：， 故直线的表达式为， 令，解得， 故点； 过点D作于点H， ∵，即点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为3， ∴，则， ∵， ∴， 由点D、M的坐标得，， 则， 故， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质及三角函数是本题解题的关键． 80．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)点N的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设． 又∵， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为． ∵，在直线上 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则，． ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时的 （3）设，， 设的中点为． ∵四边形是矩形， ∴的中点为K， ∴． ∵点N在坐标轴上， ∴或， 当时，，轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴；    当时，点N在x轴上，如图， 过点Q作轴于点H． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点Q在直线上方， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点N的坐标为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 二次函数与反比例函数 1. 二次函数的定义：一般地，形如__________(a__________0，其中a，b，c是__________)的函数叫做二次函数. 其中，__________是自变量，a，b，c分别是函数解析式的__________、__________和__________. 2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一条关于__________对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该__________叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的__________叫做抛物线的顶点. 3. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而__________； x＜0时，y随x的增大而__________. x＞0时，y随x的增大而__________； x＜0时，y随x的增大而__________. 最值 当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________. 当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________ 4. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 k的符号 k__________0 k__________0 k__________0 k__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而__________； 当x＞0时，y随x的增大而__________. 当x＜0时，y随x的增大而__________； 当x＞0时，y随x的增大而__________. 最值 当x__________0时，y有最__________值__________ 当x__________0时，y有最__________值__________. 5. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 h的符号 h__________0 h__________0 h__________0 h__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 最值 当x＝h时，y有最__________值__________ 当x＝h时，y有最__________值__________ 6. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ __________ 顶点坐标 __________ __________ 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 7. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ __________ 顶点坐标 __________ __________ 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而__________； x＜时，y随x的增大而__________. x＞时，y随x的增大而__________； x＜时，y随x的增大而__________. 最值 抛物线有最__________点，当x=时，y有最__________值， 抛物线有最__________点，当x=时，y有最__________值， 8. 二次函数与x轴的交点个数 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 __________ __________ △＝0 __________ __________ △＜0 __________ __________ 9. 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ 10 反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中__________是自变量，__________是x的函数. 11. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有__________待定系数k，因此只需要知道__________或图像上一个点的__________，即可求出k的值，从而确定其解析式. 12. 反比例函数的图像特征：反比例函数的图像由两条__________组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第__________象限或第__________象限，它们关于__________对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是__________两坐标轴. 14. 反比例函数的性质： 表达式 图像 k__________0 k__________0 __________ __________ 经过象限 __________ __________ 增减性 __________ __________ 序号 易错点 易错题 注意事项 1 忽略二次项系数不能为0的隐含条件 1．若是关于的二次函数，则的值为 ． 2. 若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是 ． 当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数. 2 记错二次函数的顶点坐标 1. 抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 2. 已知二次函数（b，c是常数），若该抛物线的顶点坐标是，则 ． 3 二次函数各项系数之间的关系 1. 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ． 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 4 二次函数平移问题 1. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为 ． 2. 平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. 5 二次函数的最值问题 1. 已知函数，当时，该函数的最大值是 ． 2. 已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 重难点01 二次函数的定义 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为 ． 3．（2024·安徽安庆·二模）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 重难点02 二次函数的图像与性质 6．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是 C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和 D．已知，且点和都在这个二次函数的图象上，则 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线与直线的一个交点的横坐标为m，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，求的最小值（　　） A． B． C．5 D． 重难点03 待定系数法求二次函数解析式 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 13．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线，经过，，三点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)当为何值时，函数随的增大而增大？ 14．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 重难点04 函数图像综合 15．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A．B．C． D． 16．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A．B．C． D． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（　　） A．B．C．D． 重难点05 二次函数图像与各项系数之间的关系 19．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（22-23九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 21．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与轴交点为，，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则的取值范围为．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数的图象如图示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的是 ；（填写序号）    重难点06 二次函数平移问题 23．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（   ） A．1， B．1，2 C．1，3 D．， 24．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个平移变换可以是（    ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位 25．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），连接、，如果是等边三角形，则的长为 ． 26．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 重难点07 二次函数最值问题 27．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 30．（20-21九年级上·四川南充·期末）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 31．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 重难点08 二次函数与坐标轴交点问题 32．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 35．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知关于的二次函数（为常数），求证：无论为何值时，函数图象与轴总有两个不同交点． 重难点09 二次函数与不等式 36．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是 ． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点 C 的坐标为，与 x 轴交于、，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有实数根，写出实数 k 的取值范围． (4)当 时，求 y 的取值范围． 重难点10 二次函数与实际应用 39．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 40．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 设花圃的宽为，则， ， ∵， 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． (1)若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ (2)若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 42．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋． (1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式； (2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？ (3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？ 43．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 重难点11 反比例函数的定义 44．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 45．（21-22九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 46．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数为反比例函数． (1)求k的值； (2)求出时，y的取值范围． 重难点12 反比例函数的图像与性质 47．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 48．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 49．（18-19九年级上·陕西宝鸡·期末）如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 重难点13 反比例系数k的几何意义 51．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点；的顶点在轴上，轴，点、分别在反比例函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 52．（20-21九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于 ． 53．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则的值为 ． 54．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，求该反比例函数的表达式．    55．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（   ） A．9 B．6 C．3 D．12 56．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两个反比例函数 和 ( 其中 ) 在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C， 交于点A，轴于点D， 交于点B，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为 ． 58．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为20，则的值是 ． 59．（2023·安徽·一模）已知，反比例函数和反比例函数如图所示． (1)点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积； (2)直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值． 重难点14 反比例函数与一次函数综合 60．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积． 61．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； (3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标． 62．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 63．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于，两点，点在直线上，点与点关于轴对称．    (1)若点在反比例函数的图像上，求的值． (2)若线段被反比例函数的图像分成两部分，且这两部分长度的比为，求的值． 64．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为， 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，求的值． ． 重难点15 反比例函数与实际问题 65．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？ 66．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 67．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 68．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 重难点16 反比例函数与几何综合 69．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，是直角三角形，的两边分别与函数的图象交于B、A两点，求的值． 70．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形． 【构建联系】 若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 (3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．    71．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 72．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 73．（2024·安徽安庆·二模）如图，点A 、B在反比例函数 图象上，直线交x 轴于点C，过点B 作 垂足为D．已知，， 求 k 值． 重难点17 二次函数与几何综合 74．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 75．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①连接，，当的面积最大时，求点坐标． ②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值． 76．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 77．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点P，使得以C、P、E为顶点的三角形相似，如果存在求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 78．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标．   79．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M． (1)求抛物线的函数关系式及点M的坐标； (2)如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标； (3)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？ 80．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$