3.3 二次函数与幂函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

§3.3 二次函数与幂函数 目录 知识点一：幂函数的图像与性质 2 考点1： 幂函数的图像、性质及应用 3 知识点二：二次函数的图像与性质 4 考点2： 二次函数单调性问题 5 考点3：二次函数的最值 5 考点4：二次函数与其他函数的综合应用 6 【强化训练】 9 知识点一：幂函数的图像与性质 解析式 图像 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域； 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 微结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 考点1： 幂函数的图像、性质及应用 方法提炼 一般考查幂函数的概念、图像及性质，以及利用幂函数性质求参数的取值范围；有时会结合指数、对数函数的性质比较大小. (1) 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内直线、直线，直线分第一象限为六个区域.根据的取值确定位置后，其余象限由奇偶性决定. (2) 比较幂值的大小时，需结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【例1.1.】 已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【例1.2.】 （多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例1.3.】 若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知函数，若，则的最大值为 . 知识点二：二次函数的图像与性质 1. 二次函数的三种形式 一般式： . 顶点式：，顶点坐标为(m，n). 双根式：，x1，x2为f(x)的零点. 2. 二次函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 最值 当时， 当时， 对称轴 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 时是减函数 时是增函数 时是减函数 时是增函数 考点2： 二次函数单调性问题 【例2.1.】 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点3：二次函数的最值 方法提炼 (1) 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间.其解题的关键是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，需讨论的情况有：（注意是否需要讨论开口方向）①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系）. (2) 二次函数在区间上的最值一般在区间的端点或顶点处取得. 【例3.1.】 二次函数满足，且，若在 上的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是 （ ） A．（0，＋∞） B．[2，＋∞） C．（0，2] D．[2，4] 【例3.2.】 若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【例3.4.】 若函数对任意实数t，在闭区间上总存在两个实数，，使得成立，则负数a的最大值为 ． 【例3.5.】 已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【例3.6.】 已知函数. (1)若，求在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为9，最小值为1，求实数的值. 考点4：二次函数与其他函数的综合应用 方法提炼 1. 对勾函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 2. 飘带函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数 在是减函数 【例4.1.】 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 函数的最大值为1，最小值为，则（    ） A． B．1 C． D． 【例4.4.】 已知函数，，其中，，记为函数的最小值. （1）求的单调递增区间； （2）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）求的取值范围，使得存在满足条件的，满足. 【强化训练】 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 2. 如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 3. 已知，，，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. 设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5. 如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 A．16 B．18 C．25 D． 6. （多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 7. 函数满足，且在上的值域为，则的取值范围是 ． 8. 已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 9. 函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时， 10. 已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §3.3 二次函数与幂函数 目录 知识点一：幂函数的图像与性质 2 考点1： 幂函数的图像、性质及应用 3 知识点二：二次函数的图像与性质 6 考点2： 二次函数单调性问题 7 考点3：二次函数的最值 9 考点4：二次函数与其他函数的综合应用 13 【强化训练】 18 知识点一：幂函数的图像与性质 解析式 图像 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域； 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 微结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 考点1： 幂函数的图像、性质及应用 方法提炼 一般考查幂函数的概念、图像及性质，以及利用幂函数性质求参数的取值范围；有时会结合指数、对数函数的性质比较大小. (1) 对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内直线、直线，直线分第一象限为六个区域.根据的取值确定位置后，其余象限由奇偶性决定. (2) 比较幂值的大小时，需结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【例1.1.】 已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 【例1.2.】 （多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AB 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误； 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以，C选项错误； 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，AB选项正确. 故选：AB 【例1.3.】 若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 【例1.4.】 设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 【例1.5.】 已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 知识点二：二次函数的图像与性质 1. 二次函数的三种形式 一般式： . 顶点式：，顶点坐标为(m，n). 双根式：，x1，x2为f(x)的零点. 2. 二次函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 最值 当时， 当时， 对称轴 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 时是减函数 时是增函数 时是减函数 时是增函数 考点2： 二次函数单调性问题 【例2.1.】 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 【例2.2.】 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【例2.3.】 若函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 【例2.4.】 已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 考点3：二次函数的最值 方法提炼 (1) 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间.其解题的关键是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，需讨论的情况有：（注意是否需要讨论开口方向）①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系）. (2) 二次函数在区间上的最值一般在区间的端点或顶点处取得. 【例3.1.】 二次函数满足，且，若在 上的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是 （ ） A．（0，＋∞） B．[2，＋∞） C．（0，2] D．[2，4] 【答案】D 【详解】因为二次函数满足，所以图象的对称轴是． 设其解析式为，因为，， 所以解得，． 所以函数的解析式． 因为，， 在上的最大值为3，最小值为1， 所以．又， 由二次函数的性质知，． 综上，． 【例3.2.】 若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为有最小值， 当时，，显然在上单调递增，且，即在上没有最小值； 当时，，易知在上必有最小值， 因为开口向上，对称轴为， 当时，，易知， 故不是在上的最小值，则在上没有最小值，不满足题意； 当时，， 要使得是在上的最小值，则，即， 解得或，所以； 综上：，即. 故选：B. 【例3.3.】 已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 【例3.4.】 若函数对任意实数t，在闭区间上总存在两个实数，，使得成立，则负数a的最大值为 ． 【答案】 【详解】由解析式可知：为开口方向向下的二次函数 在上总存在两个实数，使得成立， 只需满足的中点是对称轴时， 即当时，即可， 代入得：    ，即负数的最大值为 故答案为： 【例3.5.】 已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 【例3.6.】 已知函数. (1)若，求在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为9，最小值为1，求实数的值. 【答案】(1)最小值； (2). 【详解】（1）当时，函数，， 当，即时，原函数在上单调递减，当时，； 当时，原函数在上单调递增，当时，； 当时，， 所以在上的最小值. （2）原函数的图象开口向上，且对称轴方程为，则原函数在上单调递增， 则当时，y取得最小值；当时，y取得最大值， 依题意，，解得 ， 所以实数的值分别为1，0. 考点4：二次函数与其他函数的综合应用 方法提炼 1. 对勾函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 2. 飘带函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数 在是减函数 【例4.1.】 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令, 则， 当时，单调递增，且， 当时，，当时单调递增， 则函数在上单调递增，符合题意； 当时，的对称轴为， 由题意， 当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，不符合题意， 综上，. 故选：A. 【例4.2.】 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 【例4.3.】 函数的最大值为1，最小值为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】， 令，，对称轴方程为， ①当时，，， 解得，， ②当时，，， 解得，， ③当时，，， 即或，无满足条件的解， 综上，. 故选：. 【例4.4.】 已知函数，，其中，，记为函数的最小值. （1）求的单调递增区间； （2）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）求的取值范围，使得存在满足条件的，满足. 【详解】解:（1）由题意得． 显然与有相同的单调区间 1　 当时，显然的单调递增区间为； 2　 当，即时，由图可知此时的单调递增区间为； 3　 当，即时，由图得的单调递增区间为 ； 综上可得，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为． （2），令 那么在上单调递增， 则，即， 因为，则， 所以，即.  （3）由的单调性得 由与得， 由与得． 综上，的取值范围为． 【强化训练】 1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 2. 如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 3. 已知，，，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递减，当时，， 则当时，恒成立，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4. 设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 即， 当时，函数的大致图象如图， 当时，，所以，又，得； 当时，函数的大致图象如图， 当时，， 所以，又，得， 综上：. 故选：D. 5. 如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 A．16 B．18 C．25 D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、基本不等式求和的最小值 【详解】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.. 6. （多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 7. 函数满足，且在上的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为函数满足 所以函数图象关于对称，故，得， 所以函数解析式为：， 因为，故， 又因为， 所以根据二次函数的对称性得：. 故答案为： 8. 已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 9. 函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时， 【答案】2 【详解】解法一：因为函数是二次函数， 所以（a，）在区间[0，c]（）上的最大值是在[0，c]的端点取到或者在处取得． 若在取得，则；若在取得，则； 若在取得，则； 进一步，若，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意； 若，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意； 由此推断，即有，， 于是有． 解法二：设，，则． 首先作出在时的图象，显然经过（0，0）和的直线为，该曲线在[0，c]上单调递增； 其次在图象上找出一条和平行的切线， 不妨设切点为，于是求导得到数量关系． 结合点斜式知该切线方程为． 因此，即得．此时， 即，那么，．从而有． 10. 已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 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