第04讲 二次函数与幂函数（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 二次函数与幂函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 二次函数及一元二次不等式 4 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 4 知识点3 利用不等式解决实际问题及恒成立问题 5 知识点4 幂函数 6 题型破译 7 题型1 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 7 题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 8 题型3 不等式的恒成立问题 9 题型4 一次分式不等式的解法 10 题型5 求幂函数解析式 11 题型6 利用幂函数的单调性求解不等式问题 12 题型7 利用幂函数比较大小 12 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.掌握一元二次不等式的概念 2.二次函数的零点 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 4、利用幂函数的单调性求解不等式问题 单选题 多选题 填空题 解答题 第7题，5分 第5题，5分 第3题，5分 考情分析：1.一元二次不等式的解法 2.二次函数与集合综合 3.二次函数单调区间求参数值或范围 本节内容是天津高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 复习目标： 1.掌握幂函数幂函数概念、幂函数的图象及性质、幂函数解析式的确定、幂函数值大小的比较 2.理解并掌握二次函数的零点、恒成立问题、简单的分式不等式的解法 3.理解并掌握二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 知识点1 二次函数及一元二次不等式 1、　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 2、　二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做________的零点. 3、　一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 自主检测定义 ，若，则的最大值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．10 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的________； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 自主检测若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点3 利用不等式解决实际问题及恒成立问题 1、利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案． 2、 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求________问题. 自主检测已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点4 幂函数 1．作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2．作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据________对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据________对称作出第三象限的图象． 3．幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4．幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其________，然后由________判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造________；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 自主检测已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型1 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 例1-1（2025·天津·联考）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例1-2已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 方法技巧 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式训练1-1】已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 【变式训练1-2】关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 例2-1（2025·天津·调研）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 例2-2（2025·天津南开·调研）已知，集合，若集合中有且仅有两个整数，则取值可以是下面的（    ） A． B． C． D． 方法技巧 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式训练2-1】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2·变考法】若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 【变式训练2-3·变载体】对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3 不等式的恒成立问题 例3-1命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例3-2命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 方法技巧 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 【变式训练3-1】已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 一次分式不等式的解法 例4-1若集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 例4-2（2025·天津滨海新·调研）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）（2） （3）且（4）且 【变式训练4-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】（2025·天津西青·联考）已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变载体】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 题型5 求幂函数解析式 例5-1若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5-2（2025·天津河北·调研）已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 方法技巧 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式训练5-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（   ） A． B．ln＞ln C． D． 题型6 利用幂函数的单调性求解不等式问题 例6-1若函数，当时函数值，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 例6-2（2025·天津北辰·开学考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（2025·天津·联考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（2025·天津·期末）已知，，，则三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型7 利用幂函数比较大小 例7-1已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【变式训练7-1】（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（2024·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 4．（2010·安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 5．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 6．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 1.对于函数与： (1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数； (2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义． 2.比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 3.比较和在上增长的快慢． 4.设是幂函数，已知，求，． 5.比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 6.函数，，的单调性如何？ 7.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)与； (2)与. 8.经过市场调查分析，某地区一年的前n个月，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系： ，． (1)求这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？ (2)若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放多少万件？ 9.设某水库的最大蓄水量为，原有水量为，泄水闸每天泄水量为，在洪水暴发时，预测注入水库的水量（单位：）与天数n（，）的函数关系是．若山洪暴发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由．（水库蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险） 10.求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数与幂函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 二次函数及一元二次不等式 4 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 5 知识点3 利用不等式解决实际问题及恒成立问题 6 知识点4 幂函数 7 题型破译 8 题型1 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 8 题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 11 题型3 不等式的恒成立问题 14 题型4 一次分式不等式的解法 17 题型5 求幂函数解析式 19 题型6 利用幂函数的单调性求解不等式问题 21 题型7 利用幂函数比较大小 23 04真题溯源·考向感知 24 05课本典例·高考素材 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 1.掌握一元二次不等式的概念 2.二次函数的零点 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 4、利用幂函数的单调性求解不等式问题 单选题 多选题 填空题 解答题 第7题，5分 第5题，5分 第3题，5分 考情分析：1.一元二次不等式的解法 2.二次函数与集合综合 3.二次函数单调区间求参数值或范围 本节内容是天津高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 复习目标： 1.掌握幂函数幂函数概念、幂函数的图象及性质、幂函数解析式的确定、幂函数值大小的比较 2.理解并掌握二次函数的零点、恒成立问题、简单的分式不等式的解法 3.理解并掌握二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 知识点1 二次函数及一元二次不等式 1、　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 2、　二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 3、　一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 自主检测定义 ，若，则的最大值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】求的解析式，根据解析式求的最大值. 【详解】由. 所以. 所以：当时，； 当时，； 当时，. 综上可知：的最大值为9，当时取“”. 故选：C 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 自主检测若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性，建立关于的不等式，可得答案. 【详解】解：令，则 因为函数在区间上单调递增， 所以在上为增函数且函数值恒大于0， 则，故，则的取值范围是． 故选：C． 知识点3 利用不等式解决实际问题及恒成立问题 1、利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案． 2、 一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 自主检测已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，转化为求在上的最大值、最小值可得答案. 【详解】当时，令， 则，为开口向上、对称轴为的抛物线， 在上单调递增， 所以当时有最小值，为， 当时有最大值，为， 可得，解得. 故选：B. 知识点4 幂函数 1．作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2．作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3．幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4．幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 自主检测已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故选：C 题型1 一元二次不等式与根与系数关系的交汇 例1-1（2025·天津·联考）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 例1-2已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可． 【详解】由不等式的解集为，得到， 方程的两个根分别为，， 由韦达定理得：，， 所以，， 所以不等式为， 即，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A． 方法技巧 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式训练1-1】已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 【变式训练1-2】关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 【变式训练1-3】已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 例2-1（2025·天津·调研）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 例2-2（2025·天津南开·调研）已知，集合，若集合中有且仅有两个整数，则取值可以是下面的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解得到，结合，分和两种情况，结合不等式的解集得到不等式，求出满足的关系式，得到答案. 【详解】， ，故， ABD选项，若，此时，， ，显然， 要想中有且仅有两个整数，则， 解得且， A选项，，不合要求，错误； B选项，，不合要求，舍去， D选项，，满足要求，D正确； C选项，若，此时，， 或，不满足中有且仅有两个整数，舍去. 故选：D 方法技巧 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式训练2-1】若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得且，将化为求解即可. 【详解】由于关于的不等式的解集是， 所以则有且， 所以等价于， 解得，即不等式的解集为． 故选：D. 【变式训练2-2·变考法】若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 【答案】A 【分析】根据条件得，再由一元二次不等式解法即可得出结果. 【详解】因为，所以，即， 由，得到， 故选：A. 【变式训练2-3·变载体】对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数后将问题转化为，再结合对勾函数的单调性求出的最值即可； 【详解】分离参数得，要使对任意，不等式恒成立，只需. 又因为，令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以，所以，所以. 故选：D. 题型3 不等式的恒成立问题 例3-1命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出命题“，”为真命题的充要条件，进一步即可判断. 【详解】若，，即，，所以当且仅当， 所以对比选项可知，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：D. 例3-2命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出命题“，”为真命题的充要条件，再判断. 【详解】若命题“，”为真命题，即，对恒成立，可得， 所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件为选项A. 故选：A. 方法技巧 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 【变式训练3-1】已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据导函数求出函数单调递减，结合函数是偶函数得出，最后应用结合函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以, 令, 因为，所以单调递减， 单调递减， 因为，所以为偶函数， 因为，所以， 当时， 单调递增， 单调递增， 所以. 故选：B. 【变式训练3-2】对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式转化为，，再变形，结合函数的单调性，函数的最小值. 【详解】不等式恒成立，即， 即，， ，，当时，即时，等号成立， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，所以的取值范围是， 所以的最小值是，所以. 故选：D. 【变式训练3-3】（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型4 一次分式不等式的解法 例4-1若集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式求得集合，利用交集的概念可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以． 故选：B 例4-2（2025·天津滨海新·调研）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出不等式和，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由，得，解得； 由，得，得， 当时，一定可以推出，而当时，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 方法技巧 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）（2） （3）且（4）且 【变式训练4-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解分式不等式化简集合，再利用集合的混合运算即可得解. 【详解】解，得，则， 所以或，又， 所以. 故选：D. 【变式训练4-2·变载体】（2025·天津西青·联考）已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出该幂函数的解析式，根据函数的定义域，奇偶性及单调性判断即可. 【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 即该幂函数的解析式为，其定义域为，值域为， 又为偶函数，且在上为减函数，在上为增函数. 故选：B． 【变式训练4-3·变载体】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数代入点的坐标待定，进而求值. 【详解】设幂函数，由已知幂函数的图象过点， 则，解得， 则，故. 故选：A. 题型5 求幂函数解析式 例5-1若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 例5-2（2025·天津河北·调研）已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，从而利用奇偶性及单调性求解即可. 【详解】设，由题意得，所以， 其定义域为R，又，所以函数为奇函数， 任取，因为， 所以，所以函数单调递增， 故选：A 方法技巧 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式训练5-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助函数单调性，分别解两个不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以由得， 因为函数在定义域上单调递增，所以由得， 若成立，则不一定成立，充分性不成立， 若成立，则一定成立，必要性成立， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练5-2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 【变式训练5-3】已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（   ） A． B．ln＞ln C． D． 【答案】D 【分析】由（）得，根据基本初等函数单调性逐个判断即可，或举出反例排除. 【详解】由（）得， 对A，，不恒成立，A错； 对B，ln＞ln，不恒成立，B错； 对C，三角函数有周期性，不恒成立，C错； 对D，，D对. 故选：D. 题型6 利用幂函数的单调性求解不等式问题 例6-1若函数，当时函数值，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】分与去解不等式，求出的取值范围. 【详解】当时，，解得：，与取交集，结果为；当时，，解得：，综上：的取值范围是. 故选：D 例6-2（2025·天津北辰·开学考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义、幂函数的性质以及指数函数的性质判断即可. 【详解】由可得，所以，故充分性成立； 由可得，取，则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 【变式训练6-2】（2025·天津·联考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数及的单调性即可判断大小关系. 【详解】因为，函数在上单调递增， 所以，即， 又因为，即， 所以. 故选：A. 【变式训练6-3】（2025·天津·期末）已知，，，则三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小. 【详解】，则， 所以三者的大小关系是. 故选：A 题型7 利用幂函数比较大小 例7-1已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数单调性性质即可求解. 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以由，， 所以为增函数，故由， 所以. 故选：A. 方法技巧 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【变式训练7-1】（2024·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小. 【详解】，，而， 所以a，b，c的大小关系为. 故选：C 【变式训练7-2】（2024·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为， ，， 因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 3．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故选：D. 4．（2010·安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 考点：函数的单调性. 5．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 6．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】由题意可知，，又， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合； 当时，若，，A选项符合； 当时，，此时在和上单调递增， B选项符合； 结合选项可知，只有C.选项不可能. 故选：C. 1.对于函数与： (1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数； (2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义． 【答案】(1)图见解析，交点个数为2 (2)见解析 【分析】（1）画出函数图象，观察图象即可得出交点个数，并且分析和时没有交点. （2）构造函数，通过证明当时，即可证明当时，比增长得快. 【详解】（1）     由图可知，两函数图象在第一象限内有两个交点，故交点个数为2， 且随着增大，的值总大于的值，两图象再无交点， 当时，，所以此时两函数图象也没有交点， 综上所述：两函数图象共有两个交点. （2）由图可知当时，比增长得快， 不妨设，求导得， 继续对求导得，再求导得， 因为， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 因此当时，比增长得快. 2.比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】（1）函数在上为增函数， （2）函数在上为减函数， （3）， 函数在上为增函数，，即 （4）， 幂函数在上为增函数， ，. 3.比较和在上增长的快慢． 【答案】答案见解析 【分析】画出两个函数的图象，求得交点坐标，结合一次函数与幂函数的性质，即可求解. 【详解】解：如图所示，令，解得或， 即两个函数的图象交点为， 开始一路领先，但越来越慢；匀速前进；在处两者相等． 当时，可得，即一直有，而且前者与后者之比越来越大， 所以增长得更快． 4.设是幂函数，已知，求，． 【答案】， 【分析】设函数解析式，代入求出解析式，可求，. 【详解】设幂函数． 由已知条件得． 故，， 于是，． 5.比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂函数的单调性，比较函数值的大小. 【详解】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以． 6.函数，，的单调性如何？ 【答案】答案见解析 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个函数分析，即可求解. 【详解】根据幂函数的图象与性质，可得函数在定义域为单调递增函数； 函数在定义域上是单调递增函数， 并且在第一象限内函数的增长趋势越来越快，函数的增长越来越缓慢； 函数在上是单调递减函数，在为单调递增函数； 7.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用基本不等式比较与的大小，再利用幂函数的性质比较大小即可， （2）对化简后，利用幂函数的性质比较即可 【详解】（1）因为，当且仅当，即时取等号， 而在上单调递增， 所以. （2）， 因为在上单调递增，且， 所以，即. 8.经过市场调查分析，某地区一年的前n个月，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系： ，． (1)求这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？ (2)若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放多少万件？ 【答案】(1)5，6月份需求量超过1.3万件 (2) 【分析】（1）分别计算一月份的需求量，第2到12月份的需求量，即可得解； （2）设每月初最少投放万件,需满足恒成立，分参后利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】（1）当时，一月份产量为， 当时， 第月的产量为， 令，即， 解得，由，可知， 即这年的5，6月份需求量超过1.3万件. （2）设每月初最少投放万件， 要使产品全年不脱销，对第个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品， 还有前几个月未销售完的商品，所以 恒成立， 恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故为保证该产品全年不脱销，每月初最少投放万件. 9.设某水库的最大蓄水量为，原有水量为，泄水闸每天泄水量为，在洪水暴发时，预测注入水库的水量（单位：）与天数n（，）的函数关系是．若山洪暴发的第一天就打开泄水闸，则这10天中堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由．（水库蓄水量超过最大蓄水量时，堤坝会发生危险） 【答案】第9天会有危险 【分析】根据进水量与出水量，以及最多总增加水量列不等式，转化为一元二次不等式，解不等式求得第天会有危险. 【详解】设第n天发生危险，由题意得， 整理得，解得或（舍去）， 且，，可得的最小值为9， 所以汛期的第9天会有危险. 10.求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）整理不等式后，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由得， 即， 当时，即恒成立， 不等式的解集为. 当时，，所以不等式的解集为或. 当时，，所以不等式的解集为或. 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$